- 네 개의 숫자 2만으로 목표 수를 만드는 퍼즐은 허용하는 수학 연산이 늘어날수록 표현 가능한 범위가 크게 넓어짐
- 사칙연산만으로 1부터 6까지 만들 수 있고, 지수·팩토리얼·제곱근을 더하면 18, 28, 256, 65536 같은 값도 표현할 수 있음
22를 두 개의 2로 보는 표기, Gamma 함수, 적분·순환소수·조합 연산자·복소수까지 허용하면 풀이가 훨씬 다양해짐- Paul Dirac의 일반해는 중첩 제곱근과 밑이 2인 로그로 임의의 자연수 n을 만들며, n은 식에 쓰는 숫자가 아니라 제곱근 반복 횟수임
- 원래 일반식은 숫자 2를 세 번만 쓰지만, 2를
√(2+2)로 바꾸면 정확히 네 개의 2를 쓰는 형태가 됨
네 개의 2 퍼즐이 확장되는 방식
- 규칙은 정확히 네 개의 숫자 2와 수학 연산을 사용해 목표 자연수를 만드는 것임
- 초등 수준의 사칙연산만으로도 작은 수는 바로 만들 수 있음
1 = (2+2)/(2+2)2 = 2/2 + 2/23 = 2·2 - 2/24 = 2+2+2-25 = 2·2 + 2/26 = 2·2·2 - 2
- 지수와 팩토리얼을 허용하면 표현 범위가 크게 커짐
18 = 2^(2^2) + 228 = (2+2)! + 2 + 2256 = (2+2)^(2+2)65536 = 2^(2^(2^2))
- 표기상으로
22를 두 개의 2로 보는 방식도 쓸 수 있음26 = 22 + 2 + 211 = 22 / √(2+2)444 = 222 · 2
- 7은 만들기 어렵기로 알려져 있지만, Gamma 함수를 허용하면
7 = Γ(2) + 2 + 2 + 2가 됨 - 더 넓은 도구를 쓰면 Math StackExchange thread처럼 적분, 순환소수, 조합 연산자를 포함한 풀이도 나옴
- 복소수를 활용한 예로는
12 = |2 + 2√(-2)|²가 있음
Dirac의 중첩 제곱근 일반해
- 1920년대 수학자들도 이 퍼즐을 즐겼고, Paul Dirac이 모든 수에 대한 일반해를 찾음
- 핵심은 2에 제곱근을 반복해서 적용하는 것임
√2 = 2^(1/2) = 2^(2^-1)√√2 = 2^(1/4) = 2^(2^-2)√√√2 = 2^(1/8) = 2^(2^-3)
- 제곱근을 n번 적용하면
√√...√2 = 2^(2^-n)형태가 됨 - 여기에 밑이 2인 로그를 두 번 적용하면
-n을 얻을 수 있음log₂(2^(2^-n)) = 2^-nlog₂(log₂(2^(2^-n))) = -n
- 따라서 일반식은 다음과 같음
n = -log₂(log₂(√√...√2))- 여기서 제곱근은 n번 반복됨
- 이 식은 숫자 2를 세 번만 쓰므로, 밑의
2하나를√(2+2)로 바꾸면 정확히 네 개의 2를 사용함n = -log_{√(2+2)}(log₂(√√...√2))
- 예를 들어 7은 제곱근을 일곱 번 중첩해 다음처럼 표현할 수 있음
7 = -log_{√(2+2)}(log₂(√√√√√√√2))
- 이 방식에서
n은 식 안에 직접 등장하는 숫자가 아니라 제곱근 반복 횟수를 세는 값이며, 남은 작업은 필요한 만큼 제곱근 기호를 그리는 것임