- 네 개의 2만으로 수를 만드는 퍼즐은 허용 연산을 어디까지 넓히느냐에 따라 사칙연산 퍼즐에서 고급 수학 놀이로 확장됨
- 분수와 사칙연산만으로 1부터 6까지 만들 수 있고, 지수·팩토리얼을 더하면 18, 28, 256, 65536 같은 큰 수도 구성 가능함
- 2를 이어 붙여 22나 222로 보거나 복소수와 절댓값을 쓰면, 단순 계산으로는 어려운 수까지 다양한 방식으로 표현할 수 있음
- 7은 만들기 어려운 수로 알려져 있지만, 감마 함수 같은 도구를 허용하면 네 개의 2로 바로 만들 수 있음
- Paul Dirac의 일반해는 중첩 제곱근과 밑이 2인 로그를 이용해 임의의 수를 표현하며,
2 = √(2+2)치환으로 정확히 네 개의 2를 맞춤
네 개의 2로 수를 만드는 기본 규칙
- 퍼즐의 조건은 숫자 2를 정확히 네 번 쓰고, 다른 숫자 없이 수학 연산만으로 목표 수를 만드는 것임
- 사칙연산과 분수만으로도 작은 수는 비교적 쉽게 만들 수 있음
1 = (2+2)/(2+2)2 = 2/2 + 2/23 = 2·2 - 2/24 = 2+2+2-25 = 2·2 + 2/26 = 2·2·2 - 2
- 지수와 팩토리얼을 허용하면 표현 가능한 범위가 크게 넓어짐
18 = 2^(2^2) + 228 = (2+2)! + 2 + 2256 = (2+2)^(2+2)65536 = 2^(2^(2^2))
- 숫자를 이어 붙이는 방식도 퍼즐에서 자주 쓰이는 트릭임
26 = 22 + 2 + 211 = 22 / √(2+2)444 = 222 · 2
- 특히 7은 만들기 까다로운 수지만, 감마 함수를 쓰면
7 = Γ(2) + 2 + 2 + 2로 표현 가능함 - Math StackExchange 스레드에는 적분, 순환소수, 조합 연산자 등을 활용한 예시가 있음
- 복소수와 절댓값을 쓰면
12 = |2 + 2√-2|²같은 표현도 가능함
Dirac의 일반해
- Paul Dirac은 모든 수에 적용할 수 있는 일반해를 찾았고, 핵심 장치는 중첩 제곱근임
- 2에 제곱근을 반복 적용하면 다음처럼 지수 형태로 정리할 수 있음
√2 = 2^(1/2) = 2^(2^-1)√√2 = 2^(1/4) = 2^(2^-2)√√√2 = 2^(1/8) = 2^(2^-3)
- 제곱근을 n번 적용하면
√√...√2 = 2^(2^-n)형태가 됨 - 여기에 밑이 2인 로그를 한 번 취하면
2^-n이 되고, 다시 로그를 취하면-n이 됨 - 따라서 임의의 n은
n = -log₂(log₂(√√...√2))형태로 표현할 수 있음 - 원래 식은 숫자 2를 세 번만 쓰므로,
2 = √(2+2)를 이용해 한 자리 2를 대체하면 정확히 네 개의 2를 쓰는 식이 됨 - 예를 들어 7은 제곱근을 7번 중첩해 다음처럼 표현할 수 있음
7 = -log_{√(2+2)}(log₂(√√√√√√√2)) - 식 안의
n은 실제 표현에 들어가는 숫자가 아니라 제곱근 반복 횟수를 세기 위한 보조 표기임 - 결국 모든 수를 표현하는 길은 열리지만, 필요한 만큼 제곱근 기호를 정확히 쓰는 일이 남음