수학적 필기 향상을 위한 팁 (2007)

• 공학·과학·수학에서는 손으로 쓴 수식도 중요한 의사소통 수단이어서, 작은 획 차이가 기호 오독을 줄임
• 수학식은 로마자·숫자·그리스 문자가 섞이기 때문에 산문처럼 문맥으로 애매한 글자를 보정하기 어렵고, 각 기호가 독립적으로 식별되어야 함
• l/1, z/2, O/0, G/C/6, q/9/8, x/×처럼 자주 헷갈리는 조합은 획, 고리, 꼬리, 가로줄로 구분하는 습관이 필요함
• 그리스 문자는 학년이 올라갈수록 더 자주 등장하므로 alpha, eta, mu, nu, upsilon, phi, chi, omega를 로마자나 숫자처럼 쓰지 않도록 주의해야 함
• 대문자 그리스 문자의 상당수는 대문자 로마자와 구별되지 않아 보통 피하고, Theta, Phi, Psi처럼 구분 가능한 글자는 내부 획이나 가로줄을 명확히 넣어야 함

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수학 손글씨가 더 엄격해야 하는 이유

• 기술 분야 전공자는 글로 의사소통하는 시간이 많아지며, 이전에는 크게 신경 쓰지 않았던 글자 모양의 세부 차이가 중요해짐
• z에 가로줄을 긋지 않으면 다른 사람이 읽기 어려울 뿐 아니라, 자신도 2z와 z2 같은 표현을 잘못 읽을 수 있음
• 조판된 로마자, 숫자, 그리스 문자는 대체로 구별되지만, 손으로 빠르게 쓰면 기호가 서로 닮아짐
• 산문에서는 주변 글자가 애매한 문자를 보정해 주지만, 수학식은 여러 문자 체계와 기호를 섞어 쓰므로 문맥에 기대기 어려움

기호별 손글씨 구분법

• 소문자 로마자

  • l은 필기체처럼 쓰고 e보다 크게 써야 1과 덜 헷갈림
  • p는 위쪽에 뾰족한 부분을 만들어 rho와 구분함
  • q에는 획을 넣어 9와 구분하되, 고리 모양은 8처럼 보일 수 있어 피함
  • t는 아래쪽에 고리를 넣어 더하기 기호처럼 보이지 않게 함
  • u에는 꼬리를 붙여 v와 구분함
  • v와 w는 아래쪽을 뾰족하게 유지해 각각 nu, omega와 구분함
  • x에는 고리를 넣어 곱셈 기호와 구분함
  • z에는 가로줄을 그어 2처럼 보이지 않게 함

• 대문자 로마자

  • G에는 뚜렷한 꺾임을 넣어 C나 6처럼 보이지 않게 함
  • I에는 가로줄을 넣어 l이나 1과 구분함
  • O에는 고리를 넣어 0과 구분함
  • X와 Z는 소문자와 마찬가지로 각각 고리와 가로줄로 구분함

• 숫자

  • 0에는 사선을 긋지 않음; phi는 세로줄, 공집합 기호는 기울어진 사선을 사용함
  • 2에는 고리를 넣어 z처럼 보이지 않게 함
  • 4의 윗부분은 열어 두어 닫힌 모양이 9처럼 보이지 않게 함
  • 5의 윗부분은 각지게 써서 S와 구분함
  • 7에는 가로줄을 그어 급하게 쓴 1처럼 보이지 않게 함
  • 9의 아래쪽에는 고리를 넣지 않아 g처럼 보이지 않게 함

• 소문자 그리스 문자

  • 그리스 문자를 a 같은 로마자로 대체하지 말고, 더 많이 보게 될 문자 체계로 받아들여 익혀야 함
  • alpha는 한 번에 자연스럽게 그리되 2처럼 보이지 않게 함
  • eta와 mu는 긴 꼬리를 넣어 각각 n, 필기체 u와 구분함
  • lambda는 위쪽에 고리를 넣음
  • nu는 u, v, upsilon과 헷갈리기 쉬우므로 왼쪽 고리와 아래쪽 뾰족한 부분을 포함함
  • omicron은 로마자 o와 같아 사용하지 않음
  • upsilon도 u, v, nu와 헷갈리기 쉬우며, 많이 쓰이지는 않지만 구분되게 써야 함
  • phi의 사선은 세로로 유지하고, 공집합 기호의 사선은 기울여 씀
  • chi는 자주 쓰이지만 까다로우며, 위로 올라가는 획을 아래로 내려가는 획보다 훨씬 크게 만들어 소문자 x와 대문자 X와 구분함
  • omega는 물리 수업에서 자주 쓰이며, w와 구분되도록 둥글게 유지함

• 대문자 그리스 문자

  • 대부분은 대문자 로마자와 구별되지 않으므로 사용하지 않음
  • 대문자 Theta는 안쪽에 대문자 H를 넣어 소문자 theta와 구분함
  • 대문자 Phi와 Psi는 대문자 I처럼 가로줄을 넣어 구분함

[GN⁺]

Hacker News 의견들

• x에 갈고리를 붙이면 곱셈 기호와 구분된다는 팁은 오히려 역효과라고 봄
  그렇게 쓰면 카이(χ) 처럼 보이고, 글에서도 그 문제를 짚고 있음
  곱셈 기호 “×”와 헷갈릴 가능성보다 이쪽이 더 문제가 될 듯하고, 곱셈이 필요하면 가운데점 “·”을 쓰는 편이 낫다고 봄

  • 내 x는 Computer Modern이나 여러 글꼴처럼 뒤집힌 c와 c를 이어 쓰는 식으로 씀: https://i.ibb.co/8LPsJKsj/image.png
    카이나 곱셈 기호처럼 보이지 않음
    대상 독자 중 스칼라 곱셈에 ×를 쓰는 사람은 없을 것 같음
  • 독자층을 고려하는 게 중요하다고 생각함
    수학을 기본만 아는 사람에게 읽히게 쓰려면 보통 문자 x가 아니라 가운데 놓인 곱셈 기호 ×를 의도적으로 씀
    수학 지식이 더 있고 내 악필 때문에 x로 볼 가능성이 큰 사람을 상대할 때는 보통 점 연산자를 쓰지만, 그 경우에는 점 연산자가 뭘 뜻하는지 정의해야 하는 독자층도 생김
    그쯤 되면 결국 LaTeX 같은 걸 켜게 되는데, 다시 말하지만 내 손글씨가 별로라서임
    재미있게도 수학 목적으로 쓸 때의 숫자가 그냥 숫자를 적을 때보다 더 읽기 쉬움
    손글씨에서도 코드 전환을 하는 셈인데, 서류 작성할 때 꽤 성가심
  • 내가 배운 필기체에서는 x의 네 끝에 모두 갈고리가 있었고, 그리스 문자 카이는 두 끝에만 있었음
    그래도 보통은 단순한 십자 모양을 x로 쓰는데, 외적과 헷갈리는 일이 아주 드물고 필요하면 괄호를 치면 되기 때문임
  • 문맥에 따라 점과 곱셈 기호는 서로 다른 의미일 수 있음
  • 글에서 Calculus 3, 즉 벡터 미적분을 언급할 때 이 점을 암시하고 있음
    ×는 외적, •는 내적임
    1차원을 넘는 차원에서는 둘이 다름

• 그리스 문자는 이 자료가 마음에 듦: https://www.covingtoninnovations.com/pens/GreekChartLarge.jpg
  “수학적 성숙함”이란 소문자 제타를 쓸 수 있는 것이라는 오래된 농담이 있지만, 크시와 제타를 헷갈리는 교수들에게 충분히 수업을 들어 보니 그렇게까지 중요하지는 않은 듯함

  • 수학에 특화된 자료는 아니지만 이쪽도 늘 마음에 들었음: https://foundalis.com/lan/hw/grkhandw.htm

• 좋은 자료이고, 내 수업에서 학생들에게 말하는 내용과 거의 같음
  기호를 어떻게 써야 하는지 꽤 신경 써서 설명하고, 그리스 문자 발음도 여러 가지로 알려줌
  수학·물리 배경이 있는 학생들은 그리스 문자와 다른 수학 기호에 익숙하지만, 생물학 전공 학생들은 크게 당황함
  같은 기호를 다른 용도로 재사용하면 특히 심하게 혼란스러워함
  수학 표기와 추론에 어려움을 겪는 학생들은 초등 저학년 때 선생님이 “x를 미지수라고 하자”고 말한 순간 길을 잃은 경우가 많다고 봄
  그런 표현은 다른 맥락에서는 거의 나오지 않아서 학생들을 궤도에서 벗어나게 하는 듯함
  이후 다시 따라잡기 어려워져서, 시스템이 더 이상 수학 수업을 요구하지 않을 때까지 암기와 자동 조종으로 버티는 일이 많음
  참 아쉬운 일임

  • “x를 미지수라고 하자”에서 궤도를 이탈했다는 부분은 직접 겪어 본 건 아니라 확신은 없지만, 초기 수학에서 길을 잃게 만드는 방아쇠는 여러 가지일 것 같음
    흔한 원인 목록을 보면 흥미로울 듯함
    개인적으로는 표준 표기를 체화하기가 어렵고, 확률론에서 f와 F 중 어느 쪽이 무엇인지 같은 것도 자꾸 헷갈림
  • 학부 초기에 Boston의 중고 서점에서 작은 수학 표기 포켓북을 찾았는데, 그 책이 미적분, 선형대수, 통계, 동적 계획법, 확률 과정, 게임 이론, 경제학 등을 버티게 해줌
    결국 학위 기간 내내 시험과 노트까지 전부 작은 Moleskine 노트에 손으로 옮겨 적었음
    뭔가를 다시 기억하거나 새로 배워야 할 때마다 정말 구세주 같음

• “p 위쪽에 뾰족한 부분을 만들어 로와 구분하라”는 대신 \varrho(ϱ)를 쓰면 됨
  “파이의 세로획은 수직으로, 공집합 기호의 빗금은 기울여라”도 마찬가지로 \varphi가 더 구분하기 쉬움
  저자는 TeX에서 \varepsilon은 조용히 골랐지만 나머지 변형들은 무시한 셈임
  내 초등학교 수학 선생님은 알파의 윗부분을 아주 크게 올려 써서, 가로줄 없는 세리프 £ 기호에 가까울 정도였음

  • 앞부분의 비수학 그리스 문자에도 파이가 두 개 더 있지만, 안타깝게도 글꼴마다 어느 쪽을 \phi나 \varphi로 표시하는지가 다름: φ(U+03CD), ϕ(U+03DC)

• 내 팁은 흰 종이를 쓰는 것임
  줄도 격자도 없이 그냥 흰 종이
  스웨덴에서는 격자 종이를 쓰는 게 기대됐지만, 시각적 잡음이 너무 많아짐

  • 실해석 수업을 들을 때 정말 뛰어난 학생이 있었는데, 스터디 시간에 꺼낸 노트가 특이했음
    페이지가 아주 크고 조금 더 두꺼운 재질에, 약간 거친 질감이었음
    잉크도 표면에 더 잘 자리 잡는 듯했고 반대쪽으로 번지지도 않았음
    알고 보니 예술가용 노트였고, 보통의 무지 노트보다 훨씬 선호한다고 했음
    직접 하나 사 보니 동의할 수밖에 없었고, 쓰는 느낌이 훨씬 좋았음
    도식도 덜 비좁게 그리고 가장자리에 부딪히지 않게 뻗어나갈 수 있었으며, 종이 두께에서 오는 촉각 피드백도 좋았음
    어떤 의미에서는 종이 노트의 기계식 키보드 같은 느낌이었음
    그 뒤로는 다시 돌아가지 않았고, 같이 일하는 사람들도 신기해하면서 쓰기 좋다고 느끼곤 함
    펜과 종이가 타이핑보다 이해에 도움이 된다는 연구처럼, “펜과 종이 경험의 쾌적함”도 추가로 실제 긍정 효과가 있지 않을까 궁금함
  • 몇 년 동안 무지 종이를 썼지만 문제가 좀 있었고, 지금은 연한 줄 노트를 씀
    보통 Muji 노트를 쓰며, 각 문장 사이에는 한 줄씩 비워 둠
    읽기 쉽고 정렬된 형태를 만들고 싶을 때 줄이 꽤 유용하고, 그게 제법 중요함
    스캔도 잘 됨
    우리 아이들은 진한 파란 격자 종이를 강제로 써야 했는데, 쓰고 읽는 데 문제가 있었음
    수학 선생님에게 이게 해로울 수 있다고 말했더니 “당신이 뭘 아느냐”는 식의 장광설을 들었고, 태도가 정말 나빴음
    그를 꽤 난처하게 만든 답을 해줬음
  • 이 부분에서는 여러 단계를 거쳤지만, 최근에는 수학 수업에서 글을 많이 쓸수록 줄 노트에 정착하게 됨
    무지 종이는 너무 비어 있음
    글씨를 크게 흐트러지게 쓰고 페이지를 낭비하기 쉬움, 디지털이어도 마찬가지임
  • 스무 살쯤 완전한 흰 종이로 바꾼 뒤 돌아본 적이 없음
    그때부터 무조건 흰 종이를 써야 했고, 이제 너무 익숙해져서 줄이나 격자가 있으면 약간 거슬리고 배치를 잡는 데 방해가 됨
    무엇이든 익숙해질 수는 있음
  • 필기 받침판이 도움이 될 수 있음
    예: https://www.jetpens.com/Hobonichi-Accessory-Pencil-Board-for-A5-Ice-Gray-x-Yellow/pd/44443
    격자나 줄이 있는 판을 얇은 무지 종이 아래에 두는 방식임
    두꺼운 종이는 줄이나 격자가 잘 비치지 않을 수 있음
    정렬에 필요한 구조를 제공하면서 최종 결과물은 깔끔하게 유지해 줌

• 응용수학을 공부하면서 글에서 말한 습관들을 의도치 않게 얼마나 많이 익혔는지 깨닫고 놀라움
  졸업 후에도 이런 관례를 꽤 많이 그대로 따르고 있음

• 이 방식들이 학교에서 배우는 실제 일반적인 필기체가 아니라는 게 오히려 놀라움
  불가리아에서 자랄 때 처음 7년은 독일어와 러시아어를 배우는 학교에 다녔고, 독일어 필기 연습에서 글에 나온 방식과 거의 비슷하게 배운 기억이 뚜렷함
  예를 들어 7은 기본적으로 가로줄을 그어 썼고 Z도 마찬가지였음
  이런 필기체가 미국이나 영국에서는 흔하지 않은가 궁금함
  그리스어 읽기는 대부분의 불가리아인에게 쉬운 편임
  불가리아가 키릴 문자의 발명자라는 점을 모른다면 참고할 만하고, 그리스와 지리적으로 이웃이며 역사적 연결도 가깝기 때문임

  • 90년대 후반 미국에서 배운 버전에서는 대체로 그렇지 않았음: [https://en.wikipedia.org/wiki/D%27Nealian/…](https://en.wikipedia.org/wiki/D%27Nealian#/media/File:D'Nealian_Cursive.svg)
    특히 가로줄을 그은 z는 내가 배운 어떤 글씨체에도 없었고, 소문자 대부분에서 앞뒤로 이어지는 꼬리도 빠져 있었음
    인쇄체에서도 l은 오른쪽 꼬리가 있는 세로선으로 배워서, 필기체 고리 없이도 1이나 I와 달랐음
    흥미롭게도 숫자 섹션의 “2에 고리를 넣어 z처럼 보이지 않게 하라”에서, 그 고리 있는 버전은 필기체 대문자 Q와 똑같음
  • 키릴과 메토디우스, 즉 키릴 문자의 전신을 만든 두 수도사의 출신은 그리스인인지 불가리아인인지 정확히 특정할 수 없다고 기억함
    그런 문헌이 발견되지 않았기 때문임
    다만 비잔틴 사람이었던 것은 확실함

• 관련 글들임. 다른 자료도 있는지 궁금함
  Tips for Mathematical Handwriting (2007) - https://news.ycombinator.com/item?id=32665846 - 2022년 8월, 댓글 2개
  Tips for Mathematical Handwriting (2007) - https://news.ycombinator.com/item?id=22983274 - 2020년 4월, 댓글 76개

• Z에 가로줄을 긋는 건 좋은 팁임
  0에도 가로줄을 긋지만 파이와 헷갈릴 수 있다는 점은 이해함
  글에서 빠진 건 소문자 y인데, 4처럼 보일 수 있음

  • 산소를 뜻하는 O와 숫자 라벨 0이 함께 들어간 도식을 많이 그리게 되기 전까지는 0에 가로줄을 긋지 않았음
    같이 나오니 정말 헷갈렸음
  • 대학에서 Z를 2와 헷갈려 망치는 일이 지겨워져서 Z에 가로줄을 긋기 시작함
    0은 O가 함께 나와 헷갈릴 때만 가로줄을 그었음
    마찬가지로 1도 불명확해 보이면 머리와 발을 붙였음
    y와 4가 비슷해서 어려웠던 적은 없음
    열린 4를 쓰지만 y는 각이 하나 적고 더 아래로 내려가 있음
    오히려 내려간 꼬리가 잘 안 보이면 y가 v처럼 보일 가능성이 더 큼
  • 수학에서는 항상 z에 가로줄을 그어 2와 구분하지만, 어떤 나라에서는 z와 구분하려고 2에 가로줄을 긋기 때문에 모호함은 남음
  • 선생님이 잘못 읽고 감점할까 봐 수학 숙제에서 Z, 7, 0에 가로줄을 긋고 전반적으로 최대한 모호하지 않게 쓰기 시작했음
  • 0을 공집합이나 파이와 헷갈리지 않게 하려면 가로줄 대신 안에 점을 찍으면 됨
    많은 글꼴이 그렇게 함

• 최근 수학 세미나에서 발표자가 실수로 문자 z를 재사용했는데, 한쪽 z들의 가로줄을 지우고 각각 zed와 zee라고 이름 붙여 위기를 넘겼다고 친구가 말해 줌