멋진 우연 또는 예상된 연결: 왜 π² ≈ g

 (roitman.io)
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신비로운 일치

  • π²가 g와 거의 같은 이유에 대한 질문
  • π는 무차원 수이고 g는 물리량임
  • 두 값이 정확히 같지 않음

단순하지 않은 문제

  • g의 값은 m/s² 단위로 표현됨
  • 다른 단위로 표현하면 이 일치가 사라짐
  • 미터와 초의 정의를 이해해야 함

미터의 정의

  • 미터는 빛이 진공에서 1/299,792,458초 동안 이동한 거리임
  • 이 정의에는 π가 포함되지 않음

표준의 역사

  • 과거에는 사람의 신체 부위를 기준으로 길이를 측정함
  • 표준화의 필요성이 생기면서 자연 상수를 이용한 정의가 제안됨

표준화의 꿈과 중력

  • 17세기에 크리스티안 하위헌스가 진자의 길이를 이용한 미터 정의를 제안함
  • 진자의 길이가 지구의 위치에 따라 달라지는 문제가 발생함

놀라운 방정식

  • 진자의 주기를 구하는 공식에서 π가 등장함
  • 하위헌스의 진자 매개변수를 대입하면 π² = g가 됨

프랑스 혁명과 미터의 변화

  • 1791년 프랑스 과학 아카데미가 미터의 정의를 변경함
  • 파리 자오선의 4천만 분의 1로 정의됨

진정한 미터

  • 파리 자오선을 실제로 측정하여 미터를 정의함
  • 지구의 편평도를 고려하지 않아 약간의 오차가 발생함

결론

  • π²와 g의 차이는 약 0.06임
  • 미터의 정의가 변경되지 않았다면 π² = g라는 우아한 방정식이 성립했을 것임

# GN⁺의 정리

  • 이 글은 π²와 g의 관계를 탐구하며, 역사적 배경과 과학적 원리를 설명함
  • 미터의 정의가 여러 번 변경되면서 발생한 오차를 다룸
  • 수학과 물리학의 흥미로운 연결고리를 이해하는 데 도움이 됨
  • 비슷한 주제로는 '자연 상수와 단위의 역사'를 추천함

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GN⁺   [-]
Hacker News 의견들

  • 흥미롭지만 이 부분은 따지고 싶음: “다른 단위로 표현하면 마법이 즉시 사라진다. 그러니 우연이 아니다”
    보통은 이게 우연의 강한 신호에 가깝다. 우연이 아닌지를 보는 휴리스틱을 찾는다면 “단위를 바꿔도 유지되는가”가 맞는 기준임
    다만 이 경우는 그 휴리스틱이 실패하는 특이한 사례로 보임

    • 꼭 그렇지는 않음. 천문학을 배울 때, 1년이나 하루와 비슷한 주기성이 관측되면 대개 우연이 아니라 지구의 공전이나 자전을 제대로 보정하지 못한 것이라고 배웠음
    • 사실 아님. 전체 식은 결국 미터의 정의, 더 정확히는 예전 정의 중 하나로 귀결됨
    • 이 반박에 동의하지 않는 사람이 많아서 놀람. 나도 정확히 같은 생각을 했음
      만약 π²가 g와 정확히 같고, 다른 단위에서 “마법”이 사라진다면 그때는 “그러니 우연이 아니다”라고 말하며 단위 자체와 관련 있다고 결론낼 수 있음
      하지만 π²는 g와 대략 같을 뿐이고, 다른 단위에서는 마법이 사라지므로 글을 읽기 전이었다면 우연이라고 봤을 가능성이 큼
    • 동의함. 뒤에서 이야기가 어떻게 전개되든, 겉보기에는 우연을 보여준 직후에 “그러니 우연이 아니다”라고 쓰는 건 당황스러움
    • 동의함. 다만 “so”를 빼면 모순은 없음. 글쓴이가 “즉”이라는 뜻이 아니라, 비교적 의미 없는 담화 표지처럼 썼을 수도 있음

  • 물리학자로서는 말이 됨. π = 3, π² = 10, 그게 g임
    왜 다들 놀라는지 모르겠음
    아, 그리고 1년은 π*10e9초였던 걸로 기억함

    • 컴퓨터 과학자로서도 놀랍지 않음. 결국 숫자는 0, 1, n 세 개뿐임
    • 물리학자로서? 학교에서 물리를 할 때 문제를 풀면 답은 항상 숫자와 단위가 함께 있었음. π²는 순수한 수라서 10일 수 있지만, g는 가속도라는 물리량이라 절대 그냥 10일 수 없고 어떤 단위의 10이어야 함
    • π와 g의 연결은 진공에서 가속하는 소가 구형이기 때문이라고 생각했음
    • π초는 나노세기임. 그래서 1년 = π*10^7초
    • 기계공학자로서 확인 가능함. e ≈ π ≈ 3임

  • 또 다른 “멋진 우연”은 마일과 킬로미터 변환에 1.609344라는 상수가 들어간다는 것임: kilometers = miles * 1.609344. 이 1.609344를 “km” 상수라고 부르자
    알고 보니 km는 황금비 (sqrt(5)+1)/2 = 1.618033989...와 매우 가까움. 차이는 약 0.5%뿐임(100 * (gr/km - 1) = 0.54%)! 원문 글쓴이 표현대로 “다른 단위로 표현하면 마법이 즉시 사라진다. 그러니 우연이 아니다...”라니, 음... 잠깐만?
    하나 더 있음. π(3.141592654...)는 4 / sqrt(gr)(3.144605511...)와 거의 같고, 후자를 “almost pi”의 “ap”라고 부르자. 이건 π를 황금비와 연결하며 차이는 0.096%(100 * (pi/ap - 1))뿐임. 분명 뭔가 의미가 있겠지?
    마지막으로 제일 좋아하는 것: 111111111^2 = 12345678987654321. 이건 ... 음 ... 잠깐 ...

    • 마일은 피트와 연결되고, 피트와 중력은 황금비와 연결되나? 6피트는 2π 같은 느낌임?
    • 1년은 π * 1e7초와 매우 가깝고, 오차가 0.5%보다 작음
    • ln(5) ~ 1.6094379가 훨씬 더 가깝고, 차이는 퍼센트의 0.5% 정도임
    • 최고는 sum(1, 36)임

  • 미터의 길이를 초진자의 길이로 정의했다면 g는 정확히 π²가 됐을 것임. 진자 방정식에서:
    T = 2π√(L/g)
    T = 2 s, L = 1 m을 대입하면:
    2 s = 2π√(1 m / g)
    g에 대해 풀면:
    g = π² m/s²
    이는 중력이 어떤 세기이든 성립하지만, 그에 따라 미터의 길이가 달라졌을 것임
    [1]. 실제로 1790년에 Talleyrand가 이를 제안했음. 이게 사실이 된 세계를 상상해 보라

    • 글에서 Huygens가 17세기에 이걸 제안했다고 설명하고, 같은 유도도 보여줌 :)

  • 관련해서 좋아하는 것이 하나 있음. 왜 아보가드로 수와 볼츠만 상수가 서로 역수처럼 N ~ 1/k일까? 단위가 맞지 않아서 문장 자체는 말이 안 되지만, MKS 단위계에서는 참임
    둘을 곱하면 약 1인 기체 상수가 되기 때문임. 둘 다 미시적 단위에서 인간 규모 단위로 옮겨 주는 숫자이고, 인간 규모에서 경험하는 기체를 나타내는 기체 상수에서는 서로 상쇄됨

    • 재미있게도 아보가드로 상수는 실제로 1과 같음. 아보가드로 수에 몰을 곱한 것으로 정의되는데, 몰 자체가 아보가드로 수의 역수와 같은 무차원량이기 때문임
    • 그래도 우연 아닌가? Nk=8.31은 기체 1몰의 압력부피/온도임
      온도 범위는 비교적 좁고(100~1000), 미터·초·킬로그램을 다르게 정의했다면 P*V 범위가 0.01~0.1처럼 그 범위에서 멀어지지 말라는 이유도 없음

  • 이걸 이보다 더 못 설명하기도 어려울 듯함
    이 글은 어떤 독자를 위한 건가. 물리를 모르는 사람에게는 너무 길고 혼란스러운 설명임. 어떤 단위가 다른 단위에 의존한다는 점과, 미터법을 스스로 재현할 수 있는 능력이 왜 중요한지를 설명하는 편이 길이 표준의 긴 전사보다 훨씬 중요함
    답하지 않은 질문도 많음. 초는 무엇으로 정의됐나? 시간은 진자로 재는 것 아닌가? 천문학적 정의가 왜 더 신뢰할 만했나?
    물리를 아는 사람에게는 훨씬 짧고 명확하게 쓸 수 있음. 예를 들면: “미터의 보편적 정의에는 중력처럼 자연에 나타나는 상수가 필요하다. 일정 시간 동안 물체가 떨어지는 거리를 잴 수도 있지만 진자를 쓰는 편이 쉽다. 진자는 대략 2πsqrt(줄 길이/중력)의 주기로 일정하게 흔들린다. 중력을 π²로 두면 제곱근 뒤에서 π가 상쇄되어 T = 2*sqrt(Length)가 된다. 1미터 진자는 왕복에 2초, 한 번 흔들리는 데 1초가 걸리므로 유용하다. 당시 시계는 꽤 정확했고, 초는 천문 관측으로 재현 가능했다. 그래서 진자를 가져와 정확히 1초마다 한 번 흔들리도록 길이를 조정한 뒤, 그 줄이나 막대로 무엇이든 잴 수 있었다. 좋아 보여서 중력 상수를 π²(9.87 m/s²)가 되도록 바꿨다. 미터를 줄이면 모든 것이 더 길어진다. 이후 지구 표면에서 중력이 달라지고 완벽한 수학적 진자를 재현하기 어렵다는 사실을 알게 되어, 지구 크기를 바탕으로 한 천문학 기반 정의로 바꿨다. 그것도 문제가 있어 파리에 1미터짜리 물리적 막대를 보관했다. 몇 년 전부터 물리학자들은 측정 가능한 가장 작은 거리인 플랑크 상수를 쓰기 시작했다.”

    • 미터는 현재(2019년 이후) 원자시계의 N주기 동안 진공에서 빛이 이동한 거리로 정의됨[1]. 일반상대론 효과를 고려하려면 지구 어디에서 측정하는지도 지정해야 함. 중력이 시계 속도에 영향을 주기 때문임
      이제 빛의 속도는 측정값이 아니라 정의값임. 이건 꽤 심오한데, 우리 단위계가 이제 특수상대성이론의 유효성에 기반하기 때문임
      1 - https://en.wikipedia.org/wiki/Metre

  • 미터 정의의 역사에서 나온 멋진 반전과 훌륭한 글이었음
    읽다 보니 Ramanujan 같은 수학자들이 떠오름. 무작위 숫자들을 갖고 놀며 연결을 찾는 데 꽤 시간을 썼던 사람들 말임. 다만 이 경우 글쓴이는 처음부터 역사를 알고 있었을 것 같음
    어쨌든 수학 학위가 그런 숫자 관계 탐험의 재미를 어느 정도 죽여 버린 느낌이 있음. 어릴 때는 이상한 낙서처럼 연결을 만들고 찾는 걸 좋아했는데, 학위를 마칠 때쯤에는 배운 더 추상적인 기본 요소들 사이의 연결을 생각하고 싶어졌음
    그래도 여전히 성공한 수학자들 중에는 이런 식으로 작업하는 사람이 많아 보임. 이상한 연결을 알아차린 뒤 왜 그런지 이론을 채워 넣고, 가끔은 정말 흥미로운 결과로 이어지는 방식임

  • 관련해서 미터법의 기원과 최초의 과학 학술회의를 다룬 Ken Alder의 The Measure of All Things를 추천함. 의외로 매우 몰입감 있게 읽힘
    https://www.simonandschuster.com/books/The-Measure-of-All-Th...

  • 내용과는 전혀 무관하고, 웹사이트 자체에 관한 것임
    사이트에 접속하면 완전히 깨짐. 조사해 보니 Stylus(CSS 주입 확장)를 어떤 규칙이든 켠 상태면, 전역 규칙만 있어도 사이트를 쓸 수 없게 됨. React 프레임워크로 만들어져서 단순히 이상하게 보이는 게 아니라 아예 깨짐
    티켓을 올리고 Stylus 개발자에게 빠르게 답을 받았는데, 이 웹사이트와 caseme.io로 만든 모든 사이트는 `` 안에 주입된 노드를 감지하면 오류를 던지고 깨지는 것으로 보임
    [1] https://github.com/openstyles/stylus/issues/1803

    • 지금 Stylus는 쓰지 않지만 나도 깨짐. CSS가 전혀 적용되지 않는 것처럼 보이고, 큰 로고 이미지와 기본 글꼴 텍스트가 나옴. 어떤 확장이 원인인지는 모르겠지만 아마 Dark Reader일 듯함. 그래도 읽을 수는 있어서 큰 문제는 아니었음

  • “천을 더 사야 하면 마을에서 가장 키 큰 사람을 불러 그 사람의 큐빗으로 천을 재게 했을 것이다”라는 전략이 실제 천 판매자에게 통했을지는 매우 의심스러움
    공식 도량형은 없었을지 몰라도, 그들이 멍청했던 건 아님

    • 요즘 노골적인 슈링크플레이션을 보면 이 댓글이 유쾌하게 아이러니하게 느껴짐
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