소수의 숨겨진 구조를 밝히는 돌파구

 (science.org)
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  • James Maynard와 Larry Guth의 5월 31일 프리프린트가 리만 가설의 특정 예외를 배제하며, 소수 분포의 숨은 구조를 찾는 165년 난제에 수십 년 만의 진전을 냄
  • 핵심 대상은 리만 제타 함수의 비자명한 영점으로, Gauss의 소수 개수 추정과 실제 소수 분포 사이의 오차를 이해하는 데 직접 연결됨
  • 컴퓨터는 10조 개가 넘는 영점이 모두 실수부 1/2에 있음을 확인했지만, 수학자들이 원하는 것은 경험적 검증이 아니라 다른 위치가 불가능하다는 증명임
  • 이번 성과는 1940년 Albert Ingham 이후 개선되지 않았던 3/4 지점의 영점 개수 상한을 낮췄고, 해석적 정수론과 조화해석을 결합해 오래된 장벽을 깸
  • 리만 가설의 완전한 증명은 여전히 멀지만, 더 짧은 구간에서 소수 개수를 추정하고 정수론의 다른 문제를 다루는 새 도구로 이어질 수 있음

소수 분포를 해독하는 리만 가설

  • 모든 자연수는 자신과 1로만 나뉘는 소수들의 곱으로 분해될 수 있으며, 수학자들은 이 소수들이 수직선 위에 어떻게 놓이는지 이해하려 해왔음
  • 소수는 처음 보기에는 꽤 무작위처럼 보이지만, 그 안에는 숨은 구조가 있다고 여겨짐
  • 지난 165년 동안 그 구조를 찾는 중심에는 리만 가설이 있었음
    • 증명되면 소수를 해독하는 Rosetta Stone 같은 역할을 할 수 있음
    • Clay Mathematics Institute의 100만 달러 상금이 걸려 있음

Gauss의 추정과 제타 영점

  • Carl Friedrich Gauss는 1700년대 말 16세 때 소수가 커질수록 드물어진다는 점을 보고, X 이하의 소수 개수가 대략 X / ln X로 스케일된다고 추정함
  • 이 추정은 실제 소수 개수가 곡선의 위아래로 조금씩 흔들리는 방식으로 매우 잘 맞아왔음
  • Bernhard Riemann은 1859년 리만 제타 함수로 Gauss의 곡선과 실제 소수 분포 사이의 차이를 다루려 했음
    • 이 함수는 실수와 허수 성분을 함께 가진 복소수를 입력으로 받음
    • 리만 제타 함수가 0이 되는 제타 영점은 Gauss 곡선 주변의 오차 변동을 직접 기술함

리만 가설이 요구하는 제약

  • 리만 가설은 음수 입력에서 나오는 일부 자명한 해를 제외하면, 모든 제타 영점의 입력에서 실수부가 1/2이어야 한다고 예측함
  • 이 가설이 참이면 소수 개수의 변동은 제한되고, 수직선 위 소수 분포에 큰 덩어리나 큰 빈틈이 없다는 뜻이 됨
  • 현재까지 컴퓨터는 10조 개가 넘는 비자명한 제타 영점을 검사했고, 모두 정확히 실수부 1/2에 놓였음
  • 하지만 경험적 검증만으로는 충분하지 않음
    • Maynard는 증명이 단순히 참임을 확인하는 데 그치지 않고, 왜 참인지 이해하게 해 소수를 다루는 강력한 새 기법을 준다고 봄
    • 리만 가설을 증명할 그럴듯한 공격 경로조차 아직 없음

이번 결과가 겨냥한 좁은 틈

  • 수학자들은 리만 가설 전체를 직접 증명하지 못해, 제타 영점이 있을 수 없는 영역을 좁히는 방식으로 문제를 나누어 다뤄왔음
  • 비자명한 제타 영점은 이미 0과 1 사이에 갇혀 있음
  • 또한 1/2을 중심으로 한 거울 대칭이 있어, 3/4 지점의 영점을 배제하면 1/4 지점의 영점도 배제됨
  • 기존 기법은 1/2에서 3/4 사이, 또는 3/4에서 1 사이에서는 더 잘 작동했지만, 많은 영점이 3/4에 숨어 있을 가능성은 남아 있었음
  • 3/4에 놓일 수 있는 영점 개수의 최선 상한은 1940년 영국 수학자 Albert Ingham의 결과였고, 이후 아무도 이를 개선하지 못했음

Maynard와 Guth의 접근

  • Maynard는 해석적 정수론을 전문으로 하며 2022년 Fields Medal을 받은 수학자이고, 지난 10년 동안 금요일 오후마다 이 문제를 반복해서 고민했지만 성과를 얻지 못했음
  • 2020년 American Mathematical Society 회의에서 Maynard는 조화해석을 전문으로 하는 MIT의 Larry Guth에게 도움을 요청함
    • 조화해석은 물리학의 아이디어를 빌려 소리를 구성 음으로 분리하는 방식과 관련된 기법임
    • Guth도 몇 년 동안 문제를 붙잡았고, 포기하기 직전에 Maynard와 함께 돌파구를 찾음
  • 두 사람은 각자의 수학적 언어에서 전략을 빌리고 밤늦게 이메일로 아이디어를 주고받으며, 비정통적인 방식으로 Ingham의 상한을 깼음

정수론 전반으로 이어질 가능성

  • Maksym Radziwill은 이번 작업을 제타 영점 탐색에서 50년 만의 첫 새 아이디어로 평가하며, 오랫동안 방치된 영역이 다시 움직일 수 있다고 봄
  • 개선된 상한은 리만 가설 전체 증명에는 거의 도움을 주지 않지만, 정수론 전반에 영향을 줄 수 있음
    • 수학자들은 더 짧은 구간에서 소수 개수를 더 잘 추정할 수 있음
    • Radziwill은 새 전략이 자신의 동역학계 관련 이전 작업을 단순화하는 데 도움이 될 수 있다고 봄
    • Kakeya 문제에도 도움이 될 수 있음
    • Guth는 파동의 물리학과 수 집합의 분포 사이의 깊은 관계를 탐구하는 데 이 아이디어를 쓰는 데 관심이 있음

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GN⁺   [-]
Hacker News 의견들

  • 5월에 나온 내용이고, 이미 Quanta에 더 나은 기사가 올라와 여기서도 논의됐음
    https://www.quantamagazine.org/sensational-proof-delivers-ne...

  • 이 발견이 소수에 관한 더 큰 돌파구로 이어져, 큰 정수의 소인수분해가 쉬워지고 RSA 같은 공개키 암호가 하룻밤 사이 무력화된다고 상상해 봄
    소비자용 CPU로도 실서비스 크기의 키를 누구나 깰 수 있게 된다면 업계에 이런 상황을 위한 재해복구 계획이 있을까? 대형 업체들이 깨지지 않은 다른 암호 체계로 빠르게 전환할 수 있을까? 탈옥 개발자나 콘솔 모더, “기기 자유” 쪽에는 천국 같은 날이겠지만 전체 영향은 재앙적이고 가늠하기 어려울 듯함
    업계는 갑작스러운 수론 돌파를 가능한 사건으로 보지 않는 건가 싶음

    • RSA에서는 그런 일이 여러 번 있었음
      미국 정부가 긴 RSA 키의 수출을 제한하던 시절이 있었고, 한때 세계 상당수가 128비트 RSA 키를 쓰다가 Dixon 방법 때문에 512비트 키로 급히 옮겨 갔음. 이후 특수 수체 체(special number field sieve) 때문에 1024비트로, 일반 수체 체(general number field sieve) 때문에 다시 2048비트로 급히 올라갔고, 상대적으로 그리 오래전 일도 아님
      80년대 RSA 암호화 하드웨어를 보면 512비트를 처리한다고 자랑스러워하는 장비들이 있음. 지금은 쓸모없음
      https://people.csail.mit.edu/rivest/pubs/pubs/Riv84.pdf
      특수/일반 수체 체의 복잡도 식은 상수 몇 개 차이인데, 그 상수들을 보면 근본적 한계처럼 보이는지 의문임. 그 상수를 더 줄여 2048비트 키마저 쓸모없게 만드는 방법이 없다고 보기 정말 어렵지 않나 싶음
      “RSA가 깨지면 무슨 일이 생기나”를 물을 필요는 없음. 이런 일을 여러 번 겪어 본 입장에서는 다시 키 크기를 올리느라 허둥대고, 유출 가능성이 있는 데이터를 전부 감사하게 될 거라고 바로 말할 수 있음
    • 소비자용 하드웨어에서 큰 정수를 쉽게 소인수분해하는 방법이 발견된다면, RSA가 주요 공개키 알고리즘 중 하나라 매우 고통스러울 것임
      다만 걱정하기 전에 RSA가 지금까지 47년간의 적극적 암호분석을 버텼다는 점을 생각해야 함. 그동안 더 우수하다고 제안된 대안 알고리즘들이 많았지만, 얼마 지나지 않아 깨진 경우도 많았음
      타원곡선 알고리즘으로 전환하려는 흐름도 주로 컴퓨터가 암호화/복호화를 더 쉽게 처리할 수 있기 때문임
      개인적으로 10년 뒤에도 남아 있을 공개키 알고리즘에 돈을 걸라면 RSA에 걸겠음
    • 이 지점에서 타원곡선으로의 이동이 나오는 것 같고, 서명과 핸드셰이크(Diffie-Hellman) 모두 이미 꽤 진행된 듯함
      재해복구가 1분짜리 작업은 아니겠지만, RSA/DH가 하룻밤 사이 안전하지 않게 된다고 해서 모든 것이 그대로 열려 있을 것 같지는 않음. 내 SSH 키들도 지금은 여러 방식이 섞여 있음
    • 업계는 나쁜 CrowdStrike 업데이트 하나도 대비하지 못했지만, 그래도 며칠쯤 지나자 수습해 냈음
      재앙적 시나리오를 준비하는 능력은 과대평가되고, 살아남는 능력은 과소평가되는 듯함
    • 빠른 소인수분해 발견은 극히 희귀하다고 보는 관점이 있음. 수많은 똑똑한 사람들이 들여다봤으니 지금으로서는 아마 불가능하다는 식인데, 그 이야기 자체가 약점일 수도 있음
      이 위험은 대규모 태양폭풍으로 전력망이 무너지고, 변압기 제조 지연과 비축 부족 때문에 석기시대 같은 다년간의 복구 기간을 겪는 위험만큼 현실적이지만, 그 관점에서는 너무 작고 이론적이라 많은 시간을 쓰기 어려워 보임
      계획에 관해서는, 단순히 ECC로 바꾸는 게 그렇게 쉬운지 모르겠음. ECC의 실제 비대칭 암호화는 공유 비밀에 의존하는데, RSA가 깨져 교환 채널이 안전하지 않다고 가정하면 RSA보다 중간자 공격에 더 취약해질 수 있음. 쉬운 교체는 아닌 듯함
      별개로 RSA는 이미 깨졌고, 그 해법이 암호해독 기관들에 의해 비밀로 유지되고 있을 가능성도 있음. 그들에게는 돌파구를 숨기는 게 매우 매력적일 테고, “갑작스러운 수론 돌파”를 억누르는 방법을 찾으려 할 수도 있음

  • 사람들은 늘 소수의 구조가 복잡하다고 생각하지만, 실제로는 이전 간격들의 배수가 도달하지 못한 간격 크기의 재귀적 구조일 뿐이라고 봄
    이전 간격을 모두 추적하지 않고 “예측”하기 쉬워지는 건 아니지만, 본질적으로 복잡한 구조는 아님. 이렇게 단순한 구조가 그렇게 포착하기 어렵다는 게 재미있음. 3n+1 수열이 복잡성을 낳거나, 로지스틱 사상이 임계값을 넘으면 복잡해지는 것과 비슷함

    • “모든 소수”를 생성하는 생성기는 꽤 단순하고 결정적임
      하지만 소수 n만 주어진 상태에서 다음 소수를 얻으려면 비자명한 나머지들을 다시 계산해야 하므로, 숫자 n의 이진 표현만으로는 다음 소수가 무엇인지 빠르게 답할 정보가 충분하지 않음. 먼저 몇몇 기준점을 미리 계산해야 함. 결국 복잡도가 더 있긴 하지만 여전히 단순하고 자명한 편이며, NP에조차 들어갈 문제는 아님
    • 아, 맞다. 수학에서 가장 엄밀하고 지적으로 위압적인 분야 중 하나인 수론의 기초 이론을 제공하는 것만큼 단순한 게 없지 /s
    • 왜 이게 해결된 문제로 간주되지 않는지 궁금함
      https://en.wikipedia.org/wiki/Information_theory
      https://en.wikipedia.org/wiki/Computational_irreducibility
      https://en.wikipedia.org/wiki/Aperiodic_tiling

  • “전용 금요일 오후 사고 세션에서 그는 지난 10년 동안 이 문제로 계속 돌아왔지만 성과는 없었다”는 대목이 고무적임

    • Richard Hamming도 금요일 오후를 깊고 큰 생각을 하는 시간으로 비워 두곤 했던 것으로 기억함. 멋진 방식임

  • Gauss 곡선과 Riemann 곡선을 특정 공간에 그리면 뭔가 더 마법 같은 것이 보임
    자명한 영점과 비자명한 영점에 관해 무슨 말인지 보려면 이 위키피디아 애니메이션을 보면 됨: [https://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann3d_Re_0.1_to_0.9_I...](https://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann3d_Re_0.1_to_0.9_Im_1_to_51.ogg)
    기본적으로 실수와 허수 사이에 아직 발견하지 못한 또 다른 관계가 있음을 암시한다고 봄
    그리고 Riemann 수학이 양자역학에 관여하므로, 이는 중력 이론을 찾는 데도 함의가 있음
    소수가 중력 이론에 관여하거나 관여할 수 있다는 점이 이상한 과학처럼 느껴짐

  • “그들은 마침내 Ingham의 경계를 깨기 위해 몇 가지 비정통적 수를 뒀다”는 표현이 궁금함
    다른 분야의 방법을 가져오는 게 왜 비정통적인가? 공학 배경에서는 오히려 흔한 일임. 조화해석은 오디오, 파동, 전기 분석, 통계 등 여러 분야의 기본 도구이고, 그 알고리즘들도 내부적으로는 순수수학임
    어떤 기저 시스템에서 반복 구조를 찾고 싶다면 여러 가지 그리기 기법을 시도해 보고, 문제에 가장 맞는 것을 고르는 게 정상 아닌가 싶음

    • 인용문은 그 접근에서 비정통적인 부분이 단지 조화해석의 아이디어를 썼다는 뜻으로 읽히지 않음. 수론에서 조화해석을 쓰는 것은 전혀 새로운 일이 아님
      해석적 수론의 첫 강의에서 핵심 아이디어, 그리고 Riemann의 유명한 1859년 논문의 핵심 아이디어는 “조화해석”이라고 할 수 있음. Riemann이 이 분야의 선구자였으니 우연도 아님: https://old.reddit.com/r/math/comments/16bh3mi/what_is_the_b...
      지금 수론에서 가장 뜨거운 큰 흐름도 본질적으로 수체 위의 “고차원” 조화해석임: https://en.wikipedia.org/wiki/Automorphic_form, https://en.wikipedia.org/wiki/Langlands_program. Langlands 프로그램이 일반화하려는 1차원 사례는 https://en.wikipedia.org/wiki/Tate%27s_thesis로, “수체 위의 푸리에 해석”이라고도 불리며 20세기 수론의 가장 중요한 아이디어 중 하나임
      Guth-Maynard 논문 인용문헌 중에는 1994년 책 H. Montgomery, Ten Lectures On The Interface Between Analytic Number Theory And Harmonic Analysis, No. 84. American Mathematical Soc., 1994도 있음. 1994년에 이미 열 강의 분량의 접점이 있었고, 그 책의 인용 수를 보면 훨씬 더 많은 접점이 있었음. 나도 내 논문의 절반 이상에서 이 책을 인용했음
      놀라운 건 조화해석을 썼다는 사실 자체가 아니라, 어디에 어떻게 적용했는가임. 이건 대중 독자에게 전달하기 진짜 불가능한 부분이라 기사 작성자를 탓하고 싶지는 않음
      “연결을 만드는 게 왜 놀랍냐”는 말처럼 들리는데, 돌파구는 종종 새로운 연결에서 나오고 그런 돌파구가 가끔 생긴다고 해서 새로운 연결이 놀랍지 않은 건 아님
    • “비정통적”은 조금 센 표현일 수 있지만, 말하려는 건 다른 분야의 기존 기법을 새로운 방식으로 적용했다는 뜻일 것임
      수학에서는 겉보기에 무관해 보이는 두 영역 사이의 평행성을 누군가 알아보고, 한 영역의 아이디어를 다른 영역의 통찰로 쓰는 식의 큰 돌파구가 꽤 자주 나옴
      어려운 부분은 이런 영역 간 연결이 보통 분명하지 않다는 데 있음. 유사성을 보려면 상당한 이해의 도약이 필요할 수 있음
    • 좀 우스운 표현임. 기자가 기자답게 쓴 것일 뿐임
      수학의 모든 발견에는 어느 정도 “비정통적” 수가 들어간다고도 말할 수 있음. 정통이란 결국 지금까지 알려진 전부니까

  • “처음 보면 꽤 무작위처럼 보입니다. 하지만 실제로는 소수 안에 이런 숨은 구조가 있다고 여겨집니다”라는 말에서, 가상의 소수 패턴은 어떤 모습일지 궁금함
    어떤 닫힌형 공식 같은 것이 기대되는 건가? Riemann 가설이 증명된다면 분포를 이해하기 위한 다음 단계는 무엇일까? 아니면 그 증명 자체가 이 답을 담고 있을 것으로 기대되는 걸까?

  • James Maynard 이야기를 들을 때마다, 그는 한 세대에 한 번 나올 천재라는 생각이 더 굳어짐
    이미 소수 이론에 너무 많은 기여를 했고, 내 생전에 Riemann 가설의 증명이 나올 수도 있겠다는 느낌이 듦

  • 처음 보는 그림인데 몰입감이 있어서 궁금함. 소수를 극좌표 그래프로 그렸을 때 나타나는 패턴은 최근 발견인가, 아니면 오래전부터 알려져 있고 단지 삽화로 쓰인 건가? 이름과 역사가 궁금함

  • 약간 옆길이지만, 이 문장은 자동 증명기가 다루는 측면 중 우리가 아직 생각하기 시작했는지도 모르는 부분을 떠올리게 함
    “Rutgers University의 수학자 Alex Kontorovich는 ‘그건 센세이셔널한 돌파구입니다. 이 증명에는 앞으로 몇 년 동안 사람들이 캐낼 새로운 아이디어가 잔뜩 들어 있습니다’라고 말한다”
    어떤 것의 증명은 엄밀성을 부여하는 수단이라기보다, 그 대상을 바라보는 새로운 관점으로서 더 흥미로운 경우가 많음. 자동화된 수학에서 그런 쪽 작업이 있었는지 궁금함

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