수학에 능통해지기 위해 뇌를 재배선한 사례 (2014)

• 학교 수학·과학에서 어려움을 겪던 사람이 26세 이후 보충수학부터 다시 배워 공학 교수가 된 경험을 통해, 성인 학습에서 반복과 암기의 가치를 되짚음
• 수학·과학에서 개념 이해만 강조하면 수업 중에는 이해한 듯 보여도, 문제를 풀며 내재화하지 못해 능숙도와 적용력이 부족해질 수 있음
• 일본식 참여형 수업이 자주 모범으로 거론되지만, Kumon 같은 방과후 학습은 암기·반복·기계적 연습으로 재료 숙달을 함께 키움
• 언어를 배우듯 단어·문법·사용 조건을 반복해 익히는 방식은 수학의 방정식과 절차에도 적용되며, 이는 장기기억에 패턴을 만드는 청킹(chunking) 과 맞닿아 있음
• 복잡한 주제의 깊은 이해는 설명만으로 생기지 않고, 반복·연습·암기로 형성된 유창성이 직업 선택과 사고방식까지 넓힐 수 있음

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수학 공포에서 공학 교수로 이어진 전환

• 어릴 때는 문학에 가까웠고 수학과 과학을 피했지만, 이후 삼중적분, Fourier 변환, Euler 방정식 같은 수학을 매일 다루는 공학 교수가 됨
• 초·중·고 수학과 과학을 제대로 통과하지 못했고, 26세에 Army를 떠난 뒤에야 보충수학을 시작함
• 성인이 되어 수학과 과학을 다시 배운 경험은 성인 신경가소성과 성인 학습을 내부에서 바라보는 계기가 됨
• 시스템공학 박사 과정과 인간 사고에 관한 연구·글쓰기는 학습 신경과학과 인지심리학을 해석하는 기반이 됨

개념 이해만으로는 부족한 수학 학습

• 많은 학생은 초·중·고에서 토론과 설명을 통해 수학을 이해하는 일이 학습의 핵심이라고 배움
• 일본은 능동적이고 이해 중심적인 수업 방식의 모범으로 자주 여겨지지만, 동시에 Kumon 방식은 암기, 반복, 기계적 학습을 재료 숙달과 함께 강조함
  • 이 방과후 프로그램과 유사한 방식은 일본과 세계의 많은 부모가 자녀 교육을 보완하는 수단으로 받아들임
  • 참여형 교육에 충분한 연습과 반복, 지능적으로 설계된 암기가 더해질 때 수학 재료에 대한 유창성이 자람
• 미국에서는 수학·과학의 개념 이해 강조가 오래된 학습 방식을 보완하기보다 대체하는 방식으로 작동하는 경우가 있음
• Common Core는 수학에서 개념 이해, 절차적 기술과 유창성, 적용 능력을 동등하게 다루려 하지만, 실제 구현에서는 개념 이해가 수업 시간의 중심이 되기 쉬움
• 이해에만 집중하면 학생은 중요한 아이디어의 핵심을 잡아도, 연습과 반복을 통한 통합이 없어 금방 잃을 수 있음
  • 실제로 이해하지 못했는데도 이해했다고 믿는 능력 착각에 빠질 수 있음
  • 공학 학생의 사례처럼 수업 중에는 이해했다고 느껴도, 개념을 사용해 내재화하는 연습이 없으면 성과가 낮을 수 있음

유창성은 반복으로 만들어지는 지식 단위

• 골프 스윙을 수년간 반복해 몸이 하나의 생각만으로 움직이게 되는 것처럼, 수학과 과학도 절차를 매번 다시 설명하지 않아도 되는 상태가 필요함
• 5×5=25를 매번 구슬로 다시 배치할 필요가 없듯, 같은 밑을 가진 수를 곱할 때 지수를 더한다는 절차도 반복 사용을 통해 기억에서 바로 꺼낼 수 있음
• 다양한 문제에서 절차를 계속 사용하면, 그 절차의 이유와 작동 방식을 더 잘 이해하게 됨
• 더 큰 이해는 마음이 의미의 패턴을 구성한 결과이며, 이해 자체에만 계속 초점을 맞추면 오히려 학습을 방해할 수 있음

러시아어 학습에서 얻은 전략

• 대학에 갈 돈이나 기술이 없어 고등학교 졸업 후 Army에 들어갔고, Defense Language Institute에서 러시아어를 배움
• 러시아어 학습에서는 단순한 이해보다 유창성을 중시함
  • понимать가 “이해하다”라는 뜻임을 아는 데서 멈추지 않고, 다양한 시제와 문장 속에서 반복적으로 활용함
  • 언제 해당 동사형을 써야 하는지뿐 아니라 언제 쓰지 않아야 하는지도 함께 연습함
  • 단어와 구조를 빠르게 회상하고 변형할 수 있도록 반복함
• 단어와 문법 요소를 기술적으로 이해해도, 실제 말이 빠르게 쏟아질 때 처리하지 못하면 유창하다고 보기 어려움
• 이 접근은 수업 성과로 이어졌고, 나중에 전문성 발달의 핵심인 청킹을 직관적으로 이해하는 기반이 됨

청킹과 전문성의 연결

• Herbert Simon의 체스 분석에서 청킹은 다양한 체스 패턴에 대응하는 신경적 단위로 개념화됨
• 이후 신경과학자들은 체스 그랜드마스터 같은 전문가가 자신의 분야에 관한 수천 개의 지식 청크를 장기기억에 저장한다고 봄
• 체스 마스터는 수만 가지 체스 패턴을 기억할 수 있고, 다른 분야의 전문가도 잘 묶인 신경 하위루틴을 의식으로 불러와 새로운 상황을 분석하고 대응함
• 체스 마스터, 응급실 의사, 전투기 조종사 연구에서는 긴급 스트레스 상황에서 의식적 분석보다 깊게 각인된 신경 하위루틴을 빠르게 끌어오는 처리가 작동함
• 어떤 순간에는 자신이 왜 그렇게 하는지 의식적으로 이해하려는 과정이 흐름을 끊고 결정을 악화시킬 수 있음

언어 학습법을 수학과 공학에 적용

• 성인이 되어 수학과 공학을 배울 때 러시아어를 익히며 썼던 전략을 그대로 사용함
• Newton의 제2법칙 f = ma를 예로, 각 문자의 의미를 감각적으로 익힘
  • f는 힘, m은 밀어내는 힘에 대한 무거운 저항, a는 가속의 느낌으로 다룸
  • 방정식을 외워 머릿속에 넣고, m과 a가 클 때 f가 어떻게 되는지, f가 크고 a가 작을 때 m이 어떻게 되는지, 양변의 단위가 어떻게 맞는지 살핌
• 방정식을 가지고 노는 과정은 동사를 활용해보는 일과 비슷했고, 단순한 식 주변에 장기기억에서 쉽게 꺼낼 수 있는 청크화된 하위루틴을 매일 쌓는 방식이 됨
• 수학과 과학 교수들은 연습과 반복으로 잘 각인된 전문성의 청크를 만드는 일이 성공에 매우 중요하다고 말해왔음
• 이해가 유창성을 만드는 것이 아니라, 유창성이 이해를 만들며 복잡한 주제의 진짜 이해는 유창성에서 나옴

오래된 유창성은 다시 살아날 수 있음

• 전기공학자가 되고 공학 교수가 된 뒤 러시아어 사용은 멀어졌지만, 25년 후 가족과 함께 시베리아 횡단열차를 타며 러시아어를 다시 사용하게 됨
• 처음 기차에 올랐을 때는 러시아어를 두 살 아이처럼 말했고, 단어를 찾지 못하거나 격변화와 동사 활용이 틀렸으며 발음도 나빠짐
• 그래도 기반은 남아 있었고, 날마다 러시아어가 개선되며 여행 중 일상적 필요를 처리할 수 있었음
• 이후 가이드들이 다른 승객을 위한 번역 도움을 요청할 정도까지 회복됨
• 모스크바에서 택시 기사가 우회해 요금을 더 받으려 했을 때, 수십 년 동안 말하지 않았던 러시아어 단어들이 갑자기 나왔고 의식적으로 알고 있다고 느끼지 못한 단어들도 필요한 순간 튀어나옴
• 유창성은 이해를 깊이 박아두고, 필요할 때 다시 나타나게 함

수학·과학 교육에 남는 교훈

• 수학과 과학 전공자가 부족한 상황과 현재의 학습 방식 흐름을 보면, 학습자는 더 나은 방법을 사용할 수 있음
• 부모와 교사는 이해를 깊고 유연하게 만드는 단순하고 접근 가능한 방법을 활용할 수 있음
• 수학, 춤, 물리, 언어, 화학, 음악처럼 너무 어렵다고 생각했던 분야에도 새롭게 도전하도록 격려할 수 있음
• 수학과 과학에서 기본적이고 깊은 유창성은 단순한 이해보다 중요하며, 흥미로운 직업으로 이어지는 문을 열 수 있음
• 문학과 언어를 사랑하게 만든 유창성의 능력은 결국 수학과 과학을 사랑하게 만든 같은 능력이었고, 삶을 바꾸고 풍부하게 만들었음

[GN⁺]

Hacker News 의견들

• 이 글이 정말 좋았고, 특히 “이해가 유창성을 만드는 게 아니라, 유창성이 이해를 만든다”는 문장이 인상적임
  수학을 좋아했고 대학에서 전공했지만, 가족들은 과학 성향이 있으면서도 수학 자체는 불투명하고 위협적으로 느꼈던 것 같음. 피타고라스 정리가 직관적으로 느껴지려면 유클리드 공간에 대한 깊은 통찰이 필요한 게 아니라, 직각삼각형을 보는 순간 증명 세 가지가 바로 떠오를 만큼 많이 연습해야 한다는 답을 그때 해줬으면 좋았겠다고 봄. 저자가 자기 이야기를 많이 하는 것도 적절함. 수학 공포에서 수학 숙련으로 넘어가는 주관적 인지 경험을 설명하려면 배경과 내면의 과정 인식을 말할 수밖에 없음

  • Grant Sanderson(3blue1brown)의 강연 https://youtu.be/z7GVHB2wiyg?si=jcUtUo-TT3ycpTpD가 떠오름
    겉으로는 수학에서의 자아에 관한 이야기지만, 똑똑해 보이고 싶은 욕구가 원글이 말한 방식으로 수학 실력에 도움이 된다고 봄. 똑똑해 보이고 싶으면 직접 생각해냈는지 책에서 읽었는지는 중요하지 않고, 아는 것을 보여주고 문제를 쉽게 푸는 게 중요해짐. 그래서 열심히 읽고 외우고, 자랑할 수 있는 거대한 정신적 데이터베이스를 쌓다 보면 결국 실제로 잘하게 됨
  • “직각삼각형을 보면 피타고라스 정리의 증명 세 가지가 즉시 떠오를 때 직관적으로 참이 된다”는 말은 결국 수학의 공간 안에서 방향을 잡는다는 뜻처럼 들림
    길잡이 표식인 증명으로도 길을 찾을 수 있고, 공간 자체에 대한 깊은 이해로도 길을 찾을 수 있다면, 수학적 직관에는 연습과 유창성의 길, 깊은 통찰과 이해의 길이라는 두 경로가 있는 것 아닐까 싶음
  • “젊은이, 수학에서는 무언가를 이해하는 게 아니네. 그냥 익숙해지는 거지”

• “수학”이라고 불리는 것에는 크게 두 범주가 있어 보임. A는 이 글에서 말하는 수학으로, 보통 사람들이 말하는 수학이고 공학자나 대부분의 과학자가 쓰는 것임. B는 수학 전공자와 수학자가 쓰는 수학으로, 추상적이고 이름이 “이론”으로 끝나는 영역들이 많음
  글의 접근법으로 수학 B를 배울 수 있는지 궁금함. 여러 번 시도했지만 실패했고, 미분방정식·선형대수·기호 조작·기하와 실제 문제 적용 같은 수학 A에는 능숙함. 반면 수학 B는 닿기 어려워 보이고, 프로그래밍으로 치면 Haskell이나 순수 함수형 프로그래밍처럼 잡히지 않음. 일부는 유전이고 일부는 어릴 때 배워야 하는 것인지, 아니면 정규 학습 경로가 필요한 것인지 궁금함

  • 여기에 수학 C도 있는 것 같음. 일상적인 암산이고, 공학 학위를 갖고 수학 A를 잘해도 나는 이게 형편없음
    또 다른 수학 C의 요소로 숫자 감각이 있어서, 추정치나 계산기 화면의 값이 말이 되는지 명백히 틀렸는지 알아차리게 해줌. 암산이 약한 이유는 곱셈표를 제대로 다 외우지 못한 탓도 있고, 방향 감각이 나쁜 것과 비슷하게 뇌에서 부족한 부분이 있는 탓도 있다고 봄. 하지만 숫자가 마지막까지 중요하지 않은 기호 조작은 잘함
  • 고등학교 때 첫 학기 미적분에서 D를 받고 “수학은 끝났다”고 선언했음. 그전까지 계산기를 목발처럼 썼지만, 미적분은 속일 수 없는 기호 조작을 요구했음
    “수학을 못한다”고 자주 말하던 아버지의 영향이 컸고, 그건 쉬운 탈출구였음. 이후 프로그래밍을 진지하게 배우고 여러 언어를 익혀 바로 웹 개발 일을 시작했지만, 몇 년 뒤 지겨워져 공학을 해보려 커뮤니티 칼리지에 등록하니 모든 공학 과목에 수학 선수과목이 있었음. 처음으로 제대로 노력해 보니 본질적으로 수학을 못한 게 아니라 동기가 부족했을 뿐이었고, 과외 센터에서 일하며 대학으로 편입한 뒤 점점 더 많은 수학 선수과목을 듣다가 결국 수학 전공으로 진학해 지금은 수학 박사가 됨. 20대 중반까지도 수학 A를 할 수 있다고 믿지 않았지만, 공학을 위해 잘하게 됐고 곧장 수학 B로 넘어갔음. 프로그래밍은 엄밀하고 추상적으로 생각하는 법을 가르쳐 줬고, 25세 이후에야 수학 B를 했으므로 이것이 타고난 것이거나 어릴 때 배워야만 한다는 생각에는 반대함. 다만 정규 교육의 장점은 함께 공부하는 학생 집단, 과제 마감, 시험 같은 외부 강화가 있었다는 데 있음
  • 수학 A를 좋아해서 전공했는데, 전공에 깊이 들어가자 수학 B로 바뀌었음
    당시에는 수학 B가 싫었지만 중간 이상 성적으로 버텼고, 지금 돌아보면 오히려 좋아져서 그 수업들을 지금 관점으로 다시 듣고 싶음. 처음 싫었던 큰 이유는 좋아하고 잘하는 것을 전공으로 시작했는데 갑자기 전혀 다른 것으로 바뀌는 미끼와 바꿔치기처럼 느껴졌기 때문임
  • 순수 함수형 프로그래밍은 사실 이해하기 매우 쉬움. 프로그래밍을 상태를 건드리거나 바꾸는 일이 아니라, 입력에서 출력을 만들어내는 일로 생각하면 됨
    아날로그 전자공학도 대체로 순수 함수형 영역에서 동작함. 증폭기는 입력 신호를 바꾸려 하지 않고 입력 형태를 따라 더 강한 출력 신호를 만들며, 악기의 음원도 건반을 진동시키는 게 아니라 눌린 키에 따라 소리 신호를 만듦. 실용적인 순수 함수형 프로그래밍을 가장 간단히 해보려면 Unix 프로세스를 파이프로 연결하면 됨: cat somefile.py | egrep '^def \w+' | wc -l. 이는 점 없는 스타일의 맵-리듀스 파이프라인이자 순수 함수 합성으로, Python 파일의 최상위 함수를 셈. 갱신은 출력값을 다시 입력으로 돌리고 계산이 끝나면 “다음 버전”으로 전환하면 됨. Conway의 생명 게임도 제자리 갱신처럼 보이지만, 새 지도 상태는 이전 지도 상태에서 완전히 계산되고 그 새 지도가 현재 지도가 됨. 일반적으로 우주도 다음 상태가 과거 상태들의 함수이고 과거는 불변인 순수 함수형 계산으로 볼 수 있음
  • 비밀은 대부분의 수학 B를 항 재작성 시스템의 규칙으로 바꾸면 수학 A처럼 다룰 수 있다는 데 있음
    증명의 각 단계를 수학 표현식이라는 항을 바꾸는 규칙으로 보면 됨. 이 점을 완전히 명시하는 책은 못 봤지만, 시퀀트 계산을 다루는 책들은 절반쯤 데려다줌. 나머지 수학 B는 새로운 추측을 세우고 가정에서 증명하고 싶은 명제로 효율적으로 가는 길을 짐작하게 해주는 직관임

• 컴퓨터과학 학부·대학원 후 의대에 들어갔을 때, 암기의 가치에 대해 비슷한 결론에 도달했음
  CS에서는 사실 암기가 크게 강조되지 않기 때문에 대량 암기를 학습 기법으로 받아들이는 데 시간이 걸렸지만, 시간이 지나자 빠른 회상이 개념 이해를 대체하는 게 아니라 오히려 강화한다는 걸 알게 됨. 몇 년 전에 이에 대해 쓴 글도 있음: https://samrawal.substack.com/p/on-the-relationship-between-...

  • Nicholas Carr의 The Shallows에서 얻은 결론도 비슷함. 정보를 유도하는 법이나 어디서 찾는지 아는 것과 그 정보를 아는 것은 다르고, 마음속에서 더 높은 수준의 연결을 만들려면 실제로 그 정보를 알고 있어야 함
  • 관련 스레드: “Learning Is Remembering”: https://news.ycombinator.com/item?id=32982513

• 저자는 자기 이야기를 정말 좋아하는 것 같음. 계속 읽긴 했지만, 글 전체가 보상 없는 긴 도입부처럼 느껴짐
  수학을 더 잘하고 뇌를 수학에 맞게 바꾸는 방법을 알고 싶다면, 이 글을 읽고도 별로 더 현명해지지는 않을 듯함

  • 순수 전기적인 문단은 건너뛰었고, 중요한 부분은 이 정도임
    암기와 반복 연습은 학습에 중요하며, 당시 유행하던 “이해”만으로는 부족함. 이런 기반이 있어야 공식 이해와 적용 같은 더 높은 수준에 집중할 수 있음. 전문가들은 기억 덩어리를 만들어 체스 마스터가 수천 개의 과거 대국, 오프닝, 변형을 끌어오는 것처럼 활용함
  • “뇌를 다시 배선한다”는 말이 정확히 뭘 뜻하는지 잘 모르겠음. 그냥 오래 공부해야 하는 것임
    성인에게 어려운 부분은 시간을 내는 것이고, 특히 일이 이미 정신적으로 부담된다면 더 힘듦
  • 이 글은 한 문장으로 줄일 수 있을 것 같음: “내면화하려는 개념은 단순 암기에 기대지 말고 조작하고 가지고 놀아라”
    f=ma 같은 것을 외우기만 하면 이론적·실제적 적용 시도 없이는 의미가 없다는 건 당연해 보임. 외국어 학습과 STEM을 연결하려는 시도도 어색했고, 결국 모든 것은 기예이므로 완벽해지려면 연습해야 한다는 결론에 가까움
  • “수학에 유창해지도록 뇌를 어떻게 다시 배선했는지” 알고 싶은데, 지금까지 본 건 저자가 얼마나 대단한지 말하는 내용뿐임. 이 글은 별로임
  • 실망스러움. 저자의 책 A Mind For Numbers는 좋게 봤기 때문임

• 관련 링크들임
  I Rewired My Brain to Become Fluent in Math - https://news.ycombinator.com/item?id=33890921 - 2022년 12월
  I Rewired My Brain to Become Fluent in Math (2014) - https://news.ycombinator.com/item?id=13674101 - 2017년 2월
  The building blocks of understanding are memorization and repetition - https://news.ycombinator.com/item?id=12508776 - 2016년 9월
  How I Rewired My Brain to Become Fluent in Math - https://news.ycombinator.com/item?id=8402859 - 2014년 10월
  How I Rewired My Brain to Become Fluent in Math - https://news.ycombinator.com/item?id=8400837 - 2014년 10월

• 수학 교육에 역사와 철학이 더 들어가면 좋겠음. 학교에서 수학을 잘하지 못했던 건 적성보다도 너무 지루하고 어린 시절 흥미를 느낀 것들과 단절되어 있었기 때문임
  몇 년 뒤 수학 지식을 천천히 따라잡으려 하면서, 수학자들의 삶과 사건이 연구에 미친 영향, 수학철학과 관련된 주제에 가장 흥미를 느끼고 있음. 학교 수학 수업은 계산과 공식에만 집중했고 이런 내용은 없었음. 회계도 마찬가지였음. 따로 떼어놓으면 지루했지만, 이탈리아의 복식부기 역사나 1500년대 이후 세계 무역과 연결되자 흥미로워졌음

  • 나도 비슷함. 수년간 소프트웨어 엔지니어링을 하며 수학과 소프트웨어 엔지니어링의 공통점을 보게 되면서 이제야 수학을 좋아하기 시작함
    수학은 “숫자를 위한 소프트웨어 시스템을 만들되 내가 동시에 컴파일러인 것”처럼 느껴짐. 지적 관점에서는 수학을 정량적 철학이라고 부르고 싶고, 철학도 좋아함
  • 모든 분야에 해당함. 공교육은 전반적으로 별로이고, 아이들을 하루 8시간씩 20년 동안 상자에 몰아넣고 가장 메마른 방식으로 여러 주제를 배우게 함
    개인적 관심사를 추구할 자유가 없는 것은 물론이고, 역사·수학·생물 같은 주요 과목도 교과서에 넣고 객관식 시험으로 평가할 수 있는 사실 묶음으로 축소됨
  • 어쩌면 진짜 좋아하는 건 회계나 수학이 아니라 역사일 수도 있음
  • 수학 교육의 큰 거짓말은 지금 알려진 모든 것이 수학적 사고를 타고난 수학자들의 머릿속에 완성된 형태로 갑자기 나타났다는 식으로 가르친다는 것임
    실제로는 수학의 모든 진보가, 보통 공학적 응용을 위해 사람들이 더 이른 형태의 수학으로 수십 년간 숫자를 다루다가 발전한 결과임. 수학 혁신가들도 오랫동안 똑같이 막혔다는 걸 학생들이 알면 자기 능력에 더 자신감을 가질 수 있다고 봄
  • 그렇게 하면 수학이 아니라 철학과 역사를 가르치는 것 아닌가 싶음
    주제를 시작하는 훌륭한 이야기 훅은 될 수 있지만, 결국 수학은 계산·공식·증명에 관한 것 아닌가

• 부제의 “교육 개혁가들에겐 미안하지만, 우리에게 필요한 건 여전히 암기와 반복이다”에 대해 교육 개혁가들이 뭐라고 할지 궁금함
  불필요하게 대립적으로 들리고, 글의 핵심도 조금 빗나간 것 같음. 글은 수학에서 연습과 반복 사용이 중요하다고 말하지만, 40년 전 미국식 수학 교육으로 돌아가자는 뜻은 아닌 듯함. 고등학교 때 행렬 곱셈을 얼마나 빨리 하는지로 평가받고 행렬을 바보 같다고 생각했지만, 대학에서 선형대수와 결합 진동자를 배우고 멋지다고 느꼈음. 그래서 교육 개혁은 무의미한 반복 작업을 줄이고 실제로 쓰는 맥락에 집중하자는 것이라고 생각했는데, 내가 잘못 아는 걸까

  • 영국에서 차터스쿨 비슷한 일을 하던 여성이, 성취도가 낮다고 여겨지던 학생들을 대상으로 성공한 인터뷰를 들은 적이 있음
    핵심은 훈련, 많은 훈련, 더 많은 훈련이었음. 교사는 채점이 지루해서 싫어하고 학생은 재미없어서 싫어하지만, 반복 훈련은 효과가 있음. Super Mario Bros.의 같은 스테이지를 점프 타이밍이 맞을 때까지 반복하는 것과 다르지 않음. 수학 사실 같은 것을 배우게 하려면 훈련을 게임화하는 게 좋겠다고 자주 생각했지만, 미국 교육 시스템에는 이런 방식에 대한 알레르기가 있는 듯함. 대신 미국 교육 시스템은 돈이 흐르는 곳을 따라 과장된 유행에서 다음 유행으로 옮겨 다니는 데 중독된 것처럼 보임
  • 이는 교육계에서 꽤 논쟁적인 입장이므로 다소 전투적으로 말할 이유가 있음
    많은 교육은 학생의 현재 위치에 맞추는 것을 강조하다가, 어떤 지식을 개념적으로 마주할 때 피할 수 없는 복잡성 자체를 덮어버릴 때가 있음. 때로는 크고 뚫기 어려운 추상을 먼저 외우고, 적용을 통해 의미를 만들어가는 편이 더 나을 수 있음. 많은 지식은 말해지는 내용을 흐릿하게만 이해한 상태에서도 앞으로 나아가며, 시험해볼 자신감과 의지, 특히 피드백 메커니즘을 가질 때 더 명확해짐
  • 나도 비슷했지만 예술학교에는 대수학이 없었음. 컴퓨터가 어떻게 동작하는지 알아보려다가 수학이 왜 흥미로운지 배웠음
    큰 빈틈이 있다는 건 알지만 필요한 만큼은 수학을 쓸 수 있음. 지금은 수학 자체는 피하고 수학의 형태만 쓰려고 함
  • 영국 교사 Twitter에는 시끄럽지만 예의 있게 다투는 두 진영, 즉 전통파와 진보파가 있음
    양쪽 모두 교육심리학 연구를 근거로 들고, 진보파는 주로 큰 기관과 국제 연구에 기대며 전통파는 자기 교실에서 연구하는 경우가 많음. 영국 공인시험에서는 전통파 학생들이 더 잘하는 듯하지만, 그건 시험의 산물일 수도 있음. 또한 교사의 절반은 5년 안에 직업을 떠남. 40년이면 약 여덟 세대의 교사가 각자의 편향으로 훈련받고, 교실에서 생각을 다듬은 뒤 다음 세대를 훈련한 시간임. 여기에 교육심리학 학파의 유행 주기와 정부 정책 변화까지 겹치므로, 40년 전 교육 실천은 역사라기보다 고고학에 가까움
  • 대학 수학을 가르칠 때 빠른 행렬 곱셈은커녕 빠른 곱셈도 못 하는 학생들이 많았음
    필연적으로 우리가 배우려던 높은 추상 수준에서 계속 내려와 산술이라는 낮은 추상 수준을 처리해야 했고, 그 결과 높은 추상을 배우지 못했음. 객체지향 언어가 온갖 추상을 만들 수 있지만 숫자 곱셈을 못 한다고 상상해보면 됨. 알고리즘에서 곱셈이 필요할 때마다 같은 일을 하는 어셈블리 몇 줄을 직접 써야 한다면 효율이 얼마나 떨어지겠는가. 그냥 곱셈 연습을 해야 함

• 대학 수학 수업을 들을 때, 내가 이해했다고 생각한 것과 실제 문제가 얼마나 혼란스러운지 사이에 큰 간극이 항상 보였음. 저자가 그 현상을 말해줘서 반가움
  주제를 실제로 이해한 소수 학생에게 문제는 단순 반복 작업이지만, 이해하지 못한 학생에게는 학습 과정에서 가장 중요한 부분임. 수학을 이해하는 방법은 정확히 하나, 실제로 수학을 하는 것임. 그 방식은 다양할 수 있지만 문제를 푸는 일은 중요함. 문제는 흥미로워야 한다고 믿지만, 반복 회상 역시 중요함

  • 코딩도 마찬가지임. 문제에 아주 잘 준비된 상태로 들어가서 무엇을 해야 할지 안다고 생각해도, 실제로는 많은 반복 실험과 여러 번의 시도를 거쳐야 그 문제를 영리하게 풀 지식이 생기는 경우가 많음

• 저자가 어디 교수인지 보고 나서야 연결됐음. Coursera의 Learning How To Learn 강사 중 한 명임: https://www.coursera.org/learn/learning-how-to-learn

• FAANG 인터뷰를 준비하고 떨어진 뒤 보니, 통과하려면 LeetCode를 훑고 그래프 탐색 패턴, 트리의 너비 우선 탐색과 깊이 우선 탐색, 재귀 패턴 등을 외우는 수밖에 없어 보임
  자연스러운 문제 해결 방식으로 풀면 LeetCode 문제 하나에 몇 시간에서 며칠이 걸림. 글과 기술 업계 기준에 따르면 암기야말로 지능인 셈임. 평생 주제는 이해하고 암기는 피해왔는데, 지금은 심한 가면증후군을 겪고 있음. 인터뷰를 통과한 더 똑똑한 사람들 사이에 있을 자격이 없는 건 아닐까 해서 현재 기술 직장을 자발적으로 그만두는 것까지 생각 중임. 기술 업계 인터뷰 방식이 맞는 걸까. 도움이 필요함

  • 기술 업계에서 아주 오래 일했지만, FAANG식 면접에 가깝게 본 적은 없고 면접에서 제안까지 일주일 넘게 걸린 적도 없음
    FAANG 수준의 돈은 못 벌지만, 미국 3급 도시권에서 또래 지역 중위소득의 2.5배 이상은 꾸준히 벌었음. FAANG 면접은 게임임. 그렇게 끔찍하고 준비가 필수인 이유는 후보군을 적합한 사람들로 편향시키고, 충분히 간절한 사람 또는 시간이 많은 사람을 고르며, 동급 회사로 옮기기 어렵게 만들어 임금을 낮추고, 마지막으로 신고식 같은 과정으로 결속감을 만들기 위해서라고 봄. 개인적으로 받아들이지 않아도 됨
  • LeetCode 문제 대부분은 CLRS를 교재로 쓰는 수업을 최근에 들은 신입 CS 전공자가 배웠을 내용에 기반함
    이 배경이 있다고 가정하면 성공의 핵심은 문제 해결 능력을 키우는 것임. 최근에 CLRS 기반 수업을 듣지 않았다면, 그 개념들을 더 많이 외우고 연습해야 하는 건 자연스러움
  • Apple에서 면접을 보고 일했지만, 팀마다 차이가 매우 크므로 참고만 해야 함
    기본적으로 잘해야 하는 건 주요 자료구조의 실행 시간 복잡도를 기억하고, 자신이 코드를 쓸 플랫폼에서 제공되는 핵심 구조에 익숙해지는 것임. Java 중심 팀에서는 여러 Map 타입, PriorityQueue, Stack, 배열, Java 참조 동작을 기억하는 게 중요했음. 이런 구조가 언제 유용한지 어느 정도 직관적으로 알면 알고리즘 부분은 그렇게 어렵지 않았음. 예를 들어 면접에서 LRU 캐시, 특히 모든 연산이 상수 시간인 LRU 캐시 구현을 좋아하는 듯했음. 가장 쉬운 방법은 이중 연결 리스트를 만들고 그 노드들이 해시맵 안의 래퍼 타입을 가리키게 하는 것임. 아주 어렵지는 않지만 어떤 자료구조가 유용한지 익숙해야 하고, 이 경우 초보자가 흔히 하는 실수는 최소 힙으로 해보려는 것임
  • 깊이 우선 탐색은 이름 그대로 깊이부터 탐색하는 것임. 거기서 무엇을 “외워야” 하는지 잘 모르겠지만, 약어를 외워야 한다면 그건 중요하다고 봄