1P by neo 28일전 | favorite | 댓글과 토론

왜 이 위대한 수학자는 묘비에 17각형을 원했을까

  • 수학자 가우스는 많은 수학적 업적을 남겼음
  • 그 중에서도 묘비에 "정17각형"을 새기고 싶어했음
  • 18세에 가우스는 2,000년 동안 수학자들을 괴롭혀온 문제를 정17각형을 이용해 해결했음

고대 그리스 기하학

  • 고대 그리스인들은 기하학에 뛰어났으며, 컴퍼스와 자를 사용한 도형 구성에 중점을 두었음
  • 컴퍼스는 두 점을 중심으로 원을 그리는 도구이며, 자는 직선을 그리는 도구임
  • 이 도구들은 거리를 측정하거나 각도를 재지 못함
  • 이러한 도형 구성은 유클리드의 원론에서 비롯되었음
  • 유클리드는 최소한의 가정으로 모든 기하학을 유도하려 했음

도형 구성 예제

  • 주어진 선분의 중점을 찾는 방법
    • 컴퍼스를 사용해 두 점을 중심으로 원을 그림
    • 두 원이 교차하는 점을 자로 연결하면 중점을 찾을 수 있음
  • 이 구성은 선분을 이등분할 뿐만 아니라 직각을 형성함
  • 몇 개의 점을 더 연결하면 정삼각형을 만들 수 있음

장애물

  • 정다각형은 모든 변과 각이 같은 도형임
  • 유클리드는 정삼각형, 정사각형, 정오각형을 구성하는 방법을 알아냈음
  • 정다각형을 두 배로 늘리는 방법도 발견했음
  • 그러나 정칠각형과 정십일각형은 구성할 수 없었음
  • 이 문제는 2,000년 동안 해결되지 않았음

18세기 수학의 구원

  • 1796년까지 새로운 정다각형은 발견되지 않았음
  • 가우스는 정다각형을 구성하는 문제를 특정 길이의 선분을 구성하는 문제로 환원했음
  • 정17각형을 구성하기 위해서는 특정 길이의 선분을 구성해야 함
  • 이 길이는 x = cos(2π/17)로 표현됨
  • 컴퍼스와 자로 구성할 수 있는 길이는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 제곱근으로 표현될 수 있는 길이임
  • 가우스는 정17각형이 구성 가능함을 증명했음
  • 가우스는 모든 정다각형이 구성 가능한지 여부를 완전히 규명했음
  • 정칠각형과 정십일각형은 구성할 수 없음을 증명했음

가우스의 유산

  • 가우스는 정17각형을 묘비에 새기고 싶어했음
  • 그러나 실제로는 새겨지지 않았음
  • 독일 브라운슈바이크에 있는 가우스의 기념비에는 17각별이 새겨져 있음

GN⁺의 정리

  • 가우스는 18세에 정17각형을 이용해 2,000년 동안 해결되지 않은 문제를 해결했음
  • 고대 그리스의 기하학적 도형 구성 방법과 현대 대수학의 연관성을 보여줌
  • 가우스의 업적은 컴퍼스와 자로 구성할 수 있는 도형의 한계를 규명했음
  • 수학적 호기심을 자극하며, 기하학과 대수학의 깊은 연결을 이해하는 데 도움을 줌
  • 유사한 기능을 가진 프로젝트로는 Wolfram Alpha와 GeoGebra가 있음