GN⁺: Lemniscate Constant (ϖ) : π의 어두운 쌍둥이(Evil Twin)
(mathstodon.xyz)- π(파이)와 마찬가지로 ϖ는 중요한 수학적 상수
- π는 원과 삼각 함수(sin, cos)와 연관됨
- ϖ는 무한대(∞) 모양의 렘니스케이트(lemniscate)와 새로운 삼각 함수(sl, cl)와 연관됨
- 렘니스케이트는 두 점에서의 곱을 일정하게 유지하는 커브(카시니의 타원)의 특별한 경우로, 무한대(∞) 형태를 가짐
- ϖ는 "렘니스케이트 상수"로 불리며, 대략적으로 2.62205755에 해당
렘니스케이트와 ϖ
렘니스케이트 정의
- 극좌표에서 렘니스케이트는 "반지름 제곱은 각도의 두 배에 대한 코사인 값"이라는 공식으로 표현됨
- 원 둘레가 (2π)에 해당하는 것처럼, 렘니스케이트의 둘레는 (2ϖ)에 해당
ϖ의 삼각 함수: sl과 cl
- 원의 삼각 함수(sin, cos)처럼, 렘니스케이트에서는 sl과 cl이라는 함수가 존재
- 예를 들어, 삼각 함수에서의 "사인 제곱 더하기 코사인 제곱은 1"이라는 공식이 렘니스케이트에서는 다음과 유사하게 변환됨:
- sl 제곱 더하기 cl 제곱 더하기 sl 제곱과 cl 제곱의 곱은 1
π와 ϖ의 연결
- π와 ϖ는 유사한 공식과 패턴을 공유하며, π는 ϖ 계열 상수 중 하나
- π는 ϖ₂로, ϖ는 ϖ₄로 표현되며, π와 ϖ 사이에는 또 다른 상수 ϖ₃가 존재
- 이러한 계열 상수는 고유한 수학적 구조를 나타내며, 더 복잡한 곡선과 함수와 관련
ϖ와 가우스의 발견
- 가우스는 렘니스케이트 상수가 산술-기하 평균(Arithmetic-Geometric Mean)과 연결되어 있음을 발견
- 산술-기하 평균은 두 값의 평균과 기하 평균을 반복적으로 계산하여 수렴 값에 도달하는 과정
- 예를 들어, 1과 루트 2의 산술-기하 평균은 π와 ϖ의 비율로, 이는 "가우스 상수"로 알려짐
고차 상수 ϖₙ
- ϖₙ은 하이퍼타원 함수와 곡선과 연결
- 하이퍼타원 곡선은 리만 구의 두 배 껍질로 정의되며, (n)차 대칭점(유니티의 n번째 제곱근)에 가지점이 생김
- 이러한 상수는 고차 곡선의 대칭성과 독특한 특성을 반영
참고 자료 및 링크
Hacker News 의견
- "lemniscate"라는 단어의 철자가 헷갈려 확인해 보았음. 이 논의 덕분에 새로운 좋아하는 지도를 발견했음
- Peirce Quincuncial Projection이라는 지도임
- 보호를 위해 행운의 클로버 부적을 사용할 수 있음
- polar plot r=cos(2θ)로 표현됨
- 둘레는 상수 4*E(-3) ~ 4 * 2.4221로 정의될 수 있음
- π는 원에서 유래하며, 한 점에서의 거리로 정의됨
- ϖ는 Bernoulli의 lemniscate에서 유래하며, 두 점에서의 거리로 정의됨
- 세 점에서 정의되는 형태에서 유래한 유사한 상수가 있는지 궁금함
- π와 그 쌍둥이의 비율은 대략 1.198이며, 이는 sqrt(2)와 1의 산술-기하 평균임
- AM이 GM으로 수렴하면, AM-GM-HM 불평등에 의해 조화 평균으로도 수렴해야 함
- HM은 비싼 제곱근이 필요하지 않음
- AM과 GM의 수렴이 거의 즉각적임
- Gauss 상수의 HM 수렴을 위해서는 약 15단계가 필요함
- 비싼 연산자를 피할 수 있지만, 많은 반복이 필요함
- 다른 주목할 만한 상수들:
- Euler–Mascheroni Constant: 조화급수, 감마 함수와 관련된 적분 및 합
- Catalan’s Constant: 특정 삼각급수, 격자 그린 함수
- Feigenbaum Constants: 로지스틱 맵, 동적 시스템의 혼돈
- Khinchin’s Constant: 단순 연분수의 부분 몫
- Glaisher–Kinkelin Constant: Barnes G-함수의 점근적 전개, 조합적 한계 및 특정 곱셈 전개
- Ramanujan’s Constant: 타원 곡선의 복소수 곱셈
- Omega Constant: Omega * e^Omega = 1, Lambert W 함수, x^x^x^... = 2
- 문화 상대주의자가 아니지만, ∞ 모양을 ◯ 모양보다 더 중요하게 여기는 문명이 있다고 믿지 않음
- 로그 공간에서 사는 존재들이 있을 수 있음
- 그들의 원은 lemniscate일 수 있음
- π와 ϖ는 무한한 형제들 중 두 개일 뿐임
- 왜 두 점만? 왜 세 점이 아닌가?
- N점에서의 거리의 일정한 곱으로 생성된 흥미로운 곡선을 찾을 수 있는가?
- 고차원에서는 1점에 대해 구가 있음
- 2점에 대한 형태는 무엇인가? 모래시계 같은 이중 물방울인가?
- 이 형태가 원보다 문명에 더 중요해지는 것이 흥미로운 SF 설정이 될 수 있음