- Alexander Zvonkin의 Math from Three to Seven은 미취학 아동 수학 서클 기록을 통해, 어린아이도 학교식 연습문제가 아니라 실제 문제를 오래 붙잡고 탐구할 수 있음을 보여줌
- 러시아·소련 수학 문화의 수학 서클은 시험 대비보다, 서로 다른 수준의 참가자가 어려운 문제를 함께 붙잡고 토론하는 비공식 공동체에 가까움
- 학교 수학과 경시 수학의 exercise는 짧고 의도된 풀이가 있는 훈련인 반면, 서클의 problem은 풀이 가능성·필요 기법·소요 시간이 보장되지 않는 탐구로 구분됨
- Zvonkin은 3~4세 아이들에게 같은 조합론 구조를 구슬, 색칠, 택시 경로, 성냥갑과 공으로 몇 달 간격을 두고 반복 제시해 아이들이 연결을 발견하게 함
- 둘째 딸 Evgenia 또래 그룹에서는 같은 방법이 통하지 않았고, 아이마다 적성·흥미가 달라 교육 기록과 기법을 그대로 재사용하기 어렵다는 점이 드러남
소련 수학 강점과 수학 서클
- 냉전기 소련은 미국보다 작은 인구, 낮은 GDP, 덜 효율적인 경제체제에도 군사·기술 면에서 오랫동안 비슷한 수준을 유지함
- 1990~2000년대 미국의 체스, 수학 대회, Wall Street, Silicon Valley, Ivy League 수학과에서는 러시아계 이민자가 기술 분야에 과대표집된 경험이 이어짐
- 유대계 비중, 소련의 상대적 빈곤과 인적자본 배분, 러시아 문화의 “maximalism” 같은 가설도 거론되지만, 소련 수학자·과학자 인터뷰에서 반복적으로 등장하는 요소는 mathematical circles임
- 수학 서클은 러시아 제국 시기 전부터 시작해 소련 전역으로 퍼진 관행으로, 수학을 좋아하는 청소년과 성인이 정기적으로 모여 오래 생각하고 이야기하는 비공식 그룹임
- 스포츠 팀처럼 내부 문화, 강도 높은 몰입, 유능하거나 유명한 “코치”가 있을 수 있음
- 리그나 팀 간 경쟁보다는 동네 음악 앙상블이 즉흥 연주를 하듯 함께 수학 문제를 푸는 방식에 가까움
- 구성원의 실력은 다양할 수 있음
exercise와 problem의 차이
- 학교 수학과 미국의 일부 경시 수학은 주로 exercise로 구성됨
- exercise는 교육 목적을 위해 사람이 만든 문제임
- 영리한 학생은 보통 5분 안에 풀 수 있고, 교재의 현재 단원과 관련 있으며, 정해진 기법이 있다고 추정할 수 있음
- 출제자의 의도, 선택지 제거, 패턴 매칭으로 답을 역추적할 수 있음
- 수학 서클의 중심에는 함께 푸는 problem이 있음
- problem은 누군가 실제로 무언가를 하려다 생기는 관심 있는 질문임
- 참가자나 코치, 심지어 어떤 사람도 풀지 못할 수 있음
- 풀 수 있더라도 몇 주나 몇 달이 걸릴 수 있고, 필요한 기법이 명확하지 않거나 모르는 기법이 필요할 수 있음
- 코치는 참가자의 능력보다 조금 어려운 문제를 고르기도 하지만, 때로는 답을 아무도 모르는 문제를 전체가 함께 붙잡음
- 이런 경험은 뛰어난 사람도 문제 앞에서 막히고 패배할 수 있음을 보여주며, 어려운 것을 좋아하는 문화를 만듦
- 피로할 때는 과거의 유명한 문제와 수학자 이야기가 등장하고, 수학도 공유된 이야기와 내부 농담을 가진 하나의 문화로 기능함
Zvonkin의 미취학 아동 수학 서클
- Math from Three to Seven은 수학 서클을 미취학 아동에게 적용한 기록임
- 코치 역할의 Alexander Zvonkin은 전문 수학자이며, 아들 Dmitry와 이웃 아이들을 위해 서클을 시작함
- 대부분의 아이는 3~4세였음
- Piaget의 실험에 따르면 그 나이에는 수와 부피에 관련된 일부 인지 모듈이 아직 발달하지 않은 단계임
- Zvonkin은 발달심리학 연구를 알고 있었고, 아이들의 수 감각 부족을 집합의 크기와 대응 같은 깊은 아이디어로 연결함
- 책은 정리된 교육 이론서라기보다 거의 편집되지 않은 일지에 가까움
- 멋진 퍼즐 아이디어가 있었지만 아이들이 소리 지르거나 토하는 식의 실패가 반복됨
- 4년 동안의 서클에서 성공과 실패가 함께 기록됨
- 초기 목표는 학교 수학의 역프로그래밍에 가까웠음
- Zvonkin은 학교가 수학을 따라야 할 공식들의 집합으로 제시하는 점을 싫어함
- 정해진 형식으로 답을 쓰지 않거나 “아직 배우면 안 되는” 기법을 썼다는 이유로 감점하는 방식에 강하게 반발함
- 다만 나중에 Moscow 공립학교에서 실험적 수학 커리큘럼을 가르친 뒤에는 교사와 행정가가 처한 제약을 더 이해하게 됨
하나의 조합론 문제를 여러 모습으로 반복하기
- 서클 시작 약 1년 뒤, Zvonkin은 아이들에게 첫 진짜 problem을 제시함
- 5개의 물건 중 순서를 고려하지 않고 2개를 고르는 방법이 몇 가지인지 묻는 조합론 문제임
- Zvonkin은 이 주제가 한때 고등학생에게 가르쳐졌지만 너무 어렵다는 이유로 빠졌다고 봄
- 그는 미취학 아동이 거의 힌트 없이 스스로 알아내길 원함
- 접근 방식은 몇 달 동안 같은 문제를 여러 위장된 형태로 반복 제시하는 것이었음
- 아이들이 형식적·기호적 추론 도구를 아직 갖추지 않았기 때문에, 촉각적이고 구체적인 형태로 접근함
- 첫 형태는 구슬 문제였음
- 아이들에게 빨간 구슬 2개와 파란 구슬 3개로 가능한 사슬을 만들게 함
- 사슬을 180도 돌렸을 때 같은 것으로 볼지 다른 것으로 볼지 토론이 벌어짐
- Zvonkin은 규칙을 정할 수 있으며, 그렇게 하면 하나의 문제가 두 개의 problem으로 갈라진다고 답함
- 다음에는 다섯 개의 원이 있는 종이를 주고 그중 두 개만 색칠하는 방법을 찾게 함
- 아이들은 앞선 구슬 문제와의 유사성을 희미하게 느끼지만 아직 명확히 연결하지 못함
- 또 몇 달 뒤에는 4x3 격자를 도시 지도라고 설명하고, 택시가 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 되돌아가지 않고 가는 경로 수를 묻는 문제를 제시함
- Zvonkin은 경로에서 오른쪽 이동은 빨간 원, 위쪽 이동은 파란 원으로 표시해 아이들이 구슬 문제와 연결하도록 힌트를 줌
- 아이들은 겉보기에 다른 문제들이 같은 구조를 갖는 동형성을 발견함
- 마지막에는 다섯 개의 빈 성냥갑과 두 개의 공을 놓고, 공을 상자에 넣는 서로 다른 방법을 물음
- 아이들은 이것이 구슬 문제와 같다고 빠르게 알아차림
- 이 모든 문제의 답은 10가지지만, 더 이상 없다는 것을 어떻게 증명할지와 원래 집합이 4개나 6개일 때 답이 어떻게 달라질지는 별도의 산으로 남음
아이의 사고와 교육 방법의 한계
- 아이를 “작은 어른”으로 보는 homunculus theory는 잘못된 전제임
- 아이는 어른보다 단순히 덜 똑똑하고 덜 아는 존재가 아니라, 어른과 다른 위치의 지능을 가진 존재에 가까움
- 어린아이는 더 구체적으로 사고하며, 상징적·명제적 추론을 못 한다고 해서 전반적으로 사고력이 낮다고 보면 안 됨
- Zvonkin이 아이와 어른 모두에게 효과적으로 쓴 방법은 반복과 간격임
- 같은 문제를 여러 번, 긴 간격을 두고, 매번 다른 각도에서 다시 제시함
- 집중 사고와 확산 사고 사이의 상호작용을 이용하는 방식임
- 글쓴이는 이 방식으로 5~6세 아이에게 Pascal’s triangle의 한 행의 합이 2의 거듭제곱이 되는 이유를 이해시킨 경험을 덧붙임
- 책의 마지막 교훈은 같은 방법이 항상 재현되지 않는다는 점임
- Zvonkin은 첫 서클 4년 동안 성공과 실패를 기록하고, 둘째 딸 Evgenia 또래 아이들과 두 번째 서클을 시작함
- 그는 이미 무엇이 통하고 통하지 않는지 안다고 생각했지만, 두 번째 그룹은 적성·흥미가 달라 기존 노트가 거의 쓸모없었음
- 약 1년 뒤 그는 포기했고 일지는 갑자기 끝남
- 이 경험은 자녀가 여러 명인 부모의 보편적 경험을 극단적으로 보여줌
- 같은 방식으로 키워도 아이들 사이의 차이는 매우 일찍 나타남
- 부모의 행동은 아이가 어떤 존재가 되는지에 주변부에서만 영향을 줄 수 있음
- 교육과 양육은 아이를 프로그래밍하는 일이 아니라, 새 존재가 무엇이 될지 드러나는 과정을 지켜보는 일에 가까움
- 동시에 부모는 부담을 조금 내려놓고, 책·영화·스포츠·하이킹·사고하기처럼 서로 즐거운 활동을 함께할 수 있음
- 어떤 경우에는 그 활동이 problem과 씨름하는 힘든 사고가 될 수 있음