속도가 증가할 때 운동에너지는 왜 선형이 아니라 제곱으로 증가하는가? (2011)

 (physics.stackexchange.com)
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  • 비회전 물체의 운동에너지 $\frac{1}{2}mv^2$는 단순 공식 암기가 아니라, 왜 $0\to1\ \mathrm{m/s}$보다 $1\to2\ \mathrm{m/s}$ 가속에 더 많은 에너지가 필요한지를 묻는 직관의 문제임
  • 핵심 설명은 갈릴레이 불변성과 에너지 보존으로, 같은 충돌을 다른 기준계에서 보면 $E(2v)=4E(v)$가 되어 속도 제곱 의존성이 드러남
  • 운동량 $p=mv$는 속도에 선형으로 늘지만, 같은 힘으로 멈출 때 속도 2배의 물체는 시간과 평균 속도가 모두 2배가 되어 제동 거리와 일이 4배가 됨
  • 낙하와 투척 예시는 높이·위치에너지와 속도의 관계를 보여주며, 2m에서 떨어진 공이 1m에서 떨어진 공보다 속도 2배가 되지는 않음
  • $\frac{1}{2}mv^2$는 저속의 뉴턴역학 근사이고, 특수상대론에서는 $K=mc^2(1/\sqrt{1-v^2/c^2}-1)$가 되며 저속에서만 거의 같은 값을 줌

질문의 핵심

  • 고전역학에서 비회전 물체의 운동에너지는 $\frac{1}{2}mv^2$로 주어짐
  • 질문의 초점은 공식 자체보다, 왜 속도에 대해 선형이 아니라 제곱으로 증가하는지가 직관과 어긋난다는 점임
  • 대표 예시는 $0\ \mathrm{m/s}$에서 $1\ \mathrm{m/s}$로 빨라질 때보다 $1\ \mathrm{m/s}$에서 $2\ \mathrm{m/s}$로 빨라질 때 더 많은 에너지가 필요한 이유임

갈릴레이 불변성으로 보는 제곱 관계

  • 한 설명은 운동에너지를 “질량 $m$의 점토공이 속도 $v$로 벽에 부딪혀 만드는 열량”으로 잡음
  • 같은 질량의 점토공 두 개를 나란히 부딪히면 열이 2배가 되므로, 에너지는 질량에 비례함
    • $E(m,v)=mE(v)$
  • 같은 질량 $m$의 점토공 두 개가 각각 속도 $v$로 정면충돌하면, 대칭성 때문에 둘 다 멈추고 총 열량은 $2mE(v)$가 됨
  • 한 공과 함께 움직이는 기차 기준계에서는 같은 사건이 다르게 보임
    • 첫 번째 공은 처음에 정지해 있음
    • 두 번째 공은 속도 $2v$로 다가옴
    • 충돌 뒤 두 공이 붙은 계는 속도 $v$로 움직임
  • 이 기준계의 처음 운동에너지는 $mE(2v)$이고, 충돌 뒤에는 열 $2mE(v)$와 두 배 질량 덩어리의 운동에너지 $2mE(v)$가 남음
  • 에너지 보존을 적용하면 다음 관계가 나옴
    • $mE(2v)=2mE(v)+2mE(v)$
    • $E(2v)=4E(v)$
  • 속도를 2배로 하면 에너지가 4배가 되므로, 운동에너지는 속도의 제곱에 비례함

운동량과 에너지의 차이

  • 이 질문은 운동량과 에너지를 구분할 때 특히 중요함
  • 속도에 선형으로 비례하는 운동학적 양은 운동량임
    • $p=mv$
  • 운동량 변화는 충격량에 비례함
    • $F\Delta t=\Delta p$
    • 이는 뉴턴의 제2법칙 $F=ma$와 연결됨
  • 같은 힘 $F$로 물체 A와 B를 멈춘다고 할 때:
    • A의 속도는 $v$
    • B의 속도는 $2v$
    • B의 운동량은 A의 2배임
  • 같은 힘으로 감속하면 B가 멈추는 데 걸리는 시간은 A의 2배가 됨
  • B는 시작 속도와 평균 속도도 2배이므로 제동 거리는 $2 \times 2=4$배가 됨
  • 일은 힘과 거리의 곱 $W=Fs$이므로, 같은 힘에서 제동 거리가 4배이면 필요한 일도 4배가 됨
  • 운동에너지는 이 일을 나타내는 양이어서, 속도 2배에서 운동에너지가 4배가 됨

낙하와 중력으로 보는 직관

  • 질문을 “왜 운동에너지가 속도에 대해 선형이 아니라 제곱인가”가 아니라 “왜 속도는 운동에너지의 제곱근처럼 증가하는가”로 바꿔 볼 수 있음
  • 공을 1m 높이에서 떨어뜨려 땅에 닿을 때 속도가 $v$라고 해도, 2m 높이에서 떨어뜨린 공의 속도는 $2v$가 아님
  • 두 번째 1m 구간에서는 공이 이미 움직이고 있어 그 구간을 더 짧은 시간에 지나가며, 추가로 속도를 얻을 시간도 줄어듦
  • 지표면 근처에서 중력 위치에너지는 높이에 비례하고, 물체가 떨어질 때 낙하 높이는 속도의 제곱에 비례함
  • 에너지가 보존되려면 운동에너지도 $v^2$에 비례해야 함
  • 위로 던지는 경우도 같은 결론으로 이어짐
    • 같은 중력 감속에서 초기 속도가 2배이면 멈출 때까지 걸리는 시간도 2배
    • 평균 속도도 2배
    • 도달 높이는 4배
  • 위치에너지 $mgh$와 연결하면, 시작 운동에너지는 멈춘 순간의 위치에너지와 같아지고 $\frac{1}{2}mv^2$ 형태가 나옴

일-에너지 정리와 보존량

  • 수학적으로는 뉴턴의 제2법칙과 일의 정의에서 운동에너지의 형태가 나옴
  • 뉴턴의 제2법칙:
    • $\sum \vec F=m\vec a$
  • 일의 정의:
    • $W=\int d\vec s\cdot \vec F$
  • 경로를 따라 적분하면 다음 관계가 됨
    • $\sum W=m\int d\vec s\cdot \vec a$
    • $=m\int dt,\vec v\cdot \frac{d\vec v}{dt}$
    • $=\frac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2)$
  • 따라서 일의 정의는 속도에 대한 제곱 의존성과 직접 연결됨
  • 보존력에서는 $\int d\vec s\cdot\vec F$가 경로가 아니라 끝점에만 의존하고, 퍼텐셜 함수로 표현될 수 있음
  • 마찰 같은 비보존력이 없으면 운동에너지와 위치에너지의 합이 변하지 않는 보존량으로 남음

“정의”만으로는 부족한 이유

  • 고전역학에서 운동에너지는 $\frac{1}{2}mv^2$로 정의되며, 물리 법칙이 시간에 대해 일정할 때 이 양과 위치 의존 항의 합이 보존되기 때문에 유용함
  • 중력 법칙, Coulomb 법칙, Hooke 법칙처럼 가속도가 위치의 함수이고 시간에 대해 일정하면, 한 위치의 속도만 알아도 다른 위치의 속도를 에너지 보존으로 구할 수 있음
  • “그렇게 정의했기 때문”만으로는 왜 그 정의가 유용한지에 대한 질문이 남음
  • 여러 설명은 그 유용성이 보존량, 대칭성, 갈릴레이 불변성과 연결된다고 봄

라그랑지언과 대칭성 관점

  • 공간의 균질성, 시간의 균질성, 공간의 등방성을 쓰면 자유입자의 라그랑지언은 위치나 시간에 명시적으로 의존하지 않아야 함
  • 공간이 등방적이면 라그랑지언은 속도 벡터의 방향이 아니라 속도의 크기나 그 거듭제곱에 의존해야 함
  • 자유입자의 라그랑지언을 $\mathcal{L}=\alpha v^n$ 형태로 두고, 운동량을 $p=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial v}$로 계산하면 $p=\alpha nv^{n-1}$가 됨
  • 비상대론적 한계에서 운동량이 속도에 선형이라는 조건을 넣으면 $n=2$가 되어, 운동에너지가 $v^2$에 비례함
  • 운동량이 속도에 선형이라는 진술은 비상대론적 한계에서만 맞음

상대론적 한계와 스칼라 조건

  • 운동에너지가 정확히 항상 $v^2$에 비례하는 것은 아니며, 특수상대론에서는 다음 식을 사용함
    • $K=mc^2(1/\sqrt{1-v^2/c^2}-1)$
  • 낮은 속도에서는 이 식이 사실상 $\frac{1}{2}mv^2$와 같음
  • 운동에너지가 스칼라이고 속도는 벡터라는 점도 선형 의존을 배제하는 이유가 됨
  • 운동에너지가 속도에 선형이면 $\mathbf{v}$를 $-\mathbf{v}$로 바꿀 때 값이 달라져 방향에 의존하게 됨
  • 뉴턴역학의 $v^2$ 항과 상대론적 보정항 $v^4$, $v^6$ 등은 운동에너지가 스칼라이며 $\mathbf{v}\to-\mathbf{v}$에 대해 불변이라는 조건을 만족함

사고실험과 생활 예시

  • 스프링과 두 상자를 이용한 사고실험은 압축된 스프링의 위치에너지가 두 물체의 운동에너지로 바뀌는 상황을 사용함
  • 한 기준계에서는 스프링이 한 상자를 정지시키고 다른 상자를 $2v$로 만들며, 다른 기준계에서는 두 상자가 반대 방향으로 $v$씩 움직임
  • 위치에너지가 갈릴레이 변환에 대해 불변이고 운동에너지가 질량에 대해 더해진다면 $KE(m,2v)=4KE(m,v)$가 나옴
  • 차 충돌 예시는 감속 시간의 첫 절반 동안 전체 정지 거리의 3/4을 이동한다는 점을 들어, 피해가 시간보다 이동 거리에 비례한다고 설명함
  • 반복적으로 스프링을 사용해 한 공의 속도를 $0,1,2,3,4$로 올리는 사고실험은 운동에너지가 $0,1,4,9,16$처럼 증가하는 형태를 보여줌

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Hacker News 의견들

  • 위치 에너지의 변환으로 보면 가장 이해하기 쉬움
    20ft 사다리 위의 공은 10ft 사다리 위의 공보다 위치 에너지가 2배이고, 땅에 닿을 때는 그만큼 운동 에너지로 바뀜
    하지만 2배 높은 곳에서 떨어진 공의 충돌 속도는 2배에 한참 못 미침. 중력은 자유낙하에서 속도와 무관하게 일정한 가속도를 주는 힘이고, 속도 증가는 “거리당”이 아니라 “시간당” 일어남
    10ft에서 떨어져 1초 뒤 운동 에너지 10, 속도 100이 됐다고 하자. 20ft에서 떨어진 공도 처음 10ft를 지난 순간에는 똑같이 운동 에너지 10, 속도 100임
    핵심은 남은 10ft 구간임. 이미 속도 100으로 진입하므로 앞의 10ft보다 더 짧은 시간 동안 지나가고, 중력이 더해 주는 속도도 그만큼 적음. 그래서 관계가 선형이 아님을 알 수 있음
    실제 계산이나 실험을 해 보면, 어떤 공이 다른 공보다 2배 빠른 속도로 땅에 닿으려면 4배 높이에서 떨어져야 하고, 운동 에너지도 4배가 됨

    • “20ft 사다리 위의 공이 10ft 사다리 위 공보다 위치 에너지가 2배”라는 게 왜 직관적인지 모르겠음
      질문 자체도 운동 에너지가 속도에 선형으로 늘 것 같다는 직관에서 출발하지만, 실제로는 틀린 직관임
    • 숫자로 보면 더 분명함. 10ft 사다리의 공은 17.296 MPH로 땅에 닿고, 20ft 사다리의 공은 24.46 MPH로 41.42% 더 빠르며, 40ft 사다리의 공은 34.59 MPH로 100% 더 빠름
      https://www.omnicalculator.com/physics/free-fall
    • 위치 에너지가 높이에 선형으로 증가한다는 건 직관적으로 느껴짐
      하지만 결국 우리가 어떤 단위와 양을 측정하기로 정하느냐의 문제이기도 함. 예를 들어 “Squenergy”를 Sqoules로 재고 1Sq² = 1J로 정하면, squenergy는 갑자기 속도에 선형으로 증가함
      물론 그러면 위치 Squenergy가 sqrt(MgH)가 되고, 더할 수 없게 되는 등 다른 부분이 복잡해짐
    • “20ft 사다리 위의 공이 10ft 사다리 위 공보다 위치 에너지가 2배”라는 건 전혀 직관적이지 않음
      1ft에서 10번 떨어뜨리는 건 10ft에서 한 번 떨어뜨리는 것만큼 에너지가 크거나 파괴적이지 않음

  • 내게 가장 직관적인 설명은 이거임: 힘 = 시간에 따른 운동량 변화, 에너지 = 힘 × 거리
    어떤 속도 v에서 작은 거리 dx 동안 작은 운동량 변화로 얼마나 많은 에너지를 소산할 수 있는지 보면, dE = Fdx = (dp/dt)dx = m(dv/dt)dx = mdv(dx/dt) = mv*dv가 됨
    힘을 어떤 거리 동안 가하려면 물체의 속도를 dv만큼 바꿔야 하는데, 그 사이 이동한 거리도 현재 속도 v에 의존함. 그래서 전체 에너지는 단순히 속도에 비례하지 않음
    속도 변화를 시작 속도부터 0까지 작은 dE로 모두 더하면 운동 에너지 공식이 나옴
    다만 이 직관은 결국 “힘 = 시간에 따른 운동량 변화”에서 출발함. “힘”, “운동량”, “에너지”의 정의는 수학적으로 명확하고 우리가 공유하는 현실이 있어도 짜증날 만큼 순환적으로 느껴질 수 있음

    • 맞음. 우리의 직관은 운동량에서 나오는 것 같음
      “2배 빠르다”는 건 운동량이 2배라는 뜻으로 잘 와닿지만, 운동 에너지는 운동량 × 속도라서 더 추상적임

  • 작은 일화가 있음
    파란 차가 속도 70으로 달리고, 같은 모델의 빨간 차가 속도 100으로 따라잡고 있음. 둘이 나란히 섰을 때 커브 너머에 두 차선을 막은 장애물이 나타나고, 두 차는 같은 강도와 감속으로 브레이크를 밟음
    파란 차는 장애물 바로 앞에서 멈춤. 빨간 차는 더 빠르게 달렸으므로 같은 비율로 제동해도 멈추지 못함. 이때 장애물에 부딪히는 속도는 얼마일까?
    파란 차는 ½mv² 기준으로 대략 70² = 4900 단위의 에너지를 잃음. 빨간 차는 처음에 100² = 10000 단위의 운동 에너지가 있었고, 똑같이 4900을 잃으면 5100이 남음. 따라서 충돌 속도는 √5100 ≈ 71이 됨
    Numberphile: https://www.youtube.com/watch?v=i3D7XYQExt0

    • 차가 다운포스를 만든다면 더 이상 참이 아님. 속도가 높을수록 더 큰 마찰을 쓸 수 있어서 더 세게 제동할 수 있음
      F1 차가 제동 때 4G를 끌어내는 이유가 이거임. Ken Block의 마지막 괴물 같은 커스텀 차나 Valkyre 같은 차는 능동 공력 제동을 더 크게 활용함
    • IIHS 영상은 운동 에너지와 속도의 관계를 아주 직관적으로 보여줌: https://www.youtube.com/watch?v=RWwGFDynOHo
      이런 기본 가상 자동차 실험에는 BeamNG.drive가 꽤 괜찮은 물리 시뮬레이터임. 내장 도구를 열고 제동 테스트를 직접 돌릴 수 있음
    • 같은 요점을 잘 보여주는 호주의 교통안전 광고가 있음: https://www.youtube.com/watch?v=7x7c0qNGbv0
    • “같은 강도와 감속”은 둘 다일 수 없음. 수학적으로 불가능함
      두 차는 같은 감속도, 즉 가속도 기준으로 제동할 수도 있고, 같은 강도, 즉 운동 에너지를 열로 바꾸는 비율 기준으로 제동할 수도 있지만, 속도가 다르기 때문에 두 값이 동시에 같을 수는 없음
      위 계산은 강도 기준이지 힘이나 가속도 기준이 아님. 운동 에너지 공식의 제곱 때문에 차이가 과장됨. 힘 기준으로 계산하면 더 완만한 선형 차이가 나옴
      “같은 비율로 제동했다”는 표현도 교묘함. 일반적으로 “비율”은 힘이나 가속도를 뜻하는데, 여기서는 운동 에너지를 열로 바꾸는 비율로 계산하고 있음
      에너지 변환 비율이 같다는 건 빠른 차에 실제 제동력이 훨씬 덜 걸린다는 뜻임. 낮은 속도로 내리막을 내려갈 때는 같은 힘으로도 괜찮지만, 높은 속도로 같은 힘을 걸면 브레이크가 익어버리는 것과 같은 수학임
      본질적으로 트럭이 내리막을 내려갈 때의 계산, 즉 한계가 마찰이 아니라 브레이크가 열을 얼마나 버릴 수 있느냐에 있는 계산을 자동차 정지 문제로 재구성해 함정 질문을 만든 셈임

  • Ron Maimon은 순전히 대칭성에 의존하는 논증을 씀. 이 스레드의 많은 표준 설명을 우회하는 방식이고, 이해한 바로는 Noether 정리의 단순화된 버전 같음
    곁가지로, Ron Maimon의 계정은 운영자 선거에 표를 구하던 사람의 인품을 문제 삼았다가 정지된 것으로 알고 있음. 그의 입장은 선출직에 나서는 사람이라면 인품을 논해도 된다는 것이었음
    Stack Overflow 계열 사이트는 질문을 비판하되 사람을 비판하지 말라는 엄격한 정책이 있었고, 운영자들이 그걸 근거로 영구 차단함
    당시 Ron이 SO 사이트들이 정책 때문에 부패했고 머지않아 가치를 제공하지 못하게 될 거라고 쓴 글들을 본 기억이 있음. 2000년대 후반이나 2010년대 초반쯤이었는데, 돌아보면 꽤 선견지명이 있었던 것처럼 느껴짐

    • 영구 차단은 아니었음. 2292년 3월 18일 16:28에 풀림
    • “선견지명”이라기엔 StackExchange 사이트들은 원래 인터넷에서 가장 적대적인 커뮤니티 중 하나였음
      지금은 AI가 SE를 완전히 쓸모없게 만들기 전에 최대한 돈을 뽑아내려는 점점 이상한 경영 결정까지 얹혔지만, 공격성과 적대감은 처음부터 견디기 힘든 수준이었음
      StackOverflow에서 뭔가를 10초만 보고 나가려다, 사람들이 서로를 대하는 방식이 믿기지 않아서 댓글을 몇 분씩 멍하니 본 적이 수십 번 있음

  • 몇 가지 답을 읽어도 아직 직관적인 답을 못 본 것 같음. 왜 0에서 1로 가는 것보다 1에서 2로 가는 데 훨씬 더 많은 에너지가 필요한가?
    정지해 있을 때는 벽을 미는 식으로 주변 환경을 이용해 속도를 얻을 수 있음
    이미 속도가 있으면 주변 환경이 나에 대해 반대 방향으로 움직이는 셈이라, 속도를 한 단위 더 얻을 때마다 더 많은 노력이 듦

    • 직관적으로 들리지만 로켓 추진은 어떻게 설명할 건가?

  • 전제를 바꿔 보면 도움이 됨
    일정한 힘이 가해지는 물체는 시간이 지남에 따라 이동 거리가 이차적으로 증가함
    에너지는 힘 × 거리임. 물체를 들어 올리는 데 드는 에너지가 들어 올린 높이에 비례한다는 직관과 같음
    따라서 일정한 힘을 가하면 일정한 가속도가 생기고, 그 결과 거리가 이차적으로 증가함
    에너지가 힘 × 거리라는 걸 받아들이면, 이 상황에서 물체를 움직이는 데 필요한 에너지도 이차적으로 증가함
    즉 힘 F를 1초 동안 가할 때 그 힘이 전달하는 에너지량은 물체가 이미 얼마나 빠르게 움직이는지에 달려 있음. 이미 빠른 물체에 힘을 가하려면 훨씬 더 많은 에너지가 필요함. 먼저 움직이는 물체의 속도까지 올라가기 위한 에너지를 써야 하고, 그제야 힘을 가하기 시작할 수 있다는 직관임

  • 반사실 가정으로 보면 이해할 수 있음
    운동 에너지가 속도 |v|에 선형으로 의존해 E = m|v|라고 해 보자. 그러면 우주는 어떻게 될까?
    전통적인 라그랑지언은 L = 1/2 mv^2 - V(x)임. 이 운동 에너지를 쓰면 다른 공식이 됨: L = m|v|ln|v|-V(x)
    대응하는 운동 방정식을 유도하면 p = m(1+ln|v|)sgn(v), ma = |v|F가 나옴
    이 공식들에서 몇 가지를 볼 수 있음. 첫째, 갈릴레이 상대성이 깨져 부스트 불변성이 없음. 반드시 우주가 정지한 특권 기준계, 즉 에테르가 있어야 하고 모든 동역학은 그 기준계에 대해 이해해야 함
    둘째, 뉴턴 제1법칙이 그 기준계와 관련해 병적인 해석을 갖게 됨. ma = |v|F이고 |v| = 0이면, 어떤 힘 F를 가해도 a = 0임. 에테르에 대해 정지한 물체는 어떤 힘을 받아도 움직일 수 없음
    에테르에 대해 움직이는 물체는 외력이 없으면 계속 움직이고, 뉴턴 제3법칙도 여전히 참이지만, 이런 우주는 사실상 말이 안 됨
    인류 원리로 보자면 이런 우주는 동역학이 너무 병적이라 생명을 허용하지 못하고, 따라서 우리가 관측할 수 없다고 말할 수 있음
    StackExchange의 논증이 “갈릴레이 상대성이 주어지면 이차 스케일 법칙이 나온다”라면, 이 논증은 “이차 스케일 법칙이 없으면 상대성도 없다”는 대우임
    반사실의 요지는 Richard Feynman의 “왜” 논증과 비슷함 https://www.youtube.com/watch?v=36GT2zI8lVA
    이런 종류의 동역학이 존재할 수 없는 근본 이유는 없음. 우리는 설명을 우리가 사는 같은 우주에 대한 더 근본적인 직관, 예컨대 운동 에너지의 스케일 법칙에서 갈릴레이 상대성으로 낮춰갈 수 있을 뿐임. 대안이 원리적으로도 모순이라는 수학적 증명이 없다면, 다른 동역학을 가진 대안 우주를 상상하는 건 완전히 타당함. 다만 우리 우주는 아님

  • 꼼수 답: 속도는 벡터라 음수가 될 수 있지만, 운동 에너지는 스칼라라 양수여야 함. 그래서 v를 제곱해 마이너스 부호를 없애야 함
    절댓값을 쓰면 안 되냐면, 자연은 그런 걸 싫어함. 아마 0에서 미분이 정의되지 않기 때문일 것임. 그래서 제곱이 됨

    • 그건 직관이라기보다 기억법임
    • 크기를 비교하는 진짜 “자연스러운” 공간은 내적이고, 절댓값은 인간의 머리 편의를 위해 만든 구성물이라고 생각함
      매끄러운 포물선 그릇과 부자연스럽게 뾰족한 원뿔 끝의 차이임. 표준편차 같은 곳에서도 나타남
      여담으로, 복소수 값 신경망에서 활성화 함수를 sum(inputs)*conj(sum(inputs))로 두고 임계값을 sqrt(num_inputs)로 정규화하면 가장 보편적일 수 있지 않을까 궁금함. 비일관 입력은 절댓값 평균이 sqrt(N)이 되고, 일관 입력은 레이저처럼 N이 됨. 제곱 진폭은 보정되지 않은 집단과 상관된 집단 사이에서 N 대 N^2가 됨
    • 왜 다른 짝수 거듭제곱은 안 되는가?
    • “자연은 절댓값을 싫어한다”고 하지만, 중력과 전기장의 위치 에너지에 대한 역거리 법칙은 부호 없는 거리가 필요해서 절댓값을 씀
      그리고 0에서의 특이점을 어떻게 다루느냐가 그 상호작용의 구조에 매우 중요함
    • 그 답은 제목의 질문, 즉 왜 속도에 대해 이차식인지에는 답하지 못함

  • 속도를 2배로 올리면 같은 시간 동안 2배 더 멀리 가게 됨. 단지 2배 빠른 게 아니라, 이 둘이 모두 일에 영향을 줌

    • 미적분으로 이해하는 게 가장 단순함. 운동 에너지는 운동량의 적분이므로 p = mv에서 k = 1/2mv^2로 감

  • Michael Spivak의 Physics for Mathematicians에는 여기 최상위 답처럼 고전역학의 수학이 왜 그런 형태인지 설명하는 논증이 많이 나옴

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