수학 학습 방법 (2017)

 (math.uh.edu)
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  • 대학 수학은 고등학교처럼 정해진 상황에 알고리듬을 적용하는 과목이 아니라, 정의·정리·증명을 바탕으로 적절한 방법을 고르는 판단까지 요구함
  • 정의는 직관으로 넘길 수 없으며, 논리 구조와 적용 범위를 파악하고 예제·반례로 확인한 뒤 정확한 문장까지 익혀야 함
  • 정리·명제·보조정리·따름정리는 결과의 역할과 중요도를 알려주며, 가정과 결론, 사용 사례, 가정의 필요성을 함께 이해해야 함
  • 증명은 대학 수학의 선택 사항이 아니며, 정리의 문장을 먼저 이해하고 큰 전략을 본 뒤 생략된 세부 단계를 채워야 올바르게 적용할 수 있음
  • 문제 풀이 실력은 반복 연습만으로 충분하지 않고, 여러 풀이를 시도하고 무작위 문제를 풀며 어떤 기법을 쓸지 고르는 판단력을 길러야 함

대학 수학이 고등학교 수학과 다른 점

  • 고등학교 수학은 많은 시간을 알고리듬과 조작 기법에 쓰며, 학생은 정해진 상황에서 이를 적용할 것으로 기대됨
  • 이런 공부 습관만으로는 대학 수학을 따라가기 어렵고, 학생과 교수 모두에게 좌절을 만들 수 있음
  • 대학 수학의 첫 번째 큰 차이는 학생이 흔히 이론이라고 부르는 부분을 훨씬 강조한다는 점임
    • 정의와 정리를 정확히 진술함
    • 정리가 성립하는 논리적 과정을 다룸
    • 정의가 왜 적절한지 보여주는 예와 정리를 실제로 쓰는 방법을 함께 다룸
  • 강의 설명에 rigorous라는 표현이 있으면, 정의와 정리를 매우 신중하게 진술하고 정리에 대해 그럴듯한 설명이 아니라 증명을 제시한다는 뜻임
  • 이론을 대충 읽고 바로 문제로 넘어가는 방식은 대학 수학에서 어려움을 일으킴
  • 두 번째 차이는 기법과 응용 문제를 다루는 방식임
    • 고등학교에서는 한 번에 한 기법을 배우는 경우가 많음
    • 대학 수학에서는 한 문제에 여러 접근법이 가능하고, 그중 어떤 방법이 더 나은지 선택해야 함
    • 따라서 기술적 숙련뿐 아니라 문제 풀이의 판단력을 기르는 공부 습관이 필요함

정의를 공부하는 방법

  • 수학의 정의는 어떤 개념을 이전에 정의된 개념이나 number, set 같은 미정의 개념과 연결해 정확히 경계 짓고 이름 붙이는 문장임
  • 직관적 느낌은 필요하지만 대학 수준에서는 충분하지 않으며, 정의의 공식 문장과 그 의미를 직접 다뤄야 함

  • 정의가 말하는 바를 정확히 이해하기

    • 정의는 속독을 연습할 곳이 아님
    • 확립된 정의에는 보통 낭비되는 단어나 불필요한 기호가 없으며, and, or, if ... then, for all, there is 같은 작은 단어가 논리 구조를 알려줌
    • 먼저 정의가 어떤 일반 범주의 대상을 말하는지 파악해야 함
      • 다항식의 정의는 특정한 종류의 대수식을 말함
      • 연속 함수의 정의는 특정한 종류의 함수를 말함
      • 벡터공간의 기저 정의는 특정한 종류의 벡터 집합을 말함
    • 그다음 그 일반 범주의 대상이 정의를 만족한다는 것을 보이려면 무엇을 해야 하는지 해석해야 함

  • 예제로 정의의 범위 확인하기

    • 표준 예제는 유용하지만, 모든 예제가 표준 예제와 비슷하리라고 기대하게 만들 수 있음
    • 정의를 이해하려면 직접 예제를 만들어야 함
      • 정의를 만족하지만 서로 가능한 한 다른 예제 3개를 만듦
      • 같은 일반 범주에 속하지만 정의를 만족하지 않는 예제 2개를 만듦
      • 이 5개 예제가 실제로 의도한 대로 작동함을 증명함
    • 이런 증명은 보통 짧고 정의의 구조를 거의 그대로 따름
    • 직접 쓴 예제는 복습할 때 책이나 교수의 예제보다 더 큰 의미를 가짐

  • 정확한 문장 암기하기

    • 정의를 사용하려면 정의가 정확히 무엇을 말하는지 알아야 함
    • 시험에서 어떤 정의의 문장을 묻는 문제가 나올 수 있음
    • 정의에 대한 탄탄한 지식은 전체 학습에서 큰 비중을 차지하며, 여기에 쓰는 시간은 낭비가 아님

정리, 명제, 보조정리, 따름정리 다루기

  • 정의는 서로 연결되고 일반적인 문제와 관련될 때 실제로 작동하며, 이 역할을 하는 것이 이론임
  • 증명되는 결과에 붙는 이름은 상대적 중요도와 의도된 사용법을 어느 정도 알려줌
    • 정리는 개념이 문제 해결에 쓰이는 방식이나 과목의 작동 방식에 대한 주요 통찰을 주는 중요한 결과이며, 증명이 깊고 복잡한 경우가 많음
    • 명제는 더 작은 결과로, 서로 다른 정의를 연결하거나 정의의 다른 형태를 주는 경우가 많고 증명은 보통 정리보다 덜 복잡함
    • 보조정리는 정리의 증명에 쓰이는 기술적 결과이며, 같은 요령이 여러 번 쓰일 때 따로 분리해 반복 증명을 피하게 함
    • 따름정리는 정리의 즉각적 결과로, 특수한 경우를 주거나 정리의 흥미와 중요성을 드러냄
  • 저자나 교수가 이런 이름을 신중하게 사용했다면 무엇이 중요한지 파악하는 데 도움이 됨

  • 정리의 문장 이해하기

    • 정리는 정의된 용어를 사용하므로, 정리의 단어를 이해하려면 관련 정의를 다시 봐야 할 수 있음
    • 정리의 논리 구조에서 가정과 결론을 구분해야 함
    • 여러 가정이 모두 필요한지, 일부만으로 충분한지 확인해야 함
    • 대부분의 정리는 모든 가정이 만족되어야 적용됨
    • 가정을 만족하지 않는 상황에 대해서는 정리가 아무것도 말해주지 않음
    • 가정은 특정 사례에 정리를 적용하려면 무엇을 보여야 하는지 알려주고, 결론은 그 사례에 대해 정리가 무엇을 말하는지 알려줌

  • 정리가 어떻게 쓰이는지 확인하기

    • 정리가 답을 찾는 기법을 제공하는 문제 예제를 찾아야 함
    • 직접 문제를 만들고 정리가 어떻게 도움이 되는지 보여야 함
    • 이를 써두면 정리가 머릿속에 더 단단히 자리 잡고 복습도 쉬워짐

  • 가정의 역할 확인하기

    • 각 가정을 빼면 결론이 거짓이 될 수 있음을 보여주는 예제를 찾는 방식이 유용함
    • 미적분학의 많은 정리는 함수가 연속이라는 가정을 갖는데, 이 가정이 빠지면 왜 정리가 실패하는지 예제가 더 분명하게 보여줄 수 있음
    • 이런 예제 목록은 유용하며, Counterexamples in Analysis와 Counterexamples in Topology 같은 책이 예로 제시됨
    • 어떤 경우에는 가정이 결론에 본질적이라서가 아니라 복잡한 증명을 쉽게 만들기 위해 들어가기도 하므로, 모든 가정이 필수임을 보여주는 예제를 항상 찾을 수 있는 것은 아님

  • 정리의 문장 암기하기

    • 정리를 쓰려면 정리가 정확히 무엇을 말하는지 알아야 하며, 특히 가정에 주의해야 함
    • 정리의 증명을 외우려 하기보다, 스스로 증명할 수 있을 만큼 이해하는 것이 좋음

과목 전체 구조를 맞춰 보기

  • 수학은 잡다한 기법 모음이 아니라 하나의 사고방식이자 통일된 과목임
  • 공부의 일부는 여러 정의와 정리를 서로 올바르게 연결하는 일임
  • 이 작업은 특히 학기 말에 중요하지만, 학습 중에도 전체 조직을 의식하면 과목의 내용과 배열을 이해하는 데 도움이 됨

  • 거꾸로 추적하기

    • 중요한 결과에 도달하면, 그 증명에서 어떤 이전 결과가 쓰였는지 살펴보는 방식이 유용함
    • 그런 이전 결과들이 다시 어떤 더 이른 결과로 증명됐는지 추적하면 결국 정의까지 돌아갈 수 있음
    • 단, 미적분학에서 중간값 정리의 증명이 생략되는 경우처럼 일부 정리는 증명 없이 주어질 수 있음
    • 이 정보를 결과들의 계보도처럼 정리하면 이론이 어떻게 맞물리는지 한눈에 볼 수 있음
    • 평균값 정리의 예에서는 Rolle의 정리, 후보 보조정리, 도함수 부호의 의미, 도함수 정의, 최댓값·최솟값 정의, 닫힌구간 정의, 최소상계 공리, 연속성 정의 등이 연결됨

  • 정의-정리 개요 만들기

    • 주요 정리마다 정의까지 거꾸로 추적하면, 어떤 결과가 다른 결과보다 먼저 필요해지는지 파악할 수 있음
    • 어떤 정의는 특정 정리가 증명되기 전에는 의미를 갖기 어려움
    • 벡터공간의 차원은 말하는 숫자가 유일하다는 것을 알아야 이름 붙일 수 있고, 이를 위해 정리가 필요함
    • 정의-정리 개요는 각 결과가 증명에서 필요해지기 전에 먼저 도입되도록 배열한 것임
    • 이 개요에는 모든 정의와 정리의 정확한 문장, 각 정리 증명의 스케치가 포함되어야 함
    • 증명 스케치는 어떤 이전 결과가 쓰였고 어떻게 결합됐는지 보여주며, 계산 단순화나 가정 확인 같은 일상적 단계는 보통 생략함
    • 이런 개요는 복습을 시작하는 좋은 방법이자 나중에 참고하기 좋은 자료임

증명을 이해하는 방법

  • 대학 수준의 수학은 많은 증명을 따라가야 하며, 고등학교 수학에서 증명이 없거나 선택 사항이었던 것과 다름
  • 증명을 따라가는 일은 낯설고 어려운 작업이라 인기가 없을 수 있음

  • 정리의 문장을 먼저 알기

    • 가정과 결론을 혼동하면 무엇을 가정할 수 있는지, 무엇을 결론으로 도달해야 하는지 알 수 없음
    • 증명 이해의 첫 단계는 해당 정리가 정확히 무엇을 말하는지 아는 것임

  • 증명의 큰 윤곽 잡기

    • 먼저 이전 결과가 무엇이 쓰였는지, 증명의 기본 전략이 무엇인지 살펴봐야 함
    • 첫 번째 통과에서는 세부 사항을 생략해야 전체 방향을 놓치지 않음
    • 대부분의 정리는 함의 형태를 가지며, 가장 쉬운 증명 구조는 가정을 받아들이고 이전 결과를 결합해 결론까지 이어가는 것임
    • 대우 증명, 귀류법, 수학적 귀납법, Zorn의 보조정리처럼 선택 공리의 한 형태도 전략으로 쓰일 수 있음

  • 생략된 세부 단계 채우기

    • 전략을 이해한 뒤에는 전술에 집중해야 함
    • 학부 교재의 증명 설명과 더 높은 수준의 모든 증명 설명은 많은 일상적 단계를 생략함
    • 식이 단순화되어 있으면 줄 사이의 계산을 채워야 함
    • 정리가 인용되어 적용됐으면 모든 가정이 실제로 만족되는지 확인해야 함
    • 일부가 독자에게 맡겨져 있으면 그 세부를 직접 채워야 함
    • 끝났을 때는 각 단계가 앞 단계에서 왜 따라오는지 알아야 하며, 그 증명을 어떻게 떠올렸는지까지 반드시 알 필요는 없음

  • 왜 증명을 배워야 하는가

    • 수학 전공자에게는 수학의 큰 부분이 증명으로 이루어져 있으므로 답이 분명함
    • 수학을 응용하려는 학생에게도 증명은 필요함
    • 다른 분야의 응용은 수학 교과서의 응용 문제와 정확히 같지 않을 가능성이 큼
    • 수학 강좌가 알려진 모든 응용을 다룰 수는 없으며, 수학 문헌에는 2주마다 약 500편의 응용 논문이 실린다고 함
    • 정리의 가정을 알아야 정리가 작동하지 않는 곳에 잘못 적용하지 않음
    • 필요한 경우 실패한 가정을 우회하는 법을 보려면 증명을 아는 것이 도움이 됨
    • 응용수학의 큰 함정 중 하나는 수학적 모델의 가정을 편의상 무시하는 것임
      • 비수학자가 응용수학을 할 때 특히 이런 위험이 있음
      • 수학자가 응용수학을 할 때는 현실과 관련 없는 모델을 만드는 함정에 빠질 가능성이 더 큼
    • 많은 응용은 다른 분야의 용어로 표현된 수학적 개념의 정의를 알아보는 일로 이루어짐
    • 증명은 정의의 미묘한 차이와 예상치 못한 동치 형태를 분명하게 보여줄 수 있음
    • 수학에서 증명은 타당성의 최종 시험임
    • 증명의 논리 과정을 받아들이면 이후의 관찰이나 유행 변화가 수학적 결과의 타당성을 바꾸지 않음
    • 수학에서 증명이 빠지면 심각하게 결핍된 것이며, 수학이 아니라고 할 수 있음

문제 풀이 기법을 기르는 방법

  • 수학 과목의 약 3분의 1에서 절반은 기법을 다룸
  • 기법은 정리가 일반적인 형태로만 머물지 않고 특정 상황에서 작동하도록 만드는 과정임
  • 어떤 경우에는 증명이 명시적인 구성을 주기 때문에 이를 특수한 경우에 따라 하면 됨
  • 적분 기법처럼 여러 접근법과 여러 요령이 한 문제에 적용될 수 있는 경우에는 판단력이 필요함

  • 정리와 예제를 먼저 읽기

    • 문제 풀이를 과목의 다른 내용과 무관한 과정처럼 다루면 학습이 더 어려워짐
    • 문제는 종종 앞의 주요 정리 증명에 명시된 패턴을 따름
    • 일반 패턴을 미리 아는 편이 시행착오로 찾아내는 것보다 쉬움

  • 충분한 문제를 풀어 기법 익히기

    • 단일 기법이 머릿속에 확실히 자리 잡을 만큼 충분히 많은 문제를 풀어야 함
    • 교육에 대한 최종 책임은 학생에게 있으므로, 제출 과제보다 더 많은 문제가 필요하면 스스로 연습해야 함

  • 여러 방식으로 같은 문제 풀기

    • 한 기법을 연습하다 보면 한 문제에 접근법이 하나뿐이라고 생각하기 쉬움
    • 어떤 접근은 쉽고 다른 접근은 복잡할 수 있지만, 여러 풀이가 비슷하게 잘 작동하는 경우도 많음
    • 복잡한 접근은 여러 단계와 여러 기법이 필요한 문제 풀이 연습이 됨

  • 무작위 문제 세트 만들기

    • 여러 기법을 배울 때의 어려움은 풀이를 시작하기 전에 어떤 기법을 쓸지 결정해야 한다는 점임
    • 교재 문제는 보통 직전에 배운 기법을 쓰도록 묶여 있어 이 어려움을 더 키울 수 있음
    • 각 문제 세트에서 2~3문제를 골라 3×5 카드에 적고 섞으면, 어떤 기법을 쓸지 결정하는 연습용 문제 세트를 만들 수 있음

마지막 공부 습관

  • 수학 문장은 중복이 매우 적고, 수학은 매우 누적적인 과목임
  • 한 번 도입된 개념은 드물게만 반복되며 나중에는 이미 안다고 가정됨
  • 문제를 풀기 전에 책을 읽을 충분한 시간을 확보해야 함
  • 대부분의 학생은 수업 중 완전하고 읽기 쉬운 필기를 할 만큼 빠르게 쓰지 못함
  • 수업 직후 필기를 다시 보고, 정의와 정리를 명확히 적은 깨끗한 완성본을 만드는 것이 유용함
    • 이 과정은 이해하지 못한 부분을 찾아 제때 교수에게 질문하는 데도 도움이 됨
  • 뒤처지면 안 됨
  • 수학은 정밀함, 명료한 사고 습관, 연습을 요구함
  • 시험 직전 벼락치기는 원하는 시험 결과를 내지 못할 뿐 아니라, 이해가 아니라 암기로 수학을 하려는 나쁜 습관을 강화함
  • 마지막 순간 암기보다 충분한 수면과 맑은 머리가 더 도움이 됨

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Hacker News 의견들

  • 수학 박사이고 논문도 여러 편 냈지만, 내 추천은 메타 원칙 하나임: 수학을 즐겨야 함
    Benjamin Finegold가 체스의 비결은 매 수를 즐기는 것이라고 했던 것과 비슷함. 개인적으로 수학에서 어려움을 겪은 적이 없었고, 그 이유는 기호를 쓰고, 새 이론을 배우고, 직접 만들어보는 행위 자체를 정말 좋아했기 때문이라고 봄
    누구나 처음부터 수학을 즐기지는 않지만, 그중 적어도 절반은 수학을 즐기는 뚜렷한 경로를 못 찾았기 때문이라고 생각함. 고등학교 수학은 대개 멋진 예술적·논리적 탐구로 가르쳐지지 않음
    그래서 이미 그 길을 찾은 멘토를 만나 수학을 즐기는 법을 보여달라고 하는 게 좋음. 실제로 수학을 싫어하고 어렵게 느끼던 학생들을 많이 가르쳤는데, 몇 번 지나면 “이거 꽤 멋진데?”라는 눈빛이 보이곤 했음
    논리, 공부법, 지루한 생산성 기법을 적용하기 전에 먼저 즐길 방법을 찾아야 함

    • 수학 교육의 큰 문제 중 하나는 수학을 싫어하는 사람들이 수학을 가르친다는 데 있음
      그들은 수학을 쓴 약을 먹거나 복잡하고 경직된 기술을 훈련하는 것처럼 보고, 그래서 가르치는 방식도 서툴고 권위적이어서 학생들이 수동적이거나 반항적으로 변함
      최근 캐나다 Manitoba 정부가 수학 교사에게 대학 수학 과목 이수를 요구하지 않도록 바꿨는데, 대학 교육학과들이 이를 강하게 밀고 있다는 점이 수학 교사들이 수학을 얼마나 싫어하는지 보여준다고 봄
    • 무슨 말인지는 알겠지만, 즐거움보다 자신감이 더 중요하다고 생각함
      많은 사람이 어떤 것을 좋아하는 것과 그걸 잘해서 기분 좋은 것을 혼동함. 그래서 어떤 분야가 더 이상 자연스럽게 풀리지 않으면, 나중에 전공을 바꿔 자기 강점이 통하는 곳으로 옮겨감
      너무 일찍 포기하는 게 문제이고, 이를 막으려면 초반에 자신감을 쌓는 게 중요함. 스스로 못한다고 느끼면 즐기기가 거의 불가능하므로, 기초적인 숙달이 즐거움과 이후 성공의 첫 단계가 됨
    • 학생들에게 그 즐거움을 키워주기 위해 어떤 재미있는 활동을 했는지 팁이나 일화가 궁금함
      박사는 아니지만 어린 학생들에게 수학 과외를 꽤 해왔고, 수학이 재미있고 경이롭다는 느낌을 길러주는 새 방법을 늘 찾고 있음
      많은 학생에게 수학은 거의 무의미한 고통처럼 뿌리 깊게 자리 잡아 있고, 부족함이나 수치심과도 강하게 연결되어 있어 쉽지 않음
    • 처음엔 의욕이 없거나 낙담한 학생의 눈에서 그 “반짝임”을 보는 만족감은 내 직업 경력에서 가장 충만한 순간 중 하나였음
    • 늘 소리 지르고, 우리는 아무것도 못 될 거라고 말하고, 나무 칠판 지우개를 던지던 선생에게 수학을 배웠음
      대체 어떻게 스스로 수학을 즐기도록 만들 수 있을까?

  • 학부 때 모든 수학 과목에서 내 비결은 문제 풀기였음
    교과서 각 장 끝의 문제를 전부 풀고, 도서관에서 다른 교과서를 찾아 그 책들의 장 끝 문제도 전부 풀었음
    대학원에서는 더 확장해서, 교과서의 모든 장을 다시 쓰며 증명의 중간 단계를 채웠음. 저자가 “따라서 …”나 “명백히 …”라고 넘긴 부분까지 모두 메웠음

    • 예전에 대학에서 들었던 기초·순수수학 노트를 최근 다시 봤는데, 증명 곳곳에 스무 살의 거만하고 자만한 내가 “명백하다”고 넘긴 단계들이 널려 있었음
      20년 뒤 맥락 없이 읽는 지금의 나에게는 전혀 뚫리지 않음
    • 그렇게 해봤지만 전이 학습이나 정의 회상에서 큰 어려움을 겪었고, 다음 방법들이 거의 지수적으로 실력을 끌어올리는 데 도움이 됐음
      기본 정의를 반복 훈련하고 간격 반복으로 복습했으며, Cornell 노트법이 수업 중 정리와 복습에 편했음
      풀지 못했거나 푼 문제, 왜 막혔는지, 무엇이 통했는지 등을 기록하는 사고 일지를 썼고, 이런 메타인지가 새 문제로 전이하는 데 유용했음
      서로 많이 설명하는 스터디 그룹도 큰 도움이 됨
    • 가능한 한 많은 문제와 풀이에 노출되는 무차별 반복은 인공지능이 배우는 방식과 같음
      인간에게는 최적 전략이 아니라고 봄. 학생들이 분석적·개념적으로 배울 수 있게 돕는 수학 자료를 만들어야 함
      생물학을 배우는 방식처럼 말임
    • 조교 스터디 세션에 가고, 수업 중 질문에도 답해보는 게 좋음
      질문할 게 없어도 그 시간에 숙제를 하고 다른 사람들의 질문을 들으면 됨
      더 많이 배울 뿐 아니라, 조교가 노력을 알아봐서 부분 점수나 성적 경계선에서 유리하게 봐줄 가능성도 커짐
    • “교과서 장 끝의 문제를 전부 풀라”는 건 교과서에 따라 다르지 않나 싶음
      예를 들어 CLRS의 모든 문제를 푸는 건 불가능하다고 봄. 교수님이 범용 해싱 문제 하나를 냈는데, 올바른 증명의 핵심 통찰을 얻는 데만 몇 시간이 걸렸음
      경쟁 우선순위가 많은 상황에서 정말 재능 있는 일부를 빼고는 모든 문제를 어떻게 풀 수 있을지 상상이 안 됨

  • 학교에서 대학으로 넘어갈 때 가장 먼저 익숙해져야 하는 건 완전히 길을 잃고 패배감을 느끼는 상태임
    고등학교 말에는 모든 걸 풀 수 있었고, IB 시험도 시간이 많이 남았으며, 정규 교육과정 문제 중 못 푸는 걸 본 지 몇 달은 됐었음
    대학에 가니 방금 들은 강의와 문제지가 무슨 관련인지조차 모르겠는 문제가 나왔음. “이 강의를 들었고, 그 정보로 이 문제를 풀어야 하는데, 문제 자체가 무슨 뜻인지 모르겠다”는 느낌임
    학습은 바로 그 답답하게 머리를 박는 과정에서 일어남. 읽고, 더 읽고, 쓸모없는 유도식으로 노트를 채우다 보면 결국 형태가 잡힘
    대학에서는 자료량이 너무 방대해서 제한된 시간 안에 누군가에게 전부 설명해줄 수 없음. 학생이 핵심 아이디어를 집어 들고, 나머지는 스스로 시간을 쏟아 채워야 함

    • “완전히 길을 잃고 패배감을 느끼는 데 익숙해져야 한다”는 말이 정말 맞음
      내가 다닌 대학에는 학기 전 수학 복습 과정이 있었고, 자연수 덧셈부터 시작했음. 이틀 만에 13년 동안 학교에서 배운 내용이 전부 반복됨
      기대치를 잔인하게 재설정하는 과정이었지만, 이제 학교가 아니라는 점과 다른 종류의 작업과 집중이 필요하다는 점을 모두에게 분명히 알려줬음

  • 관련 링크들:
    How to Study Mathematics (2017) - https://news.ycombinator.com/item?id=26524876 - 2021년 3월, 댓글 73개
    How to Study Mathematics (2017) - https://news.ycombinator.com/item?id=16392698 - 2018년 2월, 댓글 148개
    보너스: Ask HN: How to Study Mathematics? - https://news.ycombinator.com/item?id=23074249 - 2020년 5월, 댓글 31개
    Ask HN: How to self-study mathematics from the undergrad through graduate level? - https://news.ycombinator.com/item?id=18939913 - 2019년 1월, 댓글 227개
    Ask HN: How to self-learn math? - https://news.ycombinator.com/item?id=16562173 - 2018년 3월, 댓글 211개

  • 흥미롭게도 이 가이드는 직관적 이해가 학교 수준 수학에는 맞지만 대학 수준에는 맞지 않는다고 말함
    반면 David Bessis는 최근 책 “Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity”에서 직관이 모든 수준의 수학 이해에서 “비밀”이라고 주장함
    여기서 어떤 결론을 내려야 할지는 모르겠지만, 오래된 내 대학 수학 경험으로는 직관이 과목 이해를 발전시키는 강력한 도구였음

    • 모순처럼 보이지만 실제로는 아니라고 봄. 핵심은 경험이 직관의 전제조건이라는 것임
      고등학생이 고등학교 수학 문제를 볼 때는 K-12 수학 경험 전체를 바탕으로 풀이 직관을 끌어냄. 학부 수학으로 넘어가면 기존 경험이 더 이상 충분하지 않아 힘들어짐
      더 추상적인 문제와 훨씬 높은 엄밀성이 요구되고, 문제도 고등학교 수학보다 Bloom의 분류 [1]에서 더 높은 수준에서 작동하는 경우가 많음. 평균적인 고등학생에게는 거의 경험이 없는 영역이라 직관이 잘 생기지 않음
      경험이 쌓이면 학부 후반, 대학원, 그 이후에 직관이 다시 돌아오지만, 본질적으로 다른 종류의 직관임. 고등학교에서는 시각적·기하학적 직관이 많았다면, 고등 수학에서는 추상과 문제를 공격할 도구에 대한 직관이 됨
      프로그래머가 문제를 보고 “해시 맵이 필요하고, 그러면 이 문제는 사소해진다”고 말하는 것과 다르지 않음
      [1] https://en.wikipedia.org/wiki/Bloom's_taxonomy
    • 두 생각을 조화시키면, 고등학교 수준에서 가져가는 직관은 그 수준의 수학에는 도움이 됨
      일상생활에서 기하학적 대상이나 2차원 미적분 곡선 같은 것에 대한 감각이 있기 때문임
      대학 수준에서는 대상이 더 추상적이어서 일상 직관이 더 이상 적용되지 않을 수 있음. 새로운 종류의 직관은 생길 수 있지만, 형식적 절차와 계산에 많은 시간을 쓰고, 그 시간을 되돌아보고, 직관을 이끌 새 은유를 적극적으로 만드는 노력이 필요함
      예를 들어 어떤 교수는 복소평면의 정칙함수에서 국소 성질을 증명하면 그 성질이 전역 행동에도 참이 되는 방식을 설명하려고 _Cat's Cradle_의 Ice-9을 은유로 썼는데 아직도 기억남
    • 여기서 말하는 건 직관이 고등학교 수학에는 충분하지만, 대학 수학에는 충분하지 않다는 뜻으로 보임
      필요하지 않다는 뜻이 아니라, 충분조건이 아니라는 뜻임
    • 이는 Terence Tao의 수학적 엄밀성의 단계와 관련 있음
      Tao의 표현대로라면, 기술적 능력을 충분히 발전시킨 뒤의 탈엄밀 단계에서 직관의 가치가 훨씬 커짐
      https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-...
    • 그 책을 읽었는데, 내게는 “직관은 갈고닦을 수 있고 강력하지만, 다른 사람에게 전달하기 어렵다”는 정도로 읽혔음
      Bessis는 실제로 직관과 기법이 서로 잘 보완되는 예도 듦

  • Gian-Carlo Rota의 The Lost Cafe에서 가져온 Sitzfleisch 인용이 인상적임
    독일어 Sitzfleisch는 책상 앞에서 끝없는 시간을 보내며 고된 일을 해내는 능력을 뜻하고, 수학자들은 심리학자들이 가끔 내놓는 매력적인 재능 정의보다 이를 더 나은 성공 척도로 여긴다고 함
    하지만 Stan Ulam은 Sitzfleisch 없이도 버텼음. 뇌염을 앓은 뒤 손상되지 않은 상상력으로 아이디어를 내고, 기술적 지원은 다른 사람들의 Sitzfleisch에 기대게 됐음
    그의 통찰의 아름다움과 제안의 가능성 덕분에 젊은 협업자들이 기꺼이 자기 시간을 빌려주었고, 때로는 낭비할 위험까지 감수했음
    출처는 여기서 찾은 인용임: http://www.romanpress.com/Rota/Rota.php

  • 내 경우에는 모든 증명을 직접 해보려 했을 때 완전히 새로운 수준에 도달했다고 느꼈음
    예전에는 주제를 몇 번 읽은 뒤 정의와 증명을 하나씩 보면서 먼저 명제를 떠올리고, 그다음 직접 증명하려고 했음. 그렇게 하면 글에서 말한 것들이 간접적으로 거의 다 달성됨
    흥미로운 건, 그렇게 하고 나면 예전에는 복잡했던 연습문제 대부분이 곧장 풀리는 문제로 바뀌었다는 점임. 거의 연습문제를 안 풀어도 되는 치트키 같았음
    대학에서 여러 수준을 가르칠 때 매년 집에서 정리의 증명을 떠올려본 사람이 있는지 물었는데 아무도 없었음. 그렇게 해야 한다고 말하면 항상 놀라워했음

    • 나도 이걸 해보려고 함. 여기에 여러 단위의 정의 이해를 결합하면, 조립은 좀 필요해도 교과서가 머릿속에 들어오는 셈임

  • 이 글에는 수학 공부의 메타가 빠져 있음
    자신이 어떻게 배우는지에 대한 창의적 성찰은 대학 중반쯤부터 정말로 보상되기 시작함
    관습과의 관계가 기법과의 관계만큼 중요해짐. 어떤 것의 “전체”를 이해하려면, 지금 보고 있는 제시 방식이 어떤 편향으로 형성됐는지도 이해해야 함. 아마 그 편향을 벗겨내고 싶어질 것임
    수학을 바꾸고 싶든 그냥 배우고 싶든 마찬가지임. 남이 원하는 대로 하려는 수동적 태도는 좌절로 가는 길임

  • HN에서 보고 MathAcademy.com에 가입했는데, 최근 경험이 매우 기분 좋게 놀라웠음
    50대인 지금 35년 전 고등학교 수학을 다시 배우고 싶어서 Foundations 시리즈를 빠르게 진행했고, 현재 Foundations 3의 절반쯤 왔으며 9주 동안 하루 2시간씩 해서 약 9000 XP를 쌓았음
    2025년에는 더 느린 속도로 대학 수준 과정 1~3개를 해볼 계획임
    독학자로서 내 학습 방식에 잘 맞았음. 즐겁고, 측정 가능하고, 난이도가 조절되며, “벽”이나 “충족되지 않은 의존성”에 부딪히지 않고, 못 푼 문제 설명도 철저함
    가장 큰 깨달음은 복습·암기를 위해 많은 노트를 남기지 않아도 배울 수 있다는 것이었음. 경험과 간격 반복이면 충분했음. 크리스마스 휴식기가 학습이 실제로 굳었는지 보는 시험대가 될 것임

    • Math Academy를 1년 넘게 매일 쓰고 있는데, 나도 얼마나 많이 배우는지에 비슷하게 감탄하고 있음
      9주에 9000 XP라니 속도가 인상적임

  • “뒤처지지 말라”는 문장이 크게 와닿았음
    나는 1학년 몇몇 주제에서 고생했지만 도움을 구하지도, 시간을 충분히 들이지도 않아서 끝내 회복하지 못한 게으른 수학 학부생 중 하나였음
    가르침도 곳곳에서 아주 나빴다고 생각함. “그냥 믿어라” 식으로 넘기거나 “이건 명백하니 완성은 너희에게 맡기겠다”는 식인데, 18살에게는 솔직히 최악임
    “해석학 1”에서 30%를 받아도 다음 학기에 바로 “해석학 2”로 밀어 넣고 알아서 정신 차리길 기대하는 체계는 제대로 된 체계가 아니라고 봄
    대학에서 수학을 하던 시간은 정말 괴로웠고, 공학이나 컴퓨터과학처럼 더 응용적인 걸 했어야 했을지도 모름
    누군가 “학교에서 생물을 좋아하면 대학에서는 심리학을, 화학을 좋아하면 생물을, 물리를 좋아하면 화학을, 수학을 좋아하면 물리를, 철학을 좋아하면 수학을 하라”고 했는데, 들었어야 했음

    • 그 체계가 엉망이라는 데 동의함. 학교가 수학을 망침
      다만 완전히 성숙한 어른이 된 뒤에는 헛소리 같은 시간 제한과 성적 압박 없이 언제든 수학을 다시 볼 수 있음
      수학은 시간 압박에 잘 맞지 않는다고 봄. 수학은 아이디어와 오래 지내고, 가지고 놀고, 위험을 감수하고, 멍청한 추측도 해보는 것임. 본질적으로 놀이이고, 시간 압박은 누구에게도 도움이 되지 않음
      관심이 있었다면 언제든 다시 돌아갈 수 있고, 원한다면 수업을 다시 들어볼 수도 있음. 독학자를 위한 좋은 책과 함께 배우는 공동체도 많음
    • 그 조언은 목표가 성적을 잘 받는 것이라면 좋은 조언임
      하지만 사물의 밑바닥까지 내려가 모든 것을 이해하고 과학의 근본 질문을 풀고 싶다면 오히려 뒤집고 싶을 수 있음
      생물이 좋았다면 생명 과정은 전기화학적 과정이므로 화학을 공부하고, 화학이 좋았다면 분자와 원자, 형성과 반응은 물리적 과정이므로 물리를 공부하는 식임
    • “수학을 좋아하면 물리를, 철학을 좋아하면 수학을 하라”라면 나는 올바른 결정을 한 듯함. 수학을 했음
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