성인이 되어 다시 배우는 수학

• AI 제품을 만들며 LLM과 Transformer의 작동 방식을 이해하려다 통계·확률, 선형대수, 미적분 기반이 부족하다는 점을 느끼고 매일 수학을 다시 공부하기 시작함
• 학습 경로로 선택한 Math Academy는 중학교부터 대학원 수준까지 다루며, 성인용 Foundation Series로 대학 수준 수학까지 비교적 빠르게 올라가도록 구성됨
• 진단 평가 뒤 이어지는 인터랙티브 레슨은 대부분 약 10분이라 직장·육아·운동 사이의 짧은 시간에도 이어가기 쉬움
• 수학 학습은 캐주얼 앱처럼 넘기는 활동이 아니라 대부분 연필과 종이가 필요한 힘든 작업이며, Mathematics for Machine Learning 과정까지는 수년이 걸릴 것으로 봄
• 2024년 1월 기준 106일 연속 학습을 기록했고, 2025년 5월에는 500일 업데이트까지 공개하며 습관 추적 앱 Main Character도 만들었음

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수학을 다시 배우게 된 계기

• AI 제품을 만들면서 제품의 기술적 측면을 더 깊이 이해하고 싶어 함
• LLM과 Transformer를 배우려면 다음 영역의 기반이 필요하다고 판단함
  • 통계·확률
  • 선형대수
  • 미적분
• 대학원 이후에는 기업 전망치나 재무 관련 계산을 제외하면 수학을 많이 쓰지 않았고, 핵심 개념과 개념 간 연결에 대한 직관이 부족하다고 느낌
• 목표는 수학자가 되는 것이 아니라 LLM과 Transformer를 이해할 수 있을 만큼의 핵심 수학 직관을 갖추는 것임

성인 학습 경로로 선택한 Math Academy

• 직장, 아이들, 주택담보대출, 다른 취미가 있는 성인이 시간 효율적으로 수학을 배우는 방법으로 Math Academy를 선택함
• Math Academy는 Jason Roberts와 Sandy가 만든 스타트업이며, 글을 쓸 당시에는 베타 상태였지만 유료 라이선스를 구매해 사용함
• 현재 초점은 아이들의 수학 학습이지만, 성인 학습자에게도 효과적이라고 봄
• 과정은 중학교부터 대학원 수준까지의 수학을 다루며 인가된 과정으로 소개됨
• 성인을 위한 시작점은 Foundation Series임
  • 아이들에게 필요하지만 성인에게는 덜 필요한 부분을 건너뜀
  • 대학 수준 수학까지 비교적 빠르게 다시 올라가도록 설계됨

Math Academy의 학습 방식

• 가입 후에는 진단 평가로 현재 수학 숙련도를 확인하고 적절한 수준에서 시작함
• 이후 자기 주도형 인터랙티브 레슨이 이어지며, 대부분의 레슨은 약 10분 길이라 바쁜 성인도 짧은 틈에 학습하기 쉬움
• 학습 흐름은 개념을 가르치고, 평가하고, 복습하고, 그 위에 새 개념을 쌓는 방식임
• 단순히 영상으로 학습한 느낌만 주는 방식이 아니라 문제 사이에 설명이 들어가고, 손으로 직접 풀어보는 구체적 학습 과정에 가까움
• 퀴즈 시점에는 배운 내용을 실제로 적용할 수 있다는 점을 체감함

수학은 여전히 어렵다

• Math Academy가 학습을 가능한 쉽게 만들지만, 수학 자체는 여전히 힘든 작업임
• 대부분의 학습에는 연필과 종이가 필요함
  • 초기 복습 수준의 쉬운 레슨처럼 머릿속으로 풀 수 있는 경우는 예외임
• 수학을 진지하게 배우려면 단순히 앱을 훑어보는 방식으로는 부족함
• 성인이 실제로 수학을 배우는 데 더 편리한 방법으로 Math Academy를 높게 평가함

습관을 만들기 위한 환경 설정

• 지속 가능한 습관을 만들기 위해 시작 장벽을 낮추고, 수학 학습을 새로운 기본 행동처럼 만들려 함
• 편의성을 위해 다음 도구를 사용함
  • iPad: Math Academy가 웹 기반이라 컴퓨터 앞이 아닐 때 레슨용으로 사용
  • Remarkable 2: e-ink 기반 필기용으로 사용
  • 두 기기를 함께 담을 수 있는 케이스를 사용했고, 2025년 2월 24일에는 안경과 AirPods 등을 넣을 지퍼 포켓이 있는 다른 케이스로 바꿈
• 배심원 의무 대기 시간, 헬스장에 일찍 도착한 15분, 스탠딩 데스크 아래 트레드밀에서 가볍게 걷는 시간에도 레슨을 진행함
• 보통은 아이들이 잠든 뒤, 운동을 마친 뒤 저녁에 레슨을 함
• 긴 하루 뒤 운동과 수학을 모두 하는 일은 어렵지만, 습관화가 부담을 줄임

장기 목표와 진행 상황

• 목표 과정은 Mathematics for Machine Learning이며, LLM과 Transformer를 더 잘 이해하기 위한 명확한 목표로 삼음
• 제한된 시간 때문에 목표까지는 수년이 걸릴 것으로 봄
• 오래 걸리는 이유는 두 가지임
  • 수학은 어려움
  • 수학은 방대함
• 첫 번째 Mathematical Foundations 과정의 지식 그래프만으로도 개념 수와 연결, 빈틈이 크다는 점을 확인함
• 약 10개 정도의 과정을 들으려 하며, 이를 하루 한 레슨씩 진행하면 수년 규모의 학습이 됨
• 2024년 1월 기준 시작 이후 매일 최소 1개 레슨을 완료해 106일 연속 학습을 기록함

온라인 STEM 학습에 대한 인식 변화

• 이전에는 수학처럼 어려운 과목은 대학 같은 전용 환경에서만 제대로 배울 수 있다고 생각함
• 온라인 과정은 더 부드럽고 덜 기술적인 주제에 적합하다고 봤지만, Math Academy 사용 후 생각이 바뀜
• 효과적이고 접근 가능한 방식으로 어려운 것을 배울 수 있다는 점에 큰 만족감을 느낌
• Math Academy가 컴퓨터과학, 물리학 같은 다른 복잡한 STEM 주제로도 확장되길 바람

후속 업데이트

• 2024년 1월 20일 업데이트 이후 비슷한 여정을 하는 사람들의 반응이 있었고, Hacker News 토론도 활발했음
• Math Academy에는 매주 레슨 완료로 얻는 XP 기반 게임화가 있으며, 사용자는 매주 최고 등급인 Platinum에 있었음
• 2025년 1월 24일 업데이트에서는 1년 넘게 Math Academy로 매일 수학을 계속하고 있다고 전함
• 공개적으로 진행 상황을 공유하는 일이 지속에 도움이 되었고, 이를 쉽게 하기 위해 무료 습관 앱 Main Character를 만들었음
  • 사용자가 진행 상황을 트윗하면 습관을 추적함
• 2025년 5월 5일에는 500일 수학 학습 업데이트를 올렸고, 관련 Hacker News 토론도 있었음

[GN⁺]

Hacker News 의견들

• 약 1년 동안 비슷하게 공부해 왔고, 목표는 3D 게임을 만들 때 필요한 수학을 익히는 것임. 범위는 대수, 기하, 미적분, 선형대수에 가까움
  처음엔 brilliant.org로 시작했는데, 인터랙티브 강의의 완성도는 좋았지만 수업 순서가 어긋나 아직 배우지 않은 내용을 자주 전제한다고 느꼈음. 글에서 설명한 Math Academy만큼 교육 설계에 신경 쓴 것 같지는 않았음
  그래서 포기하고 The Art Of Problem Solving 교재 시리즈를 태평양 건너로 몇 kg씩 배송받아 보고 있음. 수업 구성과 첫 원리부터 복잡한 아이디어를 쌓아 올리는 방식이 뛰어나지만, 연습문제가 어려워 겸손해지게 만듦. 비싸지만 개인적으로는 값어치가 있음
  Math Academy도 흥미로워 보이지만 이미 시리즈 중간까지 와서 당장은 참고서가 손에 있는 쪽이 좋음. 잊어버린 주제를 다시 훑으려고 여러 번 앞부분으로 돌아간 적이 있음
  문제 풀이는 가능한 한 종이와 펜이라는 저기술 방식으로 하고, 새 접근을 자유롭게 시도할 수 있다는 점이 좋음. 생각에서 종이에 잉크가 닿기까지의 지연시간을 이기는 건 없음
  추가로 ChatGPT-4를 튜터로 쓰고 있음. 다른 사람들이 겪었다는 것과 달리 이 수준의 수학에서는 대체로 추론을 잘한다고 느꼈고, 막힐 때 여러 번 도움을 받았음. 틀린 답을 그럴듯하게 꾸며낼 때도 있지만, 이해가 안 되면 항상 따져 묻고 결국 환각인지, 문제를 다시 말하면 고쳐지는지, 아니면 처음부터 내가 입력을 잘못 준 건지 확인하게 됨

  • 비슷한 분야라면 다음을 순서대로 추천할 수 있음: https://d3dcoder.net/ — DX12 책이 최신판이고, 앞부분 여러 장에서 3D 변환을 다룸
    https://foundationsofgameenginedev.com/ — 첫 권 Mathematics가 더 넓은 범위를 다루고, 지나치게 형식적이지 않으면서 첫 원리부터 유도함
    https://www.mathfor3dgameprogramming.com/ — 대부분의 게임/그래픽스 수학 책보다 훨씬 형식적이고, 특히 선형대수를 더 깊게 들어감
  • 배우는 내용을 실제로 만드는 3D 게임 관련 작업에 쓰고 있는지 궁금함. 꽤 넓은 기초부터 잡는 출발점인데, 실제로 어떻게 작동하고 있는지 알고 싶음
  • 막혔을 때 ChatGPT를 쓰는 가치에는 전적으로 동의함. The Art of Problem Solving의 범위는 어디까지인지, 시리즈가 얼마나 멀리 가는지도 궁금함
  • 같은 이유로 시작했는데, 몇 년 수학을 하다 보니 3D 게임과 프로그래밍보다 수학 자체를 더 좋아하게 되어 버렸음

• 잠깐 이론물리 쪽에서 일했던 수학자로서, 이 분야에 관심 있는 사람들이 있다는 게 반가움
  수학은 평판이 나쁠 때가 많지만, 본질적으로는 음악과 맞먹을 정도로 가장 흥미로운 학습 대상이라고 봄
  수학에 관심 있다면 수준과 관계없이 Roger Penrose의 The Road to Reality를 추천함. 엄밀히는 물리학 책이고 Penrose도 원래 수학자였지만, 설명 방식이 숙련자에게도 시야를 열어 줌. 기본 미적분에서 시작해 군, 위상수학, 복소해석, 미분기하 등까지 다룸
  함께 John Baez의 수학·물리 학습 안내도 보면 좋음: https://math.ucr.edu/home/baez/books.html
  Baez의 페이지와 작업 전반도 좋아하고, 흥미로운 수학을 많이 함: https://math.ucr.edu/home/baez/
  Tai-Danae Bradley의 작업도 매우 좋아함: https://www.math3ma.com/

• 이 글은 정말 시의적절함. 16년 전, 돌아가시던 어머니를 돌보기 위해 학교를 중퇴했고 다시 돌아가지 못한 채 일만 시작했음
  이제 학교로 돌아가 마침내 컴퓨터과학 학위를 끝낼 예정이지만, 앞으로 긴 4년이 남아 있음. 수학은 어려울 것 같음
  그래도 답을 맞혔을 때, 특히 어떻게 그 답에 도달했는지 알게 될 때의 짜릿함이 큰 힘이 됨. 거의 섹스보다 좋음

  • 비슷한 처지라서 고무됨. 실무적으로는 직장에서 꽤 괜찮게 하고 있지만, 특정한 수학적 기초가 부족하다고 자주 느낌
    나이가 어떻게 되는지, 전일제 과정에 등록했는지, 훨씬 어린 학생들과 함께 다니는지, 그리고 그 과정이 어땠는지 궁금함

• 원글 작성자가 아직 트랜스포머의 수학적 기초를 배우고 싶다면, 무료 대안 학습 도구를 만들었음: https://afaik.io/nebula?mode=nebula&category=blueprint&id=ed...
  이것도 수학, 기계학습, 물리 같은 여러 주제의 개념을 연결하는 기반 지식 그래프에 바탕을 둠. 트랜스포머용 그래프는 여기서 볼 수 있음: https://afaik.io/nebula?category=brickset&id=VLlOnZLl&mode=d... 데스크톱에서만 가능함
  핵심은 수학을 처음부터 다시 배우지 않아도 되고, 특정 개념을 이해하는 데 필요한 선수 개념만 배우게 해 준다는 것임. 무료 자료도 붙어 있음
  수학을 다시 배우고 싶은 마음은 충분히 이해함. 이 도구를 만드는 이유 중 하나도 수학과 컴퓨터과학 배경을 바탕으로 물리를 다시 배우고, 거기까지 어떻게 도달할지 알기 위해서임. 다만 이 상황에서는 깊이 배우면서도 재미를 유지하는 더 효율적인 방법이 있을 수 있다고 느낌

  • 기반 지식 그래프라는 개념이 흥미로운데, 정확히 무엇을 뜻하는지 궁금함
    아마 주제들을 선수 요건으로 연결한다는 뜻으로 보임. A를 이해하려면 B와 C를 먼저 알아야 하고, B를 이해하려면 D를 알아야 하는 식임
    그런데 그런 그래프는 단순한 방향 그래프가 아니라 사실상 트리여야 하지 않나 싶음. 순환이 있으면 안 되기 때문임. A를 이해하려면 B가 필요하고, B를 이해하려면 A가 필요하다면 둘 다 절대 이해할 수 없지 않나?

• 수학 채널 몇 개를 추천함
  https://www.youtube.com/@SawFinMath — 훌륭한 교수이고, 문제와 풀이를 한 단계씩 따라갈 수 있게 설명함. 이산수학, 미적분, 추상대수나 선형대수, 통계 같은 학부 과정 재생목록이 많음. 속도 조절이 좋고 문제를 많이 실시간으로 풀어 줘서 강력 추천함
  https://mathispower4u.com/ — 무료 공개 수학 교재를 바탕으로 강의를 만드는 또 다른 교수임. 더 촘촘한 순수수학 자료라 조금 더 어렵지만, 그만큼 보통 대학에서 다루는 내용을 거의 다 훑게 됨. 이산수학, 미적분, 그래프 이론, 삼각법, 통계, 대수, 기하 같은 과목이 있고 문제도 많이 실시간으로 풀어 줌
  직접 많이 써 보지는 않았지만 https://www.myopenmath.com/index.php도 있음. 교재를 따라가며 문제를 푸는 식이라 exercism과 비슷해 보임. 써 본 사람이 있다면 어떤지 궁금함

• 컴퓨터과학을 하러 학교에 돌아갔을 때 이 책으로 수학을 다시 배웠음: https://a.co/d/7hlRdnK
  정말 강력히 추천함. 대수에서 시작해 미적분까지 진행하고, 각 단원 앞에 사전 테스트가 있어서 어디에 집중하고 어디를 건너뛸지 알 수 있음

  • 추천 링크가 아닌 일반 링크는 이쪽임: https://www.amazon.com/dp/0521017076
    Maths: A Student's Survival Guide: A Self-Help Workbook for Science and Engineering Students 2nd Edition by Jenny Olive
    ISBN-10: 0521017076
    ISBN-13: 978-0521017077

• 여기서는 독학 자료로 Khan Academy와 AOPS 시리즈가 나오는데, 성인이 되어 수학을 다시 배울 때 둘 다 써 봤음. 그 외에 정말 훌륭한 자료로 Henry Sinclair Hall의 책들이 있음
  앞서 언급한 자료들보다 훨씬 좋고, 19세기에 출판되어 지금은 퍼블릭 도메인이라 Internet Archive에서 무료로 내려받을 수 있음: https://archive.org/search?query=creator%3A%22Hall%2C+H.+S.+...
  그리고 Velleman의 How to Prove It도 반드시 읽어야 함

• 그러니까 결국 Math Academy 광고 아닌가? Khan Academy 같은 무료 자료는 어떤가?

  • 사실상 그런 글임. 이 글에서 배울 수 있는 건 “베타 신청 버튼을 누르라”는 것 말고는 없음
    이 과정을 써 본 사람이 있는지, 괜찮은지 궁금함

• 이 프로그램에 대해 몇 가지 질문이 있음. 창업자들이 HN 트래픽 폭탄을 알아차리면 이 스레드를 볼 거라고 가정함

  1. 여기서 AI는 정확히 어떻게 쓰이나? 도움을 요청할 수 있는 AI 챗봇이 있는지, 문제 세트를 AI로 생성하는지, 답안을 AI로 확인하는지, GPT-4인지 궁금함
  2. 간격 반복을 어떤 방식으로든 활용하는지, 유용하다고 판단했는지도 궁금함
  • Math Academy에서 분석 및 알고리즘 책임자를 맡고 있고, 정량 소프트웨어 전부를 개발했음. 질문에 답하자면, 여기서 AI는 학생이 어느 시점에 어떤 과제를 해야 하는지, 즉 다음에 무엇을 배우고 무엇을 복습해야 하는지를 정하는 전문가 시스템에 가까움
    수천 개 수학 주제 사이의 구조적 관계를 인코딩한 지식 그래프가 있고, 선수 관계뿐 아니라 다른 관계도 포함됨. 알고리즘 추론 시스템이 학생의 답안을 보고 이를 지식 그래프 위에 겹쳐서 학생이 무엇을 얼마나 아는지 판단한 뒤, 개인 지식 프로필 기준으로 학습 효과를 가장 크게 만들 과제를 결정함. 의사결정은 완전학습, 간격 반복, 교차 학습, 연상 간섭 최소화 같은 인지 학습 전략에서 영감을 받았음
    간격 반복은 시스템의 핵심임. 각 학생은 주제별 수행에 적응하는 개인화된 간격 반복 일정을 가지고 있고, 다음에 복습하거나 배울 주제를 고를 때 항상 가능한 한 많은 예정 복습을 암묵적으로 처리해 학습 효율을 높이려 함. 예를 들어 학생이 일차방정식 ax=b를 복습할 차례라면, 대신 이차 단계 방정식 ax+b=c를 배우게 해서 그 복습을 암묵적으로 처리할 수 있음
    정량적으로는 간격 반복 모델이 만들기 가장 어렵고도 재미있는 부분 중 하나였음. 보통 간격 반복은 독립적인 플래시카드 맥락에서 생각하지만, 수학처럼 계층적 지식 체계에서는 고급 주제 반복이 암묵적으로 연습된 더 쉬운 주제들의 반복 일정에도 아래로 흘러가며 반영되어야 해서 복잡해짐. 다만 너무 이른 반복은 다음 반복으로 온전히 인정하지 않도록 적절히 할인해야 함
    이 모델은 암묵적인 아래 방향 반복을 반영할 뿐 아니라, 도미노처럼 다른 예정 복습까지 처리하는 복습을 골라 복습 수를 최소화하고, 학생별·주제별로 간격 반복 속도를 보정함. 학생 능력과 주제 난이도가 서로 경쟁하는 요소로 작용함

• 미국에서는 증명하는 법이 대학 수준으로 보임. 다른 나라들은 왜 7학년부터 아이들에게 증명을 가르치는지 궁금함
  유클리드 기하의 엄밀한 증명에서 시작해 입체기하, 초등함수의 증명, 집합, 수론 등을 거쳐 다항식, 간단한 이산수학, 해석기하로 넘어감. 고등학교를 졸업할 때쯤이면 수학적 귀납법이나 귀류법 같은 것이 제2의 천성처럼 됨. 엘리트 학생 얘기가 아니라, 모든 STEM 학생을 위한 교육과정 요구사항을 말하는 것임

  • 미국의 준시골 중학교에서도 7학년 때 기하의 일부로 증명을 했음
  • 어느 다른 나라를 말하는 건지 모르겠지만, 독일은 확실히 그렇지 않음. 기하에서 증명을 조금 보고, 나중에 비공식적인 유도 몇 가지를 볼 수는 있지만 귀납법은 대학 수준임
    학교에서 수학에 더 집중하는 일부 학생은 이런 내용을 더 일찍 볼 수 있겠지만, 보편적인 경험은 절대 아님