분리된 구간 집합 위에서 계산하는 계산기

• 분리된 구간들의 합집합을 입력으로 받아 사칙연산, 함수 호출, 거듭제곱까지 수행하며, interval union arithmetic를 브라우저에서 직접 계산 가능
• 결과 구간은 입력 합집합에서 고른 값들로 같은 식을 실수 위에서 계산했을 때의 값을 반드시 포함하며, 0을 포함하는 구간으로의 나눗셈도 분리된 합집합 형태로 처리 가능
• 1 / [-2, 1]에서 [-∞, -0.5] U [1, +∞]가 나오고 tan([pi/3, 2*pi/3])에서 [-∞, -1.732] U [1.732, +∞]가 나오는 식으로, 불연속 구간 결과와 무한대 경계 표현 지원
• [a, b], [a, b] U [c, d], 중첩 구간 문법, lo, hi, hull, log10, cos, min, max 같은 다양한 표기와 함수 지원
• 전체 정밀도 모드에서는 IEEE 754 배정밀도 기반 바깥쪽 반올림으로 실제 값을 감싸는 구간을 반환하며, 0.1 + 0.2를 [0.29999999999999993, 0.3000000000000001]로 보여주는 점이 특징

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개요

• 분리된 구간들의 합집합을 대상으로 계산하는 계산기이며, 일반 실수뿐 아니라 interval union arithmetic 구현 지원
  • 구간 [a, b]는 a부터 b까지의 수 전체를 뜻하고, [a, b] U [c, d]는 서로 떨어진 구간들의 합집합 의미
  • 일반 구간 산술의 확장 형태이며, 0을 포함하는 구간으로의 나눗셈도 닫힘 성질을 유지한 채 계산 가능
• 포함 성질 보장
  • 입력 합집합들에서 각각 임의의 실수를 하나씩 선택해 같은 식을 실수 위에서 계산하면, 그 결과가 출력 합집합 안에 반드시 포함되는 구조
• 불확실성 표현 가능
  • 50 * (10 + [-1, 1]) 계산 결과 [450, 550] 예시 제공
• 복잡한 구간 식 계산 지원
  • U 연산자를 사용해 ( [5, 10] U [15, 16] ) / [10, 100] 같은 식 입력 가능
  • 결과 [0.05, 1.6] 예시 제공
• 연산 결과가 분리된 합집합이 될 수 있음
  • 1 / [-2, 1] 결과 [-∞, -0.5] U [1, +∞]
  • tan([pi/3, 2*pi/3]) 결과 [-∞, -1.732] U [1.732, +∞]
• 전체 정밀도 모드에서는 일반 계산기처럼 사용할 수 있으면서도 부동소수점 정밀도 문제를 포함한 실제 값을 감싸는 구간 결과 제공
  • 0.1 + 0.2 결과 [0.29999999999999993, 0.3000000000000001] 예시 제시

문법

• 기본 표기 지원
  • 구간 표기 [a, b] 지원
  • 예시 [0.5, 0.6]
• 합집합 표기 지원
  • [a, b] U [c, d] 형태 지원
  • 예시 [0, 1] U [5, 6]
• 사칙연산 및 거듭제곱 지원
  • 덧셈 A + B 예시 ➤ [90, 100] + [-2, 2] 결과 [88, 102]
  • 뺄셈 A - B 예시 ➤ [14, 16] - [8, 12] 결과 [2, 8]
  • 곱셈 A * B 예시 ➤ [-5, 10] * [2, 4] 결과 [-20, 40]
  • 나눗셈 A / B 예시 ➤ [2, 4] / [-1, 2] 결과 [-∞, -2] U [1, +∞]
  • 거듭제곱 A ^ B 예시 ➤ [2, 3] ^ [-2, 3] 결과 [0.1111, 27]
• 함수와 상수 지원
  • 함수 호출 function(...) 형태 지원
  • log10([1, 10000]) 결과 [0, 4]
  • 상수 이름 입력 지원
  • pi 결과 [3.1415926535897927, 3.1415926535897936]
• 숫자와 구간 혼합 입력 가능
  • [1, 2]처럼 대괄호 구문으로 구간 입력 가능
  • 3.14 같은 숫자는 폭이 0인 좁은 구간 [3.14, 3.14]로 해석됨
  • 전체 정밀도 모드에서는 이에 관련된 세부 차이 존재
  • 1.55 + [-0.002, 0.002] 결과 [1.548, 1.552]
• 중첩 구간 문법 지원
  • [0, [0, 100]] 입력 가능하며 결과 [0, 100]
  • 구간 경계를 정의하는 내부 숫자들까지 모두 구간으로 해석되는 구조
  • 중첩된 구간에서 경계 자리에 들어간 구간은 그 구간의 상한을 취하는 방식
  • 이 설계로 경계 자체에 산술 적용 가능
  • [0, cos(2*pi)] 결과 [0, 1]

지원 함수

• 상수 지원
  • inf, ∞, pi, e 지원
  • [-inf, 0] * [-inf, 0] 결과 [0, +∞]
• 경계 추출 함수 지원
  • lo(A)는 하한 반환
    • lo([1, 2]) 결과 [1, 1]
  • hi(A)는 상한 반환
    • hi([1, 2]) 결과 [2, 2]
• 구간 외피 계산 지원
  • hull(A)는 합집합을 하나의 구간으로 감싸는 형태
  • hull([1, 2] U [99, 100]) 결과 [1, 100]
• 기본 수학 함수 지원
  • abs(A) 예시 abs([-10, 5]) 결과 [0, 10]
  • sqrt(A) 예시 sqrt([9, 49]) 결과 [3, 7]
  • sqinv(A) 예시 sqinv([4, 64]) 결과 [-8, -2] U [2, 8]
• 로그 및 지수 함수 지원
  • log(A) 예시 log([0, 1]) 결과 [-∞, 0]
  • log2(A) 예시 log2([64, 1024]) 결과 [6, 10]
  • log10(A) 예시 log10([0.0001, 1]) 결과 [-4, 0]
  • exp(A) 예시 exp([-∞, 0] U [1, 2]) 결과 [0, 1] U [2.718, 7.389]
• 삼각함수 및 역삼각함수 지원
  • cos(A) 예시 cos([pi/3, pi]) 결과 [-1, 0.5]
  • sin(A) 예시 sin([pi/6, 5*pi/6]) 결과 [0.5, 1]
  • tan(A) 예시 tan([pi/3, 2*pi/3]) 결과 [-∞, -1.732] U [1.732, +∞]
  • acos(A) 예시 acos([-1/2, 1/2]) 결과 [1.047, 2.094]
  • asin(A) 예시 asin([0, 1]) 결과 [0, 1.571]
  • atan(A) 예시 atan([-10, 2]) 결과 [-1.471, 1.107]
• 최소값·최대값 함수 지원
  • min(A, B) 예시 min([1, 2], [0, 6]) 결과 [0, 2]
  • max(A, B) 예시 max([0, 10], [5, 6]) 결과 [5, 10]

전체 정밀도 모드

• IEEE 754 배정밀도 부동소수점 위에서 바깥쪽 반올림 구현
  • JavaScript의 number 타입 사용
  • 같은 식을 실수와 무한 정밀도로 계산했을 때의 실제 값을 결과 구간이 반드시 포함하는 보장
• 0.1 + 0.2 사례 포함
  • 0.3은 배정밀도 부동소수점으로 정확히 표현되지 않음
  • interval arithmetic는 0.3을 포함하는 구간 계산 수행
• 전체 정밀도 모드 활성화 시 동작
  • 사용자가 입력한 숫자는 입력한 10진 표현에 가장 가까운 IEEE 754 값을 포함하되, 양쪽 경계가 그 값과 같지 않은 가장 작은 구간으로 해석
  • 출력 숫자는 사용 가능한 모든 10진 자릿수로 표시
  • Number.toString() 사용
• 전체 정밀도 모드 비활성화 시 동작
  • 사용자가 입력한 숫자는 입력한 10진 표현에 가장 가까운 IEEE 754 값과 양 경계가 같은 퇴화 구간으로 해석
  • 출력 숫자는 최대 소수점 4자리로 표시
  • Number.toPrecision() 사용

버그

• 계산기에 아직 버그가 남아 있을 가능성 언급
• 문제 보고 경로로 GitHub 이슈 링크 제공

오픈소스

• Interval Calculator와 계산기 엔진 not-so-float 모두 오픈소스로 공개
• GitHub Sponsors 후원 링크 포함

향후 작업

• 전체 정밀도 모드를 두 개의 제어 항목으로 분리 예정
  • 입력 해석
  • 표시 정밀도
• ans 변수 추가 예정
  • 이전 입력 결과 저장 변수
• 교집합 연산자 또는 함수 추가 예정
• U 연산자 우선순위의 직관성 개선 예정
• 빈 합집합 입력 지원 예정

[GN⁺]

Hacker News 의견들

• 작성자로서 말하자면, 바깥쪽 반올림은 정밀도 문제 대응으로 interval arithmetic에서 가장 유명하지만, 내 생각엔 그것만 주목받는 게 아쉬움. 연구 논문에서 말하는 포함 성질은 모든 스케일에서 작동하고, 그래서 50 * (10 + [-1, 1]) = [450, 550] 같은 결과가 자연스럽게 나옴. 여기에 union 레이어를 얹으면 제곱 함수의 진짜 역함수 같은 것도 다룰 수 있고, sqrt가 아니라 sqinv(64)를 해보면 느낌이 옴. 사실 이 interval calculator는 다른 프로젝트인 backwards updating spreadsheet를 위해 만들던 interval union arithmetic 구현을 시험하려고 만든 것이었음. 구현체는 not-so-float, 관련 프로젝트는 bidicalc와 HN 토론에 있음
  • 구현한 arithmetic이 IEEE 1788 표준과 어떻게 다른지 궁금함. 링크한 두 논문이 그 표준과 어떤 관계인지도 알고 싶음. 글에서 언급한 문제들을 해결하려면 완전히 새로 시작해야 했는지, 아니면 IEEE 표준 위에 쌓아 올릴 수 있었는지도 궁금함
  • 정말 멋져서 더 만져볼 생각임. 두 가지가 특히 궁금한데, 첫째로 다가 함수를 추가하기 얼마나 어려운지 궁금함. 예를 들어 asin(1)에서 Mathematica 없이도 [pi/2, pi/2] + n[2pi, 2pi] 전체 집합을 얻을 수 있으면 아주 좋겠음. 둘째로 사용자 입력 숫자를 해석하는 설명 문구가 좀 헷갈렸음. 내가 보기엔 입력값을 포함하는 가장 작은 구간의 출력 경계값이 입력값을 감싸는 가장 가까운 두 IEEE 754 수여야 할 것 같은데, 지금 문장대로면 IEEE754(input)+[-epsilon, epsilon]처럼 읽혀서 의미가 다르게 느껴졌음
• 이거 정말 좋음. Matt Keeter의 implicit surfaces 작업과 interval math를 이용한 최적화도 흥미롭게 볼 만함. 이 발표에서 관련 내용을 확인할 수 있음
• 나도 interval arithmetic로 만든 그래핑 계산기가 있어서 관심 있을 것 같음. 직접 써볼 수 있는 formulagraph가 있고, 동작 방식과 관련 코드 설명은 이 글에 정리해뒀음
  • 첫인상이 GrafEq와 비슷하게 느껴졌음. 옛날 GrafEq가 떠오름
• 나도 이게 재미있어서 Raku로 간단한 Math::Interval 라이브러리를 써본 적 있음. raku-Math-Interval인데, Raku의 내장 Junction과 Range 클래스를 바탕으로 만든 실험이었고 꽤 흥미로운 경험이었음
• 아주 좋고 공유해줘서 고마움. interval에서 상한·하한 포함 여부를 표시해주면 더 좋겠다는 생각임. 내가 익숙한 표기법은 값이 포함되지 않을 때 바깥을 향한 괄호를 쓰고, 무한대에도 항상 그렇게 적용함. 예를 들면 ]-∞, -1] U [0.5, +∞[처럼 쓰고, 중간의 제외 구간은 ]-1, 0.5[가 됨. 내가 이해한 바로는 min과 max도 이런 식으로 해석되는 것 같음. 그리고 결과 영역의 수식을 클릭하거나 탭하면 입력창으로 복사되는 UI 아이디어도 있으면 편할 것 같음
  • 링크된 논문을 읽어보니 여기서는 닫힌 구간만 설명하고 있었음. interval union은 닫혀 있고 서로 분리된 구간들의 집합이며, 양 끝 extreme interval의 경계만 ±∞가 될 수 있다고 정의되어 있었음
  • 그런 표기를 지원하는 건 가능하겠지만 코드가 훨씬 복잡해짐. 그래서 아주 이른 시점에 지원하지 않기로 결정했음. 그래도 멋진 추가 기능이 될 수는 있음
  • 나도 이 부분이 조금 헷갈렸음. 내가 알던 표준 표기법은 둥근 괄호였는데, 아마 ASCII 환경에서는 잘 안 맞을 수도 있겠다는 생각이 들었음
• 아주 멋짐. 모든 연산을 완전히 이해한 건 아니지만, 이해한 부분만으로도 꽤 인상적이었음. 수업에서 구간에 대한 산술을 좀 더 일찍 접했으면 좋았겠다는 생각이 듦. 기초 통계의 신뢰구간이나 이차방정식의 ±처럼 이미 비슷한 개념이 나오는데, 결과를 하나의 데이터처럼 이어서 계산하지 못하고 매번 ±의 두 값을 따로 처리하는 게 늘 좀 아쉬웠음. 물론 교사는 응용으로 빨리 돌아가고 싶어 하니 깊게 다루지 않는 이유는 이해함. 그래도 이런 대상에도 일반적인 산술이 가능하다는 힌트 정도는 있었으면 좋았겠음. 지금 보여준 건 그보다 훨씬 더 나아간 형태지만, interval을 자체적인 동작을 가진 데이터로 보는 관점이 말이 된다는 검증처럼 느껴졌음
• 예전에 Clojure로 시간 구간 라이브러리 tick을 처음 쓸 때 interval arithmetic를 알았더라면 좋았겠다는 생각임. 이 라이브러리에는 Allen's Interval Algebra 구현도 들어가 있고, 실무 계산에 유용한 이산 구간 집합 개념도 받아들였음. 예를 들어 어떤 해에 속하는 휴가 구간 집합을 계산하는 HR 업무 같은 데 잘 맞음. 나는 Allen의 작업 정도만 알고 있다가 이런 집합이 주는 장점을 우연히 발견한 셈이었음. 코드는 juxt/tick에 있음
• 이 도구의 쓸모는 충분히 보이지만, 개인적으로는 확률적 계산기가 더 유용할 것 같다는 생각임. 예를 들어 1 / [-1, 2] 같은 결과는 어떤 값이 얼마나 그럴듯한지 알려주지 않고, 입력이 균등하다고 가정해도 출력은 분명 균등분포가 아닐 것 같음
• 나도 최근에 비슷한 걸 구현했는데, 관점은 집합 소속성 쪽이었음. 그래서 interval membership에 대한 완전한 Boolean 분석을 하려면 여집합 연산이 필요했음. 여기 구간들은 모두 닫힌 집합이라 여집합은 열린 구간이 되는데, 내 용도에서는 끝점 포함 여부가 중요하지 않아서 열린 구간과 닫힌 구간을 굳이 구분하지 않았음. 게다가 부정확한 산술에서는 집합이 열린지 닫힌지 자체가 잘 정의되지 않을 수도 있다고 봄
• union of intervals로 논리를 확장한 건 멋져 보이지만, 복잡도가 궁금함. 어떤 연산 하나가 구간 두 개를 만들 수 있게 되면, N번 연산 시 경우에 따라 지수적 증가가 생길 것 같음. 그러면 일정 개수 이상에서 근사를 도입하지 않는 한 abstract interpretation 같은 흔한 활용에는 비현실적일 수 있겠다는 걱정임
  • 맞는 지적이고, 이런 문제는 abstract interpretation 쪽에서 잘 알려져 있음. 말한 것처럼 보통은 객체 크기에 cap을 두고 한도를 넘으면 구간들을 합쳐버리는 방식을 씀. 다만 적어도 abstract interpretation에서는 interval보다 더 정교한 도메인을 쓰는 경우도 많은 것 같음