다른 우주에서의 π

• π는 원의 둘레와 지름의 비율이지만, “거리”를 무엇으로 정의하느냐에 따라 같은 반지름의 원도 다른 모양이 되고 π 값도 달라질 수 있음
• 수학의 메트릭(metric) 은 거리 함수가 만족해야 할 4가지 조건을 정하며, 유클리드 거리 밖에서도 기하·미적분·위상수학을 일부 수정해 다룰 수 있게 함
• 맨해튼 거리와 최댓값 거리에서는 원이 각각 회전한 정사각형과 정사각형처럼 나타나며, 둘레 계산 결과 π가 모두 4가 됨
• p-norm은 Manhattan, Euclidean, maximal distance를 포함하는 무한한 메트릭 계열이고, p=2인 일반 유클리드 거리의 π=3.14159…가 이 계열에서 가능한 최소값임
• 모든 메트릭까지 넓히면 π는 3과 4 사이에 있으며, 특정 육각형 메트릭에서는 반지름 1 원의 둘레가 6이 되어 π=3이 됨

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π 값이 달라지는 이유

• 일반적으로 π는 원의 둘레 C와 반지름 r의 관계식 C = 2πr에서 등장함
• 원은 수학적으로 중심에서 같은 거리만큼 떨어진 점들의 집합임
• 따라서 π는 원의 둘레와 반지름을 재는 거리 정의에 의존함
• 같은 “비용”을 갖는 지점들의 모양이 항상 유클리드 원이 되지는 않음
  • 중심에서 같은 시간 동안 달릴 수 있는 지점들은 시간 기준 거리의 원이 될 수 있음
  • 같은 연료로 운전해 도달할 수 있는 지점들도 연료 기준 거리의 원처럼 볼 수 있음
  • 바람이 강한 날 항해하면 같은 노력으로 도달 가능한 지점들이 바람 방향에 따라 한쪽으로 치우친 타원이 됨

어떤 거리 함수가 메트릭이 되는가

• 수학에서 메트릭은 거리 함수로 인정되기 위한 조건을 정함
• 메트릭은 다음 규칙을 만족해야 함
  • 한 점에서 자기 자신까지의 거리는 항상 0
  • 서로 다른 두 점 사이의 거리는 항상 양수
  • a에서 b까지의 거리는 b에서 a까지의 거리와 같음
  • a에서 c로 바로 가는 거리는 a에서 b를 거쳐 c로 가는 거리보다 길지 않음
• “항해에 필요한 노력”은 메트릭이 되기 어려움
  • 바람을 등지고 갈 때와 역풍을 거슬러 갈 때의 노력이 달라 3번째 조건을 만족하지 않음
• 유클리드 거리 d = sqrt(x² + y²)는 고대 그리스 기하와 Newton의 미적분에서도 쓰인 전통적 거리 정의임
• 20세기 초 수학자들은 기본 요구사항을 만족하는 함수라면 거리 함수로 사용할 수 있고, 많은 수학 결과도 일부 수정해 적용할 수 있음을 알게 됨

맨해튼 거리에서의 π

• 맨해튼 거리는 격자 도시에서 대각선으로 이동하지 못하고 x방향과 y방향 이동을 더하는 거리임
• 거리식은 d = x + y로 표현됨
• 예를 들어 두 도시의 인구 변화 예측 오차를 x축과 y축에 놓으면, 총 오차가 1,000명인 지점들이 하나의 “원”을 이룸
• 이 메트릭에서 원은 45도 회전한 정사각형처럼 보임
• 반지름이 1,000이면 각 변의 맨해튼 거리 길이는 2,000이고, 4개 변의 둘레는 8,000임
• 8,000 = 2π(1,000)이므로 이 거리 체계에서는 π=4가 됨

최댓값 거리에서의 π

• 최댓값 거리는 x와 y 중 더 큰 값을 거리로 사용하는 메트릭임
• 거리식은 d = max(x, y)로 표현됨
• 여러 일을 병렬로 할 때 전체 시간이 가장 오래 걸리는 항목에 의해 결정되는 상황과 맞닿아 있음
• 요리 대회에서 두 재료를 병렬로 준비하고, 두 재료가 모두 55분에서 65분 사이에 끝나야 하는 경우를 예로 들 수 있음
• 이 거리 체계의 원은 정사각형 모양임
• 반지름이 5일 때 각 변의 거리는 10이고, 4개 변의 둘레는 40임
• 40 = 2π(5)이므로 최댓값 거리에서도 π=4가 됨

p-norm 계열에서의 π

• p-norm metric은 d = (x^p + y^p)^(1/p)로 정의되는 무한한 메트릭 계열임
• p는 1 이상인 값이 될 수 있음
• p-norm은 앞선 거리들을 일반화함
  • p=1이면 Manhattan distance
  • p=2이면 Euclidean distance
  • p=∞이면 maximal distance
• p 값에 따라 “원”의 모양도 달라짐
• 일반적인 p 값에서는 둘레를 눈으로 보고 바로 계산하기 어렵기 때문에, 컴퓨터가 원 둘레를 따라 이동하며 이동 거리를 추적하는 방식으로 계산할 수 있음
• 기존 논문의 결과에 따르면 p-norm별 π 값은 다음과 같음
  • p=1: π=4
  • p=1.1: π=3.757…
  • p=2: π=3.141…
  • p=2.25: π=3.155…
  • p=3: π=3.259…
  • p=11: π=3.757…
  • p=∞: π=4
• 해당 논문은 p-norm 전체에서 3.14159…가 가능한 최소 π 값임도 증명함

모든 메트릭에서의 π 범위

• p-norm은 무한히 많지만, p-norm이 아닌 메트릭은 그보다 더 많이 존재함
• Sahoo의 논문은 모든 메트릭에서 π가 3과 4 사이에 있음을 증명함
• π=4를 만드는 메트릭은 Manhattan distance와 maximal distance에서 확인할 수 있음
• π=3을 만드는 예시는 StackExchange 답변에 나온 육각형 메트릭에서 얻을 수 있음
• 해당 거리식은 다음과 같음

d = 1 / (2√3) * Σ(n=1..6) | x sin(πn/3) + y cos(πn/3) |

• 이 식에서 사용된 π는 유클리드 삼각함수에서 나온 일반적인 π임
• 이 메트릭의 원은 육각형이 됨
• 거리식으로 육각형 각 변의 길이를 계산하면 각 변이 1이고, 전체 둘레는 6임
• 반지름 1에서 6 = 2π(1)이므로 이 메트릭에서는 π=3이 됨

π-day 대신 π-month

• 3월 14일의 π-day는 일반적인 π=3.14…에 맞춰져 있음
• 모든 메트릭에서 π가 3과 4 사이에 있을 수 있으므로, 각 날짜에 맞는 메트릭을 찾는다면 3월 전체를 π-month처럼 기념할 수 있음

[GN⁺]

Hacker News 의견들

• 수학을 “가정에서 출발해 가능한 논리적 결론을 찾아내는 게임”으로 보는 표현이, 한동안 머릿속을 맴돌던 생각을 정말 잘 정리해 줌

  • Lean4와 mathlib가 흥미로운 이유도 여기에 있음
    사람들이 형식 검증된 증명을 mathlib에 계속 넣을수록, 그 위에서 더 많은 정리를 형식적으로 증명하기 쉬워짐
    아무것도 없는 상태에서는 단순한 증명도 재작성과 세부 지정이 많아 순수한 노동에 가깝지만, mathlib에서는 simp나 linarith 같은 도구가 반복적인 무거운 작업을 많이 대신해 주는 듯함
    눈덩이 효과가 정말 흥미롭지만, 내가 이해하는 건 이미 다 들어 있을 가능성이 커서 의미 있게 기여하긴 어려울 것 같음
  • 수학과 논리를 거대한 세포 자동자처럼 생각하면 놀라움
    “공리”가 반드시 “진리”에 대응한다기보다, 복잡성을 만들어내는 임의의 제약에 가깝고, 때로 그 결과 시스템이 유용해짐
  • 수학은 인류가 가장 오래 해 온, 범위가 가장 넓고 복잡한 게임임
    유용하기도 하고 그 유용성에 대해 철학적으로 파고들 것도 많지만, 그건 게임 자체와는 별개의 성질로 봄
    요리책을 재미로 16진수로 바꾸는 것처럼 쓸모없고 지식을 늘리지 않으며 오히려 효용이 음수여도, 그래도 할 수 있는 게 이 게임
    쌍둥이 소수 추측을 증명하려는 건 훨씬 어려운 레벨이고, 이 게임은 나이와 실력에 상관없이 가능하며 머릿속, 종이와 연필, 세계 최대 계산 클러스터까지 무엇으로든 할 수 있음
    기술적으로는 다른 모든 게임도 이 게임의 부분집합이고, 예쁜 그림을 색칠하든 원자를 충돌시키든 가능한 한 큰 수까지 세든 각자 원하는 방식으로 플레이할 수 있음
  • 같은 원리는 프로그래밍에도 적용됨
    인자에 대해 덜 아는 함수일수록 더 일반적으로 쓸 수 있음
  • 그 좋은 예가 선택 공리가 측도론과 확률론에 미치는 영향임
    선택 공리는 르베그 측정이 불가능한 집합의 존재를 함의하지만, 그런 비가측 집합의 구체적 예시는 제시할 수 없고 존재만 증명 가능함
    반대로 결정성 공리를 넣은 대안 이론에서는 실수의 모든 부분집합이 측정 가능해짐
    https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
    https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_determinacy
    https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_measure

• 다른 우주의 기하에서 π가 다르더라도, 우리 π와 같은 값을 갖는 중요한 상수는 여전히 있을 것임
  예를 들어 급수 x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...로 정의한 함수의 영점은 정수 n에 대해 nπ이고, 여기서 π는 우리의 π임
  지수함수에서도 우리 π가 등장하며, 주기는 2πi임

  • 맞음. 더 구체적인 예로, 다음 값들은 기하와 무관하게 여전히 우리 π와 연결됨
    급수 4(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + …)의 합은 π: https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_formula_for_%CF%80
    급수 (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + …)의 합은 π²/6: https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem
    따라서 [1…N]에서 균등하게 고른 두 수가 서로소일 확률은 N이 커질수록 6/π²에 가까워짐
    곱 2(4/3)(16/15)(36/35)(64/63)(100/99)…도 π: https://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product
    n이 커질 때 (n!/(√n (n/e)^n))²/2는 아주 천천히 π에 가까워짐: https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation 예: https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=N%5C%2891%29Di...
    그 밖에도 비기하적 결과가 많이 있음: https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=List_of_formulae_...
  • 오히려 반대 아닌가 싶음
    내가 이해하기로는 유럽 문명의 인간들이 역사적으로 복소 지수함수를, 이미 정의된 sin과 cos의 주기와 맞추기 위해 주기 2πi 를 갖도록 정의한 것임
    다른 주기로도 정의할 수 있었음. 예를 들어 “360도”를 2π가 아니라 1로 두고 sin0=0, sin0.25=1, sin0.5=0, sin0.75=-1, sin1=0으로 정의했다면 e^ix의 주기도 1로 정의했을 것임
    십진법도 비슷함. 손가락이 열 개라 역사적으로 십진법을 써 왔을 뿐이고, 외계인도 열 손가락일 이유는 없음
  • π는 어디서나 같은 수 3.14...라고 말하는 편이 더 나음
    다만 다른 우주에서는 원의 길이 공식에 π를 쓰지 않을 수 있음
    맨해튼 거리(L_1)에서는 C = 8 R, 유클리드 거리(L_2)에서는 C = 2π R, 최대 거리(L_infinity)에서는 C = 8 R임
  • 단위 거리, 예컨대 2와 3 사이 또는 5와 6 사이의 거리를 그쪽 거리 함수로 정의하면 그들의 π가 다시 나타날지 궁금함
    수 체계에서 밑을 바꾸는 것과 비슷해 보임

• p-노름 단위원에 대해 π 비슷한 상수를 정의하는 방법은 여러 가지이고, p != 2에서는 서로 일치하지 않을 수 있음
  단위원의 넓이로 π를 정의하면 전혀 다른 값들이 나오며, 이 정의는 p-원에 대한 자연스러운 삼각함수 집합의 주기 상수가 되는 등 멋진 성질을 만족함
  더 나아가 pi(p) = 2 Beta(1/p,1/p)/p...임
  반면 둘레/호 길이에 기반한 π 정의는 켤레인 p, q에 대해 pi(p) = pi(q)라는 흥미로운 성질을 가짐
  “Squigonometry: The Study of Imperfect Circles”가 이런 내용을 다루는 재미있는 참고자료임

  • 힐베르트 공간이 아니라는 점이 기하에 어색한 영향을 주는지 궁금함
    아마 극화 항등식은 버려야 할 테고, 그러면 평행사변형에도 영향이 있을 듯하지만 정확히는 모르겠음

• pi = 3.14159…는 해석학과 그 확장인 통계학에도 등장하므로, 기하와 독립적임
  다른 우주의 외계인도 이 값은 알 것이고, 다만 원에 대해서는 다른 상수를 가질 뿐임
  어차피 그들이 그리스 문자를 쓰지는 않을 테니 번역이 필요하고, 그들의 3.757…을 “π”라고 대응시키는 것보다 3.14159…를 π로 보는 편이 덜 이상함
  물론 3.14…(π), 6.28…(2π), 0.785…(π/4) 중 무엇을 기본 상수로 삼아야 하는지는 논쟁적이고, 외계인은 다른 생각을 할 수도 있음
  글은 다른 우주의 원 상수를 설명하려고 거리 함수 개념을 도입하지만, 임의의 거리 함수가 선형 스케일링이나 병진 불변성을 보장하지는 않음
  원 상수를 의미 있게 정의하려면 거리 함수보다 강한 가정, 예컨대 노름 벡터 공간이 필요하고, 제시된 예들도 사실상 단순한 거리 공간이 아니라 노름 벡터 공간으로 보임

  • 첫 번째 요점은 놀랍지 않음
    우리의 π는 단위원이 완전히 연속적이고 미분 가능한 유일한 거리 함수와 묶여 있음
    2-노름은 여러 이유로 매우 특별하고, 한 점에서의 거리와 그 점들이 이루는 경로를 따라 상수를 적분한 결과를 연결하는 상수가 다른 상수보다 자주 발견되는 것도 자연스러워 보임
    해당 거리 함수의 단위원이 모든 곳에서 연속성과 미분 가능성을 갖지 않으면, 다른 많은 것들이 도미노처럼 무너질 수 있음
    점, 거리, 경로 사이의 간결한 관계에는 독특하게 중심적인 무언가가 있음
  • 첫 번째 요점이 궁금함
    다른 댓글에서 설명했듯 π의 값 3.14159는 순수한 수론만으로도 유도되지만, 마법처럼 우리가 아는 물리 세계를 형성하는 데 큰 역할을 함
    다른 우주에는 다른 수론이 있을 수 있을까, 아니면 수론은 우주와 무관하게 참인 걸까? 대안 수론은 도대체 어떤 모습일지 궁금함
  • https://tauday.com/tau-manifesto#table-quadratic_forms
    Buzzfeed처럼 들리고 싶진 않지만, 표 3은 꽤 말이 됨
  • 맞음. 예시에서도 실제로 2pi 를 계속 반복해서 쓰고 있음

• 이 사람은 항해를 모르는 듯함
  바람과 직각으로 항해하는 빔 리치는 돛의 양력 때문에 가장 빠른 범주에 속함

  • 이런 지적이 나올 줄 알았음
    이렇게 구체적이고 정확하면서도 부정확한 비유 하나 때문에 글 전체를 dismiss하지 않는 세세한 지적 때문에 HN이 좋음
  • 항해에 대해 전혀 몰랐는데, 이 댓글 덕분에 포인트 오브 세일을 찾아봤고 평생 미스터리였던 “돛단배가 어떻게 바람을 거슬러 유효 진행을 할 수 있는지”가 열렸음
    이건 정말 놀랍고, 항해는 대단한 과학임
  • 그렇게 해서 선체 속도를 넘기면 자기 선수파 위를 서핑하게 된다는 점도 흥미로움
  • 빔 리치가 반드시 가장 빠른 항법은 아님
    배, 돛의 효율, 센터보드/킬의 효율, 즉 양력/항력비에 따라 달라지고, 대체로 어떤 형태의 리치가 가장 빠를 가능성은 높지만 진풍 방향과 정확히 직각이진 않을 수 있음
    풍속, 파고, 무게 배분 등에 따라서도 달라짐
  • 올바른 가정을 넣으면 그 “원”은 어떤 모양이 되는지 궁금함

• 이 예시들은 모두 배경 거리 함수가 유클리드적이라고 가정함
  배경 2차원 거리 함수가 휘어진 3차원 공간의 사영이라면, 원의 중심을 잡아당겨 π를 원하는 만큼 크게 만들 수 있음

  • 여기에는 “배경 거리 함수”라는 개념이 없음
    반지름과 둘레 모두 정의된 거리 함수 자체로 측정됨
    유클리드 거리와 비교해 원점을 잡아당기는 거리 함수라면 그 매핑은 연속적이어야 하고, 결국 그 거리 함수에서 반지름과 둘레가 함께 늘어나는 결과가 됨
    사실 모든 거리 함수에 대해 π 값이 항상 3과 4 사이, 양끝 포함이라는 것을 증명한 글을 링크했지만 트래픽을 못 버틴 듯해서 대체 링크를 남김: https://www.researchgate.net/publication/353330827_Extremal_...
  • 배경 거리 함수가 아니라 공간 기하가 유클리드적이라고 가정된 것임
    비유클리드 기하에서는 어떤 원의 둘레와 지름의 비가 상수가 아니라 지름에 따라 달라지므로, 그런 경우에는 애초에 “π”를 정의할 수 없음
  • 약간 딴소리지만, π에 대해 이해한 거의 모든 것은 학교에서 보지 못한 3D GIF 모델 덕분임
    이런 자료는 3B1B보다 훨씬 더 초기에 학습 곡선의 핵심으로 들어가야 함

• 어릴 때 이런 관계들을 상상하는 걸 좋아했음
  우주를 만든 신이 있었고, 나처럼 지루한 아이가 학교 과제로 우주를 만들고 있을지도 모른다고 상상했음
  그 신이 π나 e의 손잡이를 유리수로 돌렸다면, 물론 신의 우주에서는 손잡이를 정확한 무리수 값으로도 돌릴 수 있다고 치고, 우리 삶은 더 쉬워졌을까 어려워졌을까 아마 더 쉬웠을지도 모름
  지구에서 보는 지구/달/태양의 겉보기 크기는 어떨까? 그건 훌륭한 단서지만, 그 우연이 없었다면 천문학을 더 많이 알게 됐을 수도 있음
  우주의 양자역학적 기묘함이나 말 그대로 어두운 물질을 필요로 하는 불균형들이, 사실은 서둘러 만든 아이의 과제에 들어간 버그라서 애초에 말이 안 되는 것일 수도 있음
  하지만 가장 오래 생각하게 만든 건 무리수였음

• HN 글 흐름을 제대로 읽었다면, Terence Tao의 측도론 입문은 빠질 수 없음
  https://news.ycombinator.com/item?id=38064211
  그런데 진지하게, 누가 무료 260쪽짜리 측도론 책을 읽거나 훑어볼까?
  https://en.wikipedia.org/wiki/Measure_(mathematics)

  • Tao의 강의 노트는 그냥 읽거나 훑는 종류가 아님
    대학에서 선수과목을 건너뛰려고 그걸로 측도론을 독학했는데 정말 어려웠음
    두 페이지마다 연습문제가 나오는 수준이고, 시간을 들여 풀지 않으면 배울 게 많지 않을 듯함
    게다가 그 연습문제들이 어렵다
  • 260쪽짜리 책을 읽는 게 왜 그렇게 믿기 어려운지 모르겠음
    사람들은 늘 260쪽짜리 책을 읽음
    나는 관심 분야가 아니라 이 책은 읽지 않겠지만, 다른 주제의 100쪽 넘는 책들을 읽느라 바쁨

• p진수로 만든 재미있는 공간이 있고, 그 위에 단순한 거리를 정의하면 원이 이상한 성질을 가짐
  예를 들어 지름, 즉 가장 먼 가장자리 사이의 거리와 반지름, 즉 가장자리에서 중심까지의 거리가 서로 같아짐
  원판의 넓이와 둘레에도 기묘한 일이 생기고, 열린 원판이 동시에 닫혀 있기도 함
  거기서의 π에 해당하는 것은 완전히 이상함
  안타깝게도 세부 내용은 기억나지 않음. 2000년쯤 수학 수업의 연습문제였음
  https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number#Topological_prop...

• 배 비유는 특히 좋지 않아 보임
  바람 부는 날의 돛단배와 암묵적으로 바람 없는 날의 돛단배를 비교하는데, 바람이 없으면 애초에 원도 없을 것임
  배 전문가는 아니지만, 바람이 X노트라면 배는 순풍 방향으로 X노트까지 갈 수 있고, 글의 주장과 달리 횡풍 방향으로는 X의 몇 배 속도로도 갈 수 있음
  그러면 그림과 비슷한 타원이 나오긴 하겠지만 방향은 반대일 것임
  또 배는 태킹과 자이빙으로 바람 “쪽으로”도 진행할 수 있음