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수학자, 컴퓨터 과학자, 물리학자를 위한 미적분학

 (mathcs.holycross.edu)
1P by GN⁺ 10일전 | ★ favorite | 댓글 1개
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GN⁺ 10일전  [-]
Hacker News 의견

  • 미적분 교재를 엄밀하게 쓰는 건 쉽지 않음
    너무 엄밀하게 가면 ‘실해석학’ 책이 되어버리고, 미적분의 목적은 개념을 소개하는 것이지 완전한 해석학을 가르치는 게 아니기 때문임
    이 책은 수렴 개념에 과도하게 매달리지 않고, 함수에 대한 언어적 표현과 선형대수와의 교차점을 다루는 데 더 집중한 점이 마음에 듦

    • 나는 여러 번 미적분을 가르쳐온 수학 교수로서, 미적분 수업의 목표는 하나로 요약하기 어렵다고 생각함
      미적분은 비엄밀한 수준에서 훨씬 이해하기 쉬운 드문 수학 분야임
      예를 들어, “도함수는 순간 변화율이다”라고 두고 dy/dx를 실제 분수처럼 다루면 연쇄법칙 같은 개념이 훨씬 직관적으로 설명됨
      대부분의 교재는 엄밀함과 비엄밀함 사이에서 어정쩡하게 서 있는데, 나는 한쪽을 확실히 택하는 게 낫다고 봄
      이 책은 모든 사람에게 맞지는 않겠지만, 그게 오히려 강점임
    • 이미 Apostol이 있으니, 미적분 자체를 배우려면 예전 판을 구하는 게 좋음
      최신판은 선형대수 같은 추가 내용이 있지만 가격이 너무 비쌈 ($150/권)

  • 저자가 “직관적이고 비공식적인 방식으로, 그러나 논리적 엄밀함을 잃지 않게” 수학을 제시하고 싶다고 했는데, 서구권 교재들은 시간이 갈수록 덜 엄밀해지는 경향이 있음
    반면 아시아나 러시아 교재는 그렇지 않음
    학생들이 시각적이고 비공식적인 설명을 더 원하다 보니, 나중에 연구 단계에서 엄밀한 형식에 적응하기 어려워질까 걱정됨

    • 러시아 교재 중에서는 Aleksandrov, Kolmogorov, Lavrent’ev의 『Mathematics: Its Content, Methods and Meaning』이 여전히 명작으로 꼽힘
      1962년에 3권으로 출판되었고, 영어판은 한 권으로 합본되어 있음
    • 서구 교재가 덜 엄밀해진 이유는, 예전에는 직업학교에 갔을 학생들이 대학으로 오게 되면서 대상층이 넓어졌기 때문일 수도 있음
      더 다양한 배경의 학생을 포용하려면 교재도 바뀔 수밖에 없음
    • “엄밀하다”는 표현이 정확히 뭘 의미하는지 궁금함
      모든 내용을 증명 중심으로 다룬다는 뜻인지, 아니면 응용보다는 이론에 집중한다는 뜻인지 헷갈림
    • 관련된 오래된 블로그 글이 있음 → Professor Confess
      학생 대출금 확대가 학문적 엄정성의 붕괴와 연결되어 있다는 주장임
      학교가 등록금을 극대화하려고 학생을 떨어뜨리지 않으려 하면서, 난이도와 엄밀성이 줄어들었다는 내용임
    • 나도 이 의견에 동의함
      문제는 학생이 아니라, 교재를 고르고 출판을 결정하는 교육학 전공자들과 출판사임
      모든 사람에게 맞는 교재를 만들려는 건 어리석음
      대부분의 사람은 미적분을 몰라도 되고, 배운다면 진짜로 엄밀하게 배워야 함

  • 이 책은 여러 학습 트랙을 아우르려는 시도로 보임
    ① 수학 전공자를 위한 증명 중심 미적분
    ② 공학·과학 전공자를 위한 계산 중심 미적분
    ③ 사회과학·경영 전공자를 위한 단순화된 미적분
    만약 ①과 ②를 통합할 수 있다면 정말 대단한 일임

    • 하지만 두 트랙은 통합이 어렵다고 생각함
      목표와 방법론이 너무 다름
      예를 들어, Tao의 해석학 수업에서 다루는 ε-δ 논의는 실제 미분방정식이나 안정성 해석과는 거리가 큼
      힐베르트 공간의 조밀 부분공간을 증명할 수 있어도, 다중 스케일 해석에서는 완전히 길을 잃을 수 있음

  • 책을 잠깐 훑어봤는데 꽤 마음에 듦
    나는 수학을 절차와 규칙 위주로 배워서, 이론적 엄밀함보다는 기계적 조작에 익숙했음
    이 책은 그런 사람들에게 기초 개념을 다시 점검하게 해줌
    ‘What is Calculus?’가 6장(223쪽), ‘Differentiation’이 8장(261쪽)에서야 나오는데, 그 전 200쪽이 기본 개념을 탄탄히 다져줌
    복습용이나 병행 학습용으로 강력히 추천함

  • 수학의 엄밀함과 추상화가 실제 문제 해결에 얼마나 도움이 되는지 궁금함
    나는 공학 문제 해결 능력을 높이려면 확률 모델 공부가 측도론보다 더 유용하다고 느낌
    『Mathematical Methods for Physics and Engineering』처럼 직관과 응용 중심의 책이 나에게는 더 효과적이었음

  • 나는 선행 지식을 따로 요구하지 않고, 한 권 안에서 필요한 내용을 다루는 책을 선호함
    예를 들어 『Calculus for Machine Learning』(Jason Brownlee)이나 『No Bullshit Guide to Math & Physics』(Ivan Savov) 같은 책이 그 예임
    학교는 여러 과목을 병렬로 듣게 하지만, 사실 통합된 커리큘럼이 더 효율적이라고 생각함

  • 이 책이 컴퓨터 과학자를 위한 미적분이라길래, 혹시 Knuth가 1998년에 제안한 Big-O 기반 접근법을 쓴 줄 알았음
    (Knuth의 편지 링크)
    하지만 실제로는 완화된 실해석 입문으로 시작함

  • 나는 수치 계산 쪽에 더 가깝지만, 이 PDF는 위키피디아보다 훨씬 읽기 쉬운 참고자료로 좋음

  • 괴테의 말이 떠오름 — “수학자들은 일종의 프랑스인이다. 그들과 이야기하면, 그들은 그것을 자기 언어로 번역하고, 곧 전혀 다른 것이 되어버린다”는 인용문임

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