가우스가 묘비에 정17각형을 원한 이유

 (scientificamerican.com)
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  • Johann Carl Friedrich Gauss는 18세에 정17각형 작도 가능성을 증명하며, 2,000년 넘게 이어진 고대 기하 문제에 결정적 답을 냄
  • 이 문제의 뿌리는 Euclid의 컴퍼스와 자 작도에 있으며, 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 도형을 실제로 구성할 수 있는지가 핵심이었음
  • Euclid는 정3각형·정4각형·정5각형과 그 확장형은 만들었지만, 정7각형·정11각형 같은 도형은 오랫동안 미해결로 남아 있었음
  • Gauss는 도형을 직접 그리는 대신, 정17각형에 필요한 길이 cosine(2π/17) 을 허용된 대수 연산만으로 표현해 작도 가능성을 증명함
  • 이후 Pierre Wantzel의 엄밀한 증명까지 더해지며, 어떤 정다각형이 작도 가능하고 어떤 것은 불가능한지 구분할 수 있게 됨

가우스가 묘비에 남기고 싶었던 도형

  • Johann Carl Friedrich Gauss(1777–1855)는 여러 수학 업적 가운데서도 정17각형 증명을 특별히 자랑스럽게 여김
  • 18세였던 Gauss는 이 도형을 통해 2,000년 넘게 수학자들을 막아 온 고전 문제를 해결함
  • 이 문제는 도형을 실제로 구성하려던 고대 기하와, 도형을 지배하는 방정식을 분석하는 현대적 관점을 이어 줌

고대 그리스의 컴퍼스와 자 작도

  • 고대 그리스 기하학에서 작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 도형을 구성하는 엄격한 놀이에 가까웠음
  • 컴퍼스는 두 점이 주어졌을 때 한 점을 중심으로 다른 점을 지나는 원을 그리고, 자는 두 점을 잇는 직선을 그리는 도구임
  • 두 도구에는 눈금이 없어서 거리나 각도를 직접 잴 수 없음
  • 이런 규칙은 기원전 3세기 Euclid의 Elements에서 비롯됨
  • Euclid는 도형의 존재를 가정하는 대신, 선과 원이라는 단순한 재료로 명시적으로 구성하려 했음

선분 이등분과 정삼각형

  • 두 점 A와 B가 있을 때, A를 중심으로 B를 지나는 원과 B를 중심으로 A를 지나는 원을 그리면 두 원이 두 점에서 만남
  • 이 두 교점을 자로 연결하면 원래 선분 AB를 정확히 이등분하는 직선이 만들어짐
  • 같은 작도는 두 선 사이의 직각도 만들어 내며, 제한된 도구만으로는 사소하지 않은 결과임
  • 몇 개의 점을 더 연결하면 모든 변의 길이와 모든 각의 크기가 같은 정삼각형을 만들 수 있음
    • 정삼각형의 각 변은 같은 크기 원의 반지름이므로 세 변의 길이가 같음
    • 이는 Euclid Elements 제1권의 첫 번째 명제에 해당함

정다각형 작도에서 생긴 정체

  • 컴퍼스와 자로 만들 수 있는 도형 중 정다각형은 특별한 지위를 가짐
  • 다각형은 직선 변으로 둘러싸인 도형이고, 정다각형은 모든 변의 길이와 모든 각의 크기가 같음
  • 아무 삼각형을 만드는 일은 쉽지만, 완전한 대칭을 가진 정삼각형 같은 정다각형은 더 정교한 작도를 요구함
  • Euclid는 정3각형, 정4각형, 정5각형을 작도하는 법을 알고 있었음
  • 이미 만든 정다각형은 변의 수를 두 배로 늘릴 수 있었음
    • 정3각형은 정6각형, 정12각형 등으로 확장 가능함
    • 정4각형은 정8각형, 정16각형 등으로 이어짐
    • 정5각형은 정10각형, 정20각형 등으로 늘릴 수 있음
  • Euclid는 정3각형과 정5각형을 “곱해” 정15각형을 만드는 방법도 보임
  • 그러나 정7각형과 정11각형은 컴퍼스와 자만으로 만들 수 있는지 알 수 없었고, 이 공백은 2,000년 동안 남아 있었음

Gauss의 대수적 전환

  • 1796년까지 새롭게 작도 가능한 정다각형은 추가되지 않았지만, 수학자들은 컴퍼스와 자 작도 자체를 더 깊이 이해하게 됨
  • Gauss는 정다각형 작도를 특정 길이의 선분 작도 문제로 줄일 수 있음을 알고 있었음
  • 정17각형을 만들려면 반지름이 1인 단위원에서 한 점 A를 잡고, 원 둘레를 정확히 17분의 1만큼 이동한 점 B를 만들면 됨
  • 점 B를 만들 수 있으면 같은 작업을 원 둘레 전체에 반복하고, 점들을 자로 연결해 정17각형을 얻을 수 있음
  • 결국 핵심은 특정 길이의 선분 x를 그릴 수 있는지이며, 수식으로는 x = cosine(2π/17) 임

작도 가능한 길이와 다섯 가지 연산

  • Gauss 시대에는 어떤 길이가 컴퍼스와 자로 작도 가능한지에 대한 기준이 알려져 있었음
  • 어떤 길이는 정수에 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 제곱근만 적용해 표현될 때 정확히 작도 가능함
  • 예를 들어 √(99/5)는 99와 5에 나눗셈과 제곱근을 적용한 형태이므로 작도 가능함
  • 반면 π와 2의 세제곱근은 이 다섯 연산만으로 표현할 수 없어 작도할 수 없음
  • 고대 그리스의 작도 도구가 허용하는 행동은 현대 대수의 자연스러운 연산과 맞물림
  • 직선과 원의 방정식이 이 다섯 가지 연산만 사용하기 때문이며, 이는 대수 이전 시대의 Euclid가 상상하기 어려웠던 관점임

정17각형의 증명과 분류

  • Gauss는 실제로 정17각형을 그리지 않았음
  • 대신 정17각형에 필요한 길이 cosine(2π/17) 을 컴퍼스와 자가 허용하는 다섯 대수 연산만으로 표현해, 이 도형이 원리적으로 작도 가능함을 증명함
  • 해당 식은 복잡하며, 청소년이던 Gauss가 이 문제에 상당한 노력을 쏟았음을 보여줌
  • 더 나아가 Gauss는 어떤 정다각형이 작도 가능하고 어떤 정다각형이 불가능한지까지 특징지음
  • 1837년 Pierre Wantzel은 Gauss의 분류가 빠뜨린 경우가 없음을 보이는 엄밀한 증명을 제공함
  • 그 결과 정7각형과 정11각형은 컴퍼스와 자만으로 만들 수 없고, 같은 방식으로 불가능한 도형이 무한히 많음

묘비에는 없었지만 기념비에는 남은 흔적

  • 전기작가 G. Waldo Dunnington에 따르면 Gauss는 수천 년 된 문제를 푼 일을 매우 자랑스럽게 여겼고, 친구에게 자신의 묘비에 정17각형을 표시하고 싶다고 말함
  • 실제 묘비에는 정17각형이 새겨지지 않음
  • 대신 Gauss의 출생지인 독일 Brunswick의 기념비 뒷면에는 17개 꼭짓점의 별이 새겨져 있음
  • 석공은 사람들이 정17각형과 원을 구별하지 못할 것이라고 보고 별 모양을 선택함

함께 보면 좋은 글 β

GN⁺   [-]
Hacker News 의견들
  • Gauss 이후 200년이 지나고 수학이 크게 발전했는데도, 유클리드식으로 작도 가능한 홀수 변 정다각형 중 이론상 가장 큰 것이 무엇인지는 아직 모름
    궁금한 사람을 위해 덧붙이면, 답이 페르마 소수의 배수 조합으로 환원되는데 3, 5, 17, 257, 65537 이후의 페르마 소수가 존재하는지 아무도 모르기 때문임. 참고: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon
  • 이 증명에 관한 훌륭한 YouTube 영상 2개짜리 시리즈가 있음
    작도 가능한 정다각형 문제와 증명의 개요: https://www.youtube.com/watch?v=EX7U0DGBmbM
    증명의 전체 설명: https://www.youtube.com/watch?v=Gdy1u4lsjDw
    • 몇 년 전 Numberphile 영상에서 이 도형의 작도를 배웠음: https://www.youtube.com/watch?v=87uo2TPrsl8
      끝부분에 UC Berkeley 17 Gauss Way의 Mathematical Sciences Research Institute(MSRI) 건물 정면에서 건물 번호 대신 쓰인 작도가 나옴
  • “정수에 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 제곱근을 적용해 표현할 수 있는 길이만 정확히 작도 가능하다”는 부분이 흥미로움
    고대 그리스의 자와 컴퍼스가 현대 대수의 자연스러운 연산인 +, –, ×, /, √와 정확히 맞아떨어지는 이유는 직선과 원의 방정식이 이 다섯 연산만 쓰기 때문이라는 관점임. 관련: https://en.wikipedia.org/wiki/CORDIC
    • 왜 다른 분수 거듭제곱이 아니라 제곱근만 특별한 지위를 갖는지가 궁금함
  • 누구든 컴퍼스와 자 작도를 몇 개 직접 해보길 추천함. 꽤 만족스럽고 명상적인 작업이 될 수 있음
    Oliver Byrne이 Euclid의 Elements를 엄청나게 예쁜 컬러판으로 만들었고 온라인에서 볼 수 있음. 펜, 종이, 원을 그릴 끈, 직선을 그릴 책 모서리를 준비해서 Proposition 1부터 원하는 만큼 해보면 됨: https://www.c82.net/euclid/book1/#prop1
    Byrne의 Elements 실물 복각판도 있음(ISBN:9783836577380). 내 서재에 들인 것 중 최고의 추가물 중 하나고, 정말 아름다움
  • Gauss 묘비 뒷면에 실제로 17각 별이 있는지 궁금함. 온라인에서 사진을 찾을 수 없음
  • 이 결과가 흥미로운 이유는 수백 년에 걸쳐 발전한 대수학이 다시 돌아와 유클리드 기하학을 개선하는 모습을 보여주기 때문임
    배경지식이 없었다면 왜 이 문제가 흥미로운지도 몰랐을 것 같음. 동기는 Langlands program과 꽤 비슷함
  • 수학 글 대부분만 읽으면 중세 수학자들은 아무 기여도 하지 않은 것처럼 느껴질 수 있음
    이상하게도 글쓴이들은 Euclid 같은 그리스 수학자의 기여는 빠뜨리지 않고 언급하면서, 이 경우에는 주인공인 Gauss 같은 르네상스 이후 수학자로 바로 넘어가며 거의 천 년을 편리하고 무지하게 건너뜀
    • 그 현상은 적어도 부분적으로는 서로마 제국 붕괴와 이후 중서부 유럽의 상대적 혼란으로 설명할 수 있음
      그 사이 약 천 년 동안은 인도와 중동 수학자들이 주도했고, Āryabhaṭa, Brahmagupta, Al-Khwarizmi 같은 인물들이 현대 수학 이해에 중요한 기여를 했음
  • 정말 흥미로운데, Gauss의 증명을 더 잘 아는 사람에게 묻고 싶음. 왜 5각형은 자와 컴퍼스로 작도 가능하지만 7각형이나 11각형은 안 되는 걸까? 어떤 소수는 되고 어떤 소수는 안 되는 이유가 뭘까?
    • 17의 경우 Gauss는 cos(360°/17)을 기본 연산만으로 쓸 수 있음을 알아냈음: https://www.heise.de/imgs/18/2/1/2/3/3/6/4/siebzehneck-b95b5...
      나중에 그는 $n=2^k*p_1…*p_r$이고 p_i가 페르마 소수(2^(2^m)+1인 소수, 현재 알려진 것은 3, 5, 17, 257, 65537뿐)인 모든 n각형이 작도 가능함을 증명했음. 그 역방향, 즉 나머지 모든 n은 작도 불가능하다는 것은 몇 년 뒤에야 증명됨. “Gauss-Wantzel 정리”를 찾아보면 됨. 증명은 훑어보기만 했지만, 각도의 cos를 작도하는 개념을 갈루아 이론으로 일반화하는 것처럼 보임. 편집: 또는 https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon 참고
    • 아주 빠르고 불완전한 설명은 가능하지만, 믿고 따라와야 함
      복소수에서 오각형의 꼭짓점은 z^5-1=0임. 이를 (z^4+z^3+z^2+z+1)*(z-1)=0으로 인수분해할 수 있고, 어려운 부분은 z^4+z^3+z^2+z+1=0을 푸는 것임
      이 방정식은 더 인수분해되지 않고 차수가 4임. 해들이 방정식의 차수와 관련된 어떤 성질을 가지며, 그 성질이 4라는 점이 중요함
      컴퍼스와 자로는 차수 2 방정식, 즉 제곱근을 취하는 것과 같은 것만 풀 수 있음. 이를 반복하면 차수 4 방정식 일부를 풀 수 있음. 그래서 몇 가지 요령을 거치면 방정식을 풀고 오각형을 그릴 수 있음
      17의 경우 방정식은 z^16+z^15+...+z+1=0임. 그래서 성질은 16이고 제곱근을 여러 번 써야 함. 매번 해의 성질이 두 배가 되어 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 16으로 감. 글 아래쪽 공식에서 중첩되고 반복되는 제곱근이 많이 보임
      7의 경우 방정식은 z^6+z^5+...+z+1=0임. 해의 성질은 6임. 제곱근으로는 성질을 두 배로만 만들 수 있어서 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 16 -> 32 ...로 가지만, 성질이 6인 해에는 절대 도달할 수 없음
      기술적인 세부사항은 더 있음. 예를 들어 17각형을 그리기 위해 차수 16 방정식 일부는 풀 수 있지만, 모든 차수 16 방정식을 풀 수 있는 것은 아님
    • 페르마 소수와 관련 있음
    • 관심 있고 시간이 있다면 YouTube 채널 Another Roof[1]의 관련 영상 2개를 보면 좋음
      일반 시청자도 기본을 비교적 이해할 수 있게 쉬운 내용에도 시간을 쓰기 때문에 영상이 꽤 길어도 놀라지 않으면 됨
      [1]: https://youtube.com/@anotherroof
    • 내가 다른 댓글에 올린 영상에서 꽤 접근하기 쉽게 설명함: https://www.youtube.com/watch?v=EX7U0DGBmbM
  • 7각형이 그렇게 문제처럼 느껴진 적은 없었음
    정확히는 못 하지만, 원하는 정확도까지는 할 수 있음. 적어도 컴퍼스와 자의 정밀도 한계에 부딪히기 전까지는 가능함
    1/7 = 1/8 + 1/64 + 1/512 + 1/4096 + 1/32768... 이라서 금방 인간 정밀도의 한계에 닿음
    일반적으로 1/(2^n - 1)은 무한합, 또는 무한히 가까워지는 급수로 표현 가능함. 1/(2^n - 1) = x가 1부터 무한대까지일 때 1/(2 ^ (x * n))의 합임. 그리고 호의 길이를 2의 거듭제곱 분수로 나누는 방법은 다들 알고 있음
    완전한 원에서 시작해 첫 조각을取하고, 두 번째 조각을 다시 나눠 첫 조각을取하는 식으로 작은 조각을 계속 더하면 1/7에 충분히 가까워짐. 그 길이를 컴퍼스로 재서 나머지를 다시 나누면 되고, 6개를 더 표시했을 때 처음 점과 거의 맞닿도록 충분히 재귀하면 별로 걱정할 필요가 없음
    그래도 컴퍼스와 자로 1/4096 정밀도까지 가는 것조차 놀라울 것 같고, 1/32768은 절대 아무도 못 해낼 것임
    • 이건 반대 이유로 틀렸다고 생각하는 다른 주장도 떠올리게 함
      Hilbert 곡선이 정사각형 전체를 덮는다는 주장인데, 정사각형은 [실수, 실수] 형태의 모든 유계점을 포함. 그런데 재귀적 꼭짓점 생성기의 유리수 구성에서 각 좌표쌍의 두 값 중 하나는 반드시 유리수여야 함. 다만 분모가 2의 무한 정수 지수인 형태일 뿐임
      설령 [실수, 유리수] + [유리수, 실수] 전체를 덮는다고 해도, 실제로는 그렇지도 않지만, 여전히 [실수, 실수] 전체에는 도달하지 못함
      사실상 평면의 100%는 곡선 위에 없고, 동시에 평면의 100%는 곡선에서 무한소 거리 안에 있음
      전체가 그 안에 들어있다고 말하는 것보다 이쪽이 더 흥미롭다고 생각함. 실제로는 들어있지 않으니까
    • 그렇게 할 수는 있지만, 여기서 원하는 건 정확한 작도임
      무한급수를 허용하면 Taylor 급수로 무엇이든 근사할 수 있음
    • 7각형은 “작도 가능”하지는 않지만 그리기는 쉬움. 대학 때 이걸 가지고 놀아봤음
      반지름의 2*sin(π/7)인 선분을 찾으면 됨. 값은 0.86777이고, 제곱하면 0.7530으로 0.75, 즉 1 - (1/2)^2와 꽤 가까움
      그래서 높이가 반지름의 절반이고 빗변이 반지름인 삼각형을 만들면 다른 변은 0.8660이 됨. 실제값과 0.001 이내 차이라서, 내가 자와 컴퍼스로 그릴 수 있는 것보다 훨씬 정확함
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