GN⁺: 4개의 숫자 2로 모든 정수 만들기
(eli.thegreenplace.net)네 개의 2로 모든 정수 만들기
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수학 퍼즐 소개
- 네 개의 숫자 2와 목표 자연수를 주고, 다른 숫자를 사용하지 않고 다양한 수학적 연산을 통해 목표 숫자를 만드는 퍼즐임.
- 초등학생도 풀 수 있는 예시:
- 1 = (2+2) / (2+2)
- 2 = (2/2) + (2/2)
- 3 = 2×2 - (2/2)
- 4 = 2 + 2 + 2 - 2
- 5 = 2×2 + (2/2)
- 6 = 2×2×2 - 2
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중학생 수준의 수학
- 지수와 팩토리얼을 배우면 범위가 확장됨:
- 18 = 2^(2^2) + 2
- 28 = (2+2)! + 2 + 2
- 256 = (2+2)^(2+2)
- 65536 = 2^(2^(2^2))
- 지수와 팩토리얼을 배우면 범위가 확장됨:
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고급 수학적 트릭
- 22를 두 개의 2로 간주하는 등 다양한 트릭 사용 가능:
- 26 = 22 + 2 + 2
- 11 = 22 / √(2+2)
- 444 = 222×2
- 22를 두 개의 2로 간주하는 등 다양한 트릭 사용 가능:
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고급 수학 도구 사용
- 감마 함수 등 고급 수학 도구를 사용하면 7을 쉽게 만들 수 있음:
- 7 = Γ(2) + 2 + 2 + 2
- 감마 함수 등 고급 수학 도구를 사용하면 7을 쉽게 만들 수 있음:
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복소수와 고급 수학
- 복소수를 사용한 예시:
- 12 = |2 + 2√(-2)|^2
- 복소수를 사용한 예시:
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폴 디락의 일반 해법
- 폴 디락이 모든 숫자에 대한 일반 해법을 발견함.
- 중첩된 제곱근을 사용하여 모든 숫자를 표현 가능:
- √2 = 2^(1/2) = 2^(2^-1)
- √√2 = 2^(1/4) = 2^(2^-2)
- √√√2 = 2^(1/8) = 2^(2^-3)
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일반 공식
- n = -log_2(log_2(√√...√2))
- 이 공식은 세 개의 2를 사용하지만, 2 = √(2+2)를 사용하여 네 개로 조정 가능:
- n = -log_√(2+2)(log_2(√√...√2))
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퍼즐의 규칙에 맞는 해법
- 이 방법은 퍼즐의 규칙에 부합하며, 모든 숫자를 표현할 수 있음.
- 예를 들어, 7을 표현하는 또 다른 방법:
- 7 = -log_√(2+2)(log_2(√√√√√√√2))
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참고 자료
- 이 이야기는 Graham Farmelo의 책 _The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Quantum Genius_에서 읽음.
Hacker News 의견
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함수 사용을 허용하면 게임의 정신을 잃는 느낌임
- 예를 들어, 감마 함수는 (n-1)!임
- 이제 네 개의 2와 하나의 1로 7을 만들 수 있음
- 함수 호출에 숫자를 숨길 수 있다면 항상 성공하기 쉬움
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수학적 연산을 사용할 수 있다면
- 후속 함수 사용으로 쉽게 해결 가능함
- 예시: S(n) = n+1
- 6 = 222-2
- 7 = S(222-2)
- 8 = S(S(222-2))
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"Representing numbers using only one 4"라는 글을 26세의 Donald Knuth가 1964년에 작성함
- 단일 숫자 4와 세 가지 연산(√x, ⌊x⌋, x!)을 사용함
- 모든 정수를 이 방식으로 표현할 수 있는지에 대한 미해결 추측으로 끝남
- 부록에서는 1962년 J. H. Conway와 M. J. T. Guy가 작성한 "π in Four 4's"라는 논문을 언급함
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sqrt(2+2) 대신 sqrt(2*2) 또는 sqrt(2^2)를 쓰는 것이 이상한 선택으로 보임
- 2=sqrt(2+2)라는 이유를 불필요하게 숨김
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간결함을 선호함
- 단일 문자 명령어로 스택 머신을 만들었음
- 0부터 9까지의 숫자만 사용 가능했음
- 숫자 23을 표현하려면 45*3+와 같은 방법을 사용해야 했음
- 각 정수를 가장 적은 문자로 인코딩하는 문제를 해결해야 했음
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Tchisla라는 모바일 게임이 떠오름
- 주어진 숫자와 몇 가지 연산자만으로 최대 1000(또는 10000)까지의 숫자를 만들어야 함
- 매우 재미있고 전략을 개발하게 됨
- UX가 간단하고 효율적임
- 매우 시간이 많이 소요됨
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세 개의 2를 사용하는 작은 문제점이 있음
- 루트 표기법이 1/2의 지수를 숨기고 있음
- 많은 숨겨진 2가 있음
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"four fours"라는 고전적인 게임이 있음
- 어릴 때 "The Man Who Counted"라는 책에서 배움
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임의의 수의 제곱근을 사용하는 것이 거의 속임수처럼 보임
- 제곱근은 사실상 "2"의 또 다른 기호임
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7을 정의하는 것이 정말로 어렵다는 의견
- 7 = 2/2 + 2 + 2 + 2로 표현 가능함