- Johann Carl Friedrich Gauss는 18세에 정17각형 작도 가능성을 증명하며, 2,000년 넘게 이어진 고대 기하 문제에 결정적 답을 냄
- 이 문제의 뿌리는 Euclid의 컴퍼스와 자 작도에 있으며, 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 도형을 실제로 구성할 수 있는지가 핵심이었음
- Euclid는 정3각형·정4각형·정5각형과 그 확장형은 만들었지만, 정7각형·정11각형 같은 도형은 오랫동안 미해결로 남아 있었음
- Gauss는 도형을 직접 그리는 대신, 정17각형에 필요한 길이 cosine(2π/17) 을 허용된 대수 연산만으로 표현해 작도 가능성을 증명함
- 이후 Pierre Wantzel의 엄밀한 증명까지 더해지며, 어떤 정다각형이 작도 가능하고 어떤 것은 불가능한지 구분할 수 있게 됨
가우스가 묘비에 남기고 싶었던 도형
- Johann Carl Friedrich Gauss(1777–1855)는 여러 수학 업적 가운데서도 정17각형 증명을 특별히 자랑스럽게 여김
- 18세였던 Gauss는 이 도형을 통해 2,000년 넘게 수학자들을 막아 온 고전 문제를 해결함
- 이 문제는 도형을 실제로 구성하려던 고대 기하와, 도형을 지배하는 방정식을 분석하는 현대적 관점을 이어 줌
고대 그리스의 컴퍼스와 자 작도
- 고대 그리스 기하학에서 작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 도형을 구성하는 엄격한 놀이에 가까웠음
- 컴퍼스는 두 점이 주어졌을 때 한 점을 중심으로 다른 점을 지나는 원을 그리고, 자는 두 점을 잇는 직선을 그리는 도구임
- 두 도구에는 눈금이 없어서 거리나 각도를 직접 잴 수 없음
- 이런 규칙은 기원전 3세기 Euclid의 Elements에서 비롯됨
- Euclid는 도형의 존재를 가정하는 대신, 선과 원이라는 단순한 재료로 명시적으로 구성하려 했음
선분 이등분과 정삼각형
- 두 점 A와 B가 있을 때, A를 중심으로 B를 지나는 원과 B를 중심으로 A를 지나는 원을 그리면 두 원이 두 점에서 만남
- 이 두 교점을 자로 연결하면 원래 선분 AB를 정확히 이등분하는 직선이 만들어짐
- 같은 작도는 두 선 사이의 직각도 만들어 내며, 제한된 도구만으로는 사소하지 않은 결과임
- 몇 개의 점을 더 연결하면 모든 변의 길이와 모든 각의 크기가 같은 정삼각형을 만들 수 있음
- 정삼각형의 각 변은 같은 크기 원의 반지름이므로 세 변의 길이가 같음
- 이는 Euclid Elements 제1권의 첫 번째 명제에 해당함
정다각형 작도에서 생긴 정체
- 컴퍼스와 자로 만들 수 있는 도형 중 정다각형은 특별한 지위를 가짐
- 다각형은 직선 변으로 둘러싸인 도형이고, 정다각형은 모든 변의 길이와 모든 각의 크기가 같음
- 아무 삼각형을 만드는 일은 쉽지만, 완전한 대칭을 가진 정삼각형 같은 정다각형은 더 정교한 작도를 요구함
- Euclid는 정3각형, 정4각형, 정5각형을 작도하는 법을 알고 있었음
- 이미 만든 정다각형은 변의 수를 두 배로 늘릴 수 있었음
- 정3각형은 정6각형, 정12각형 등으로 확장 가능함
- 정4각형은 정8각형, 정16각형 등으로 이어짐
- 정5각형은 정10각형, 정20각형 등으로 늘릴 수 있음
- Euclid는 정3각형과 정5각형을 “곱해” 정15각형을 만드는 방법도 보임
- 그러나 정7각형과 정11각형은 컴퍼스와 자만으로 만들 수 있는지 알 수 없었고, 이 공백은 2,000년 동안 남아 있었음
Gauss의 대수적 전환
- 1796년까지 새롭게 작도 가능한 정다각형은 추가되지 않았지만, 수학자들은 컴퍼스와 자 작도 자체를 더 깊이 이해하게 됨
- Gauss는 정다각형 작도를 특정 길이의 선분 작도 문제로 줄일 수 있음을 알고 있었음
- 정17각형을 만들려면 반지름이 1인 단위원에서 한 점 A를 잡고, 원 둘레를 정확히 17분의 1만큼 이동한 점 B를 만들면 됨
- 점 B를 만들 수 있으면 같은 작업을 원 둘레 전체에 반복하고, 점들을 자로 연결해 정17각형을 얻을 수 있음
- 결국 핵심은 특정 길이의 선분 x를 그릴 수 있는지이며, 수식으로는 x = cosine(2π/17) 임
작도 가능한 길이와 다섯 가지 연산
- Gauss 시대에는 어떤 길이가 컴퍼스와 자로 작도 가능한지에 대한 기준이 알려져 있었음
- 어떤 길이는 정수에 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 제곱근만 적용해 표현될 때 정확히 작도 가능함
- 예를 들어 √(99/5)는 99와 5에 나눗셈과 제곱근을 적용한 형태이므로 작도 가능함
- 반면 π와 2의 세제곱근은 이 다섯 연산만으로 표현할 수 없어 작도할 수 없음
- 고대 그리스의 작도 도구가 허용하는 행동은 현대 대수의 자연스러운 연산과 맞물림
- 직선과 원의 방정식이 이 다섯 가지 연산만 사용하기 때문이며, 이는 대수 이전 시대의 Euclid가 상상하기 어려웠던 관점임
정17각형의 증명과 분류
- Gauss는 실제로 정17각형을 그리지 않았음
- 대신 정17각형에 필요한 길이 cosine(2π/17) 을 컴퍼스와 자가 허용하는 다섯 대수 연산만으로 표현해, 이 도형이 원리적으로 작도 가능함을 증명함
- 해당 식은 복잡하며, 청소년이던 Gauss가 이 문제에 상당한 노력을 쏟았음을 보여줌
- 더 나아가 Gauss는 어떤 정다각형이 작도 가능하고 어떤 정다각형이 불가능한지까지 특징지음
- 1837년 Pierre Wantzel은 Gauss의 분류가 빠뜨린 경우가 없음을 보이는 엄밀한 증명을 제공함
- 그 결과 정7각형과 정11각형은 컴퍼스와 자만으로 만들 수 없고, 같은 방식으로 불가능한 도형이 무한히 많음
묘비에는 없었지만 기념비에는 남은 흔적
- 전기작가 G. Waldo Dunnington에 따르면 Gauss는 수천 년 된 문제를 푼 일을 매우 자랑스럽게 여겼고, 친구에게 자신의 묘비에 정17각형을 표시하고 싶다고 말함
- 실제 묘비에는 정17각형이 새겨지지 않음
- 대신 Gauss의 출생지인 독일 Brunswick의 기념비 뒷면에는 17개 꼭짓점의 별이 새겨져 있음
- 석공은 사람들이 정17각형과 원을 구별하지 못할 것이라고 보고 별 모양을 선택함
