왜 이 위대한 수학자는 묘비에 17각형을 원했을까
- 수학자 가우스는 많은 수학적 업적을 남겼음
- 그 중에서도 묘비에 "정17각형"을 새기고 싶어했음
- 18세에 가우스는 2,000년 동안 수학자들을 괴롭혀온 문제를 정17각형을 이용해 해결했음
고대 그리스 기하학
- 고대 그리스인들은 기하학에 뛰어났으며, 컴퍼스와 자를 사용한 도형 구성에 중점을 두었음
- 컴퍼스는 두 점을 중심으로 원을 그리는 도구이며, 자는 직선을 그리는 도구임
- 이 도구들은 거리를 측정하거나 각도를 재지 못함
- 이러한 도형 구성은 유클리드의 원론에서 비롯되었음
- 유클리드는 최소한의 가정으로 모든 기하학을 유도하려 했음
도형 구성 예제
- 주어진 선분의 중점을 찾는 방법
- 컴퍼스를 사용해 두 점을 중심으로 원을 그림
- 두 원이 교차하는 점을 자로 연결하면 중점을 찾을 수 있음
- 이 구성은 선분을 이등분할 뿐만 아니라 직각을 형성함
- 몇 개의 점을 더 연결하면 정삼각형을 만들 수 있음
장애물
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정다각형은 모든 변과 각이 같은 도형임
- 유클리드는 정삼각형, 정사각형, 정오각형을 구성하는 방법을 알아냈음
- 정다각형을 두 배로 늘리는 방법도 발견했음
- 그러나 정칠각형과 정십일각형은 구성할 수 없었음
- 이 문제는 2,000년 동안 해결되지 않았음
18세기 수학의 구원
- 1796년까지 새로운 정다각형은 발견되지 않았음
- 가우스는 정다각형을 구성하는 문제를 특정 길이의 선분을 구성하는 문제로 환원했음
- 정17각형을 구성하기 위해서는 특정 길이의 선분을 구성해야 함
- 이 길이는 x = cos(2π/17)로 표현됨
- 컴퍼스와 자로 구성할 수 있는 길이는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 제곱근으로 표현될 수 있는 길이임
- 가우스는 정17각형이 구성 가능함을 증명했음
- 가우스는 모든 정다각형이 구성 가능한지 여부를 완전히 규명했음
- 정칠각형과 정십일각형은 구성할 수 없음을 증명했음
가우스의 유산
- 가우스는 정17각형을 묘비에 새기고 싶어했음
- 그러나 실제로는 새겨지지 않았음
- 독일 브라운슈바이크에 있는 가우스의 기념비에는 17각별이 새겨져 있음
GN⁺의 정리
- 가우스는 18세에 정17각형을 이용해 2,000년 동안 해결되지 않은 문제를 해결했음
- 고대 그리스의 기하학적 도형 구성 방법과 현대 대수학의 연관성을 보여줌
- 가우스의 업적은 컴퍼스와 자로 구성할 수 있는 도형의 한계를 규명했음
- 수학적 호기심을 자극하며, 기하학과 대수학의 깊은 연결을 이해하는 데 도움을 줌
- 유사한 기능을 가진 프로젝트로는 Wolfram Alpha와 GeoGebra가 있음