리만 가설에 대한 주목할 만한 발전

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1P by GN⁺ | ★ favorite | 댓글 1개
  • Guth와 Maynard가 리만 제타 함수 영점에 관한 Ingham의 1940년 경계를 처음으로 실질 개선했지만, 리만 가설 자체의 해결과는 아직 거리가 있음
  • 핵심 대상은 실수부가 σ 이상이고 허수부 크기가 T 이하인 영점 수 N(σ,T) 이며, σ=3/4에서의 기존 경계가 80년 넘게 큰 진전 없이 남아 있었음
  • 새 결과는 σ=3/4에서 경계를 3/5=0.6에서 13/25=0.52 로 낮추고, N(σ,T) ≤ T^{30(1-σ)/13+o(1)} 형태의 영점 밀도 추정을 제공함
  • 이 개선으로 거의 모든 짧은 구간 (x, x+x^θ)에서 소수 정리를 증명할 수 있는 범위가 θ > 1/6 에서 θ > 2/15 로 넓어짐
  • 이번 결과는 “많은 중간 수준의 리만 가설 위반” 가능성을 더 강하게 제한하지만, 단일한 큰 위반을 배제하는 영점 없는 영역(zero-free region) 진전은 아님

Guth–Maynard가 개선한 영점 밀도 경계

  • Guth와 Maynard의 논문 New large value estimates for Dirichlet polynomials는 Dirichlet 다항식이 큰 값을 갖는 빈도에 대한 새 경계를 증명함
  • 특히 길이 N인 Dirichlet 다항식이 N^{3/4}에 가까운 크기를 갖는 임계 상황을 다루며, 이는 소수와 리만 제타 함수에 연결된 여러 해석적 정수론 추정의 병목이었음
  • N(σ,T)는 리만 제타 함수 영점 중 실수부가 σ 이상이고 허수부 절댓값이 T 이하인 영점 수를 뜻함
    • 리만 가설은 모든 σ > 1/2에 대해 N(σ,T)가 0이 된다는 형태로 볼 수 있음
    • 현재는 이를 무조건 증명할 수 없기 때문에, 대신 N(σ,T)의 비자명한 상계인 영점 밀도 추정을 증명함

80년 넘게 막혀 있던 Ingham 경계

  • σ=3/4는 이번 문제에서 핵심 값으로 작동함
  • Ingham은 1940년에 N(3/4,T) ≪ T^{3/5+o(1)} 경계를 얻음
  • 이후 80년 동안 이 경계는 실질적으로 개선되지 않았고, 주로 o(1) 오차항의 작은 정제만 이어짐
  • 이 한계는 해석적 정수론의 여러 문제를 제한해 왔음
    • 거의 모든 짧은 구간 (x, x+x^θ)에서 좋은 소수 정리를 얻기 위해 오랫동안 θ > 1/6 범위에 머물러야 했음
    • 주요 장애물은 Ingham 경계 개선의 부재였음

새 수치가 소수 짧은 구간 결과로 이어짐

  • Guth–Maynard는 Ingham 경계를 3/5=0.6에서 13/25=0.52 로 개선함
  • 논문은 N(σ,T) ≤ T^{30(1-σ)/13+o(1)} 형태의 영점 밀도 추정을 포함함
  • 소수의 짧은 구간에 대해서는 길이 x^{17/30+o(1)} 구간에서의 점근식을 도출함
  • 거의 모든 짧은 구간 (x, x+x^θ)에 대한 소수 정리의 범위도 함께 개선됨
    • 기존: θ > 1/6 = 0.166...
    • 개선: θ > 2/15 = 0.133...
  • 리만 가설이 참이면 이 범위는 전체 θ > 0까지 가능함

증명에서 사용된 예상 밖의 조작들

  • 논증은 대체로 푸리에 해석 성격을 가짐
  • 초기 단계 일부는 표준적이어서, Ingham 경계를 깨려 했던 해석적 정수론자들에게 익숙한 형태임
  • 이후에는 여러 비직관적인 선택이 핵심 역할을 함
    • 위상 행렬 n^{it}=e^{it log n}을 6제곱해 제어함
    • 특정 복잡한 푸리에 적분을 stationary phase로 단순화하지 않고, 지수에서 손해를 감수하면서도 나중에 유용해지는 인수분해 형태를 유지함
    • Dirichlet 급수가 큰 값을 갖는 위치들의 additive energy가 작은지, 중간인지, 큰지에 따라 경우를 나누고 서로 다른 논증을 적용함
  • Dirichlet 급수에 내재한 위상 함수 t log n의 정확한 형태가 매우 중요해짐
  • 이는 조화해석의 일반적인 지수합이 아니라, 해석적 정수론에서 나오는 지수합의 특수성을 활용하는 방식임

영점 밀도와 영점 없는 영역은 다름

  • 이번 결과는 리만 가설의 “많은 어느 정도 나쁜 위반” 가능성을 줄이는 데 도움을 줌
    • 이런 개선은 짧은 구간의 소수를 이해하는 데 특히 유용함
  • 그러나 리만 가설의 “단일한 매우 나쁜 위반”을 새로 배제하지는 않음
    • 그런 배제는 영점 없는 영역이 담당함
    • 긴 구간의 소수를 이해할 때는 영점 없는 영역이 중심적 역할을 함
  • 알려진 최선의 점근적 영점 없는 영역은 여전히 Vinogradov–Korobov zero-free region임
    • 이 표기에서는 σ ≥ 1 - log^{-2/3-o(1)} T이면 N(σ,T)가 완전히 사라짐
    • 이 결과도 1958년 이후 거의 움직이지 않았음
  • q-aspect에서는 L-함수의 Siegel zero를 제거하는 일도 영점 없는 영역 측면의 큰 돌파구가 됨
  • 도식화 관점에서는 알려진 지수 θ(σ)가 낮을수록 더 좋은 경계임
    • Guth–Maynard의 새 곡선은 σ=3/4 근처에서 Ingham과 Huxley 경계 중 더 좋은 것보다 개선됨
    • 하지만 이 범위에서 아직 density conjecture에는 도달하지 못함
    • 리만 가설은 전체 도식을 x축으로 내리는 것에 해당함

함께 보면 좋은 글 β

GN⁺   [-]
Hacker News 의견들

  • JavaScript로 만든 제타 함수 시각화가 있고, 무한 확대가 가능하며 파라미터도 만져볼 수 있음: https://amirhirsch.com/zeta/index.html
    이 가설이 왜 참일 가능성이 높은지 직관적으로 이해하는 데 도움이 될 수 있음. 부분합을 렌더링하고 제타의 경로를 추적함
    렌더링에서는 자동 계산한 N-critical까지의 모든 부분합을 포함하는데, 이는 두 항의 위상 차이가 π보다 작아지는 지점, 즉 나이퀴스트 한계임. 이후 부분합의 거동은 단조적이 됨
    클러스터는 항들의 순간 주파수가 kπ와 (k+1)π 사이일 때 앞뒤로 움직이는 앨리어싱 모드처럼 보이고, 랜덤 워크 구간은 앨리어싱 모드당 점이 하나만 있는 영역임. 초록색 선은 부분합의 대칭성을 강조하며, 클러스터가 랜덤 워크 구간과 대칭을 유지함. 이 대칭은 이 논문에 잘 정리되어 있음: https://arxiv.org/pdf/1507.07631

    • 몇 년 전에 리만 가설에 대한 직관적인 신호 처리 해석을 떠올렸고, 간단히 요약해보면 제타 함수는 로그 시간 샘플러로 볼 수 있음
      zeta(s)는 정수 n>0에 대해 t=(ln n) 시점에서 샘플링하는 sum(delta(t-ln n))의 라플라스 변환이고, 샘플링 속도는 빠르게 증가함
      이를 블랙박스에서 나온 임펄스 응답으로 상상할 수 있으며, 실수부 파라미터에 따라 임펄스 응답은 유한 에너지일 수도 있고 전력 신호일 수도 있음. 에너지 sum(|1/s|^2)가 유한하다고, 즉 real(s) > 1/2라고 가정하면 리만 가설은 그 합이 0이 아니라고 말하는 셈임. 로그 샘플러가 전원도 연결하지 않은 채 정보를 파괴할 수는 없다는 말과 비슷함
    • 나도 만들었음. 내 것은 Unity로 만들었고, Y축 방향으로 올라가는 3D 나선을 보여줌
      3차원으로 보면 도움이 된다고 생각함: https://github.com/atonalfreerider/riemann-zeta-visualization
    • 와, 당신 것이 내 것보다 훨씬 멋짐: https://matt-diamond.com/zeta.html
      그래도 이렇게 많은 사람이 이걸 시도했다는 게 재미있음. 결과도 보기 좋고 재미있는 프로그래밍 연습 과제임
    • 그래프를 그릴 때 실제로 쓰는 공식이 무엇인지 궁금함
    • 이 주제를 쉽게 소화할 만한 좋은 자료가 있을까?

  • James Maynard는 Numberphile에 자주 나오니, 이 논문 저자 중 한 명에게서 접근하기 쉬운 수학 설명을 듣고 싶다면 확인해볼 만함: https://www.youtube.com/playlist?list=PLt5AfwLFPxWJdwkdjaK1ogByEGiVHdEnM

  • 대부분의 영상보다 깊이 들어가면서도 STEM 전공자라면 접근 가능한 리만 가설 입문 자료를 찾는다면 zetamath의 이 영상 시리즈가 정말 좋았음
    Tao 교수의 원문도 “위상의 핵심 행렬을 제어한다”는 부분 전까지는 전부 이해했으니, 영상들이 뭔가를 가르쳐준 게 분명함
    [1] https://www.youtube.com/watch?v=oVaSA_b938U&list=PLbaA3qJlbE93DiTYMzl0XKnLn5df_QWqY

  • Terence Tao가 본인도 비슷한 걸 시도했지만 실패했다고 말하면서 당신의 논증을 요약해주는 기분이 어떨지 상상하게 됨
    “논증은 대체로 푸리에 해석적 성격을 띤다. 처음 몇 단계는 표준적이며, 나를 포함해 Ingham 경계를 깨려 시도했던 많은 해석적 정수론자들이 알아볼 것이다. 하지만 그들은 여러 영리하고 예상 밖의 움직임을 해낸다”

    • 한 최고 수준 수학자가 시도했다가 실패한 기법을 다른 수학자가 성공적으로 쓰는 일은 완전히 흔함
    • 개인적으로 만난 적은 없지만, Tao의 글쓰기는 매우 겸손하고 친절함. 뭔가를 시도했다가 잘 안 된 일도 공개적으로 이야기함
      또한 도구와 그 한계에 대해서도 일반적으로 많이 씀. 그의 블로그를 읽어보는 걸 확실히 추천함
    • 논문 저자 중 두 명은 이미 해당 분야에서 꽤 확고한 위치에 있음
      [0]: https://en.wikipedia.org/wiki/Larry_Guth
      [1]: https://en.wikipedia.org/wiki/James_Maynard_(mathematician)
    • 진짜 능력주의처럼 느껴질 것 같음. 특히 엄격한 순위 매김이 표준이 아닌 곳에서는 Terence Tao도 자신을 무언가의 “정점”에 있다고 보지 않을 것임
      더구나 누군가의 행동이 평판과 반드시 상관될 거라고 기대하지 않는 탄탄한 기반과 이해를 뜻할 수도 있음. 결과를 내는 일이 인기 경쟁이 아니라 개인 또는 엄격한 팀의 노력일 때 특히 그렇다
      정치가 지배하고 능력주의는 기분 좋은 동기부여 문구에 그치며 인기가 실제 화폐가 되는 일반 비즈니스, 대기업, VC, 학계 환경에서 활동하는 사람들에게는 낯설 수 있음

  • 2018년에 제안된 증명과 관련해 잠재적 중요성을 설명한 이 글이 유용한 입문 자료였음
    [1] https://www.sciencenews.org/article/why-we-care-riemann-hypothesis-math-prime-numbers

    • 증명의 잠재적 중요성이 궁금함. 해당 기사는 다소 모호함:

      (소수는) 인터넷으로 전송되는 암호화 통신을 보호하는 데 중요하다. 그리고 중요하게도 수많은 수학 논문이 리만 가설을 참으로 가정한다. 이 기초 가정이 옳다고 증명되면 “참이라고 믿어지는 많은 결과가 참이라고 알려지게 된다”고 Atlanta의 Emory University 수학자 Ken Ono는 말한다. “일종의 수학적 신탁이다.”
      리만 가설 증명이 즉시 실용적 효과를 낼 명확하고 알려진 응용이 있을까? 만족감이나 “조금 더 나은 암호화”를 넘어서 말임

  • 재미있는 사실: 저자 중 한 명인 Larry Guth는 인플레이션 우주론으로 유명한 이론물리학자 Alan Guth의 아들임 (https://en.wikipedia.org/wiki/Larry_Guth)

  • 리만 가설을 배중률로 두고 의존하는 모든 정리에 대해 어떻게 생각하는지 궁금함
    구성주의자들은 “A 또는 B”의 증명에는 A의 증명이나 B의 증명을 실제로 갖고 있어야 한다고 보며 배중률을 거부함. 그런데 아직 아무도 RH의 증명도, ~RH의 증명도 갖고 있지 않음
    이는 일부 정리가 증명도 반증도 되지 않는 이른바 불완전한 논리 체계에서 중요하며, 그런 체계에서는 배중률이 허용 불가능한 공리임

    • 그건 좀 다른 문제 아닌가? 증명 가능성과 참은 구별된다는 게 핵심이라고 생각했음
    • 이런 논리를 들어본 적 있음:
      RH가 어느 쪽으로도 증명 불가능하다면, RH에 대한 반례는 확실히 존재할 수 없음. 반례가 있다면 그것을 찾아 RH가 거짓임을 증명할 수 있기 때문임
      따라서 RH가 증명 불가능하다면 참이어야 함. 다만 이건 RH가 작동하는 논리 체계 바깥의 논리를 쓰는 것 같음

  • 이 댓글란은 주제를 실제로 이해하지 못하면서 똑똑해 보이고 싶어 하다가 오히려 반대 결과를 내는 사람들로 이상하게 가득 차 있음
    불안을 내려놓으면 좋겠음. 어떤 것은 이해하지 못한다고 솔직히 말해도 괜찮음. 누구나 이해하는 것보다 이해하지 못하는 것이 더 많음

    • 플래그된 댓글 하나를 제외하면 댓글들이 꽤 깊이 있고 흥미롭다고 봄. 리만 제타 함수의 멋진 시각화 데모도 있음:
      https://news.ycombinator.com/item?id=40571995#40576767
      오히려 당신 댓글이 꽤 내려다보는 듯하고, 의미 있는 기여라기보다 투사처럼 느껴짐
    • 이 댓글란만 그런가?

  • 수학자가 아닌 사람에게 설명해줄 수 있을까?

    • 수학에서 가장 중요한 미해결 문제 중 하나가 리만 가설임. 특정 방정식 zeta(z)=0의 해들이 모두 어떤 특정한 형태를 가진다는 내용임
      거의 모든 현존 수학자가 인생의 어느 시점에는 이를 풀어보려 했을 정도임. 이 가설은 예컨대 소수의 분포 같은 정수론에 깊은 함의를 가짐
      최근 논문에서 몇몇 수학자들이 그 해들이 어디에 있을 수 있는지에 대해 더 강한 경계를 제시했다고 주장함. 링크된 글에서 현존 최고 수학자 중 한 명인 Terrence Tao가 그 논문을 매우 높이 평가함
      개인적으로는 아직 수학자가 아닌 사람에게 엄청난 관심사가 될 단계는 아니라고 봄. 극도로 기술적인 결과이고, 추가 검토 과정에서 틀렸거나 불완전한 것으로 드러날 수도 있음
      리만 가설과 그 함의, 그리고 이를 풀려는 시도에 대해 읽을 수 있는 자료는 많음
    • Indiana Jones and the Last Crusade를 떠올리면 됨. 아직 방 안에 들어간 건 아니지만, 사원 안의 함정 하나를 해제한 상태임
    • 배경지식으로는 이 영상이 리만 가설 개요를 잘 설명함: https://www.youtube.com/watch?v=d6c6uIyieoo
    • N보다 작은 소수의 개수가 N이 커질수록 대략 얼마나 되는지에 대한 근사식이 있음
      리만 가설이 참이면 이 근사의 오차가 잘 통제되어 작다는 것을 알게 되고, 그러면 다른 많은 근사 결과를 증명할 수 있음. “리만 가설이 참이라면…” 형태의 결과가 많이 있음
    • _Prime Obsession_은 수학 배경을 가정하지 않는, 리만 가설과 Riemann 본인에 대한 좋은 책 한 권 분량의 입문서임

  • 타이밍이 좋음. 지금 Matt Haig의 The Humans를 듣고 있는 중인데, 이야기가 누군가 리만 가설을 증명한 뒤부터 시작함

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