미적분 교재를 엄밀하게 쓰는 건 쉽지 않음
너무 엄밀하게 가면 ‘실해석학’ 책이 되어버리고, 미적분의 목적은 개념을 소개하는 것이지 완전한 해석학을 가르치는 게 아니기 때문임
이 책은 수렴 개념에 과도하게 매달리지 않고, 함수에 대한 언어적 표현과 선형대수와의 교차점을 다루는 데 더 집중한 점이 마음에 듦
나는 여러 번 미적분을 가르쳐온 수학 교수로서, 미적분 수업의 목표는 하나로 요약하기 어렵다고 생각함
미적분은 비엄밀한 수준에서 훨씬 이해하기 쉬운 드문 수학 분야임
예를 들어, “도함수는 순간 변화율이다”라고 두고 dy/dx를 실제 분수처럼 다루면 연쇄법칙 같은 개념이 훨씬 직관적으로 설명됨
대부분의 교재는 엄밀함과 비엄밀함 사이에서 어정쩡하게 서 있는데, 나는 한쪽을 확실히 택하는 게 낫다고 봄
이 책은 모든 사람에게 맞지는 않겠지만, 그게 오히려 강점임
이미 Apostol이 있으니, 미적분 자체를 배우려면 예전 판을 구하는 게 좋음
최신판은 선형대수 같은 추가 내용이 있지만 가격이 너무 비쌈 ($150/권)
저자가 “직관적이고 비공식적인 방식으로, 그러나 논리적 엄밀함을 잃지 않게” 수학을 제시하고 싶다고 했는데, 서구권 교재들은 시간이 갈수록 덜 엄밀해지는 경향이 있음
반면 아시아나 러시아 교재는 그렇지 않음
학생들이 시각적이고 비공식적인 설명을 더 원하다 보니, 나중에 연구 단계에서 엄밀한 형식에 적응하기 어려워질까 걱정됨
서구 교재가 덜 엄밀해진 이유는, 예전에는 직업학교에 갔을 학생들이 대학으로 오게 되면서 대상층이 넓어졌기 때문일 수도 있음
더 다양한 배경의 학생을 포용하려면 교재도 바뀔 수밖에 없음
“엄밀하다”는 표현이 정확히 뭘 의미하는지 궁금함
모든 내용을 증명 중심으로 다룬다는 뜻인지, 아니면 응용보다는 이론에 집중한다는 뜻인지 헷갈림
관련된 오래된 블로그 글이 있음 → Professor Confess
학생 대출금 확대가 학문적 엄정성의 붕괴와 연결되어 있다는 주장임
학교가 등록금을 극대화하려고 학생을 떨어뜨리지 않으려 하면서, 난이도와 엄밀성이 줄어들었다는 내용임
나도 이 의견에 동의함
문제는 학생이 아니라, 교재를 고르고 출판을 결정하는 교육학 전공자들과 출판사임
모든 사람에게 맞는 교재를 만들려는 건 어리석음
대부분의 사람은 미적분을 몰라도 되고, 배운다면 진짜로 엄밀하게 배워야 함
이 책은 여러 학습 트랙을 아우르려는 시도로 보임
① 수학 전공자를 위한 증명 중심 미적분
② 공학·과학 전공자를 위한 계산 중심 미적분
③ 사회과학·경영 전공자를 위한 단순화된 미적분
만약 ①과 ②를 통합할 수 있다면 정말 대단한 일임
하지만 두 트랙은 통합이 어렵다고 생각함 목표와 방법론이 너무 다름
예를 들어, Tao의 해석학 수업에서 다루는 ε-δ 논의는 실제 미분방정식이나 안정성 해석과는 거리가 큼
힐베르트 공간의 조밀 부분공간을 증명할 수 있어도, 다중 스케일 해석에서는 완전히 길을 잃을 수 있음
책을 잠깐 훑어봤는데 꽤 마음에 듦
나는 수학을 절차와 규칙 위주로 배워서, 이론적 엄밀함보다는 기계적 조작에 익숙했음
이 책은 그런 사람들에게 기초 개념을 다시 점검하게 해줌
‘What is Calculus?’가 6장(223쪽), ‘Differentiation’이 8장(261쪽)에서야 나오는데, 그 전 200쪽이 기본 개념을 탄탄히 다져줌
복습용이나 병행 학습용으로 강력히 추천함
수학의 엄밀함과 추상화가 실제 문제 해결에 얼마나 도움이 되는지 궁금함
나는 공학 문제 해결 능력을 높이려면 확률 모델 공부가 측도론보다 더 유용하다고 느낌
『Mathematical Methods for Physics and Engineering』처럼 직관과 응용 중심의 책이 나에게는 더 효과적이었음
나는 선행 지식을 따로 요구하지 않고, 한 권 안에서 필요한 내용을 다루는 책을 선호함
예를 들어 『Calculus for Machine Learning』(Jason Brownlee)이나 『No Bullshit Guide to Math & Physics』(Ivan Savov) 같은 책이 그 예임
학교는 여러 과목을 병렬로 듣게 하지만, 사실 통합된 커리큘럼이 더 효율적이라고 생각함
이 책이 컴퓨터 과학자를 위한 미적분이라길래, 혹시 Knuth가 1998년에 제안한 Big-O 기반 접근법을 쓴 줄 알았음
(Knuth의 편지 링크)
하지만 실제로는 완화된 실해석 입문으로 시작함
Hacker News 의견
미적분 교재를 엄밀하게 쓰는 건 쉽지 않음
너무 엄밀하게 가면 ‘실해석학’ 책이 되어버리고, 미적분의 목적은 개념을 소개하는 것이지 완전한 해석학을 가르치는 게 아니기 때문임
이 책은 수렴 개념에 과도하게 매달리지 않고, 함수에 대한 언어적 표현과 선형대수와의 교차점을 다루는 데 더 집중한 점이 마음에 듦
미적분은 비엄밀한 수준에서 훨씬 이해하기 쉬운 드문 수학 분야임
예를 들어, “도함수는 순간 변화율이다”라고 두고 dy/dx를 실제 분수처럼 다루면 연쇄법칙 같은 개념이 훨씬 직관적으로 설명됨
대부분의 교재는 엄밀함과 비엄밀함 사이에서 어정쩡하게 서 있는데, 나는 한쪽을 확실히 택하는 게 낫다고 봄
이 책은 모든 사람에게 맞지는 않겠지만, 그게 오히려 강점임
최신판은 선형대수 같은 추가 내용이 있지만 가격이 너무 비쌈 ($150/권)
저자가 “직관적이고 비공식적인 방식으로, 그러나 논리적 엄밀함을 잃지 않게” 수학을 제시하고 싶다고 했는데, 서구권 교재들은 시간이 갈수록 덜 엄밀해지는 경향이 있음
반면 아시아나 러시아 교재는 그렇지 않음
학생들이 시각적이고 비공식적인 설명을 더 원하다 보니, 나중에 연구 단계에서 엄밀한 형식에 적응하기 어려워질까 걱정됨
1962년에 3권으로 출판되었고, 영어판은 한 권으로 합본되어 있음
더 다양한 배경의 학생을 포용하려면 교재도 바뀔 수밖에 없음
모든 내용을 증명 중심으로 다룬다는 뜻인지, 아니면 응용보다는 이론에 집중한다는 뜻인지 헷갈림
학생 대출금 확대가 학문적 엄정성의 붕괴와 연결되어 있다는 주장임
학교가 등록금을 극대화하려고 학생을 떨어뜨리지 않으려 하면서, 난이도와 엄밀성이 줄어들었다는 내용임
문제는 학생이 아니라, 교재를 고르고 출판을 결정하는 교육학 전공자들과 출판사임
모든 사람에게 맞는 교재를 만들려는 건 어리석음
대부분의 사람은 미적분을 몰라도 되고, 배운다면 진짜로 엄밀하게 배워야 함
이 책은 여러 학습 트랙을 아우르려는 시도로 보임
① 수학 전공자를 위한 증명 중심 미적분
② 공학·과학 전공자를 위한 계산 중심 미적분
③ 사회과학·경영 전공자를 위한 단순화된 미적분
만약 ①과 ②를 통합할 수 있다면 정말 대단한 일임
목표와 방법론이 너무 다름
예를 들어, Tao의 해석학 수업에서 다루는 ε-δ 논의는 실제 미분방정식이나 안정성 해석과는 거리가 큼
힐베르트 공간의 조밀 부분공간을 증명할 수 있어도, 다중 스케일 해석에서는 완전히 길을 잃을 수 있음
책을 잠깐 훑어봤는데 꽤 마음에 듦
나는 수학을 절차와 규칙 위주로 배워서, 이론적 엄밀함보다는 기계적 조작에 익숙했음
이 책은 그런 사람들에게 기초 개념을 다시 점검하게 해줌
‘What is Calculus?’가 6장(223쪽), ‘Differentiation’이 8장(261쪽)에서야 나오는데, 그 전 200쪽이 기본 개념을 탄탄히 다져줌
복습용이나 병행 학습용으로 강력히 추천함
수학의 엄밀함과 추상화가 실제 문제 해결에 얼마나 도움이 되는지 궁금함
나는 공학 문제 해결 능력을 높이려면 확률 모델 공부가 측도론보다 더 유용하다고 느낌
『Mathematical Methods for Physics and Engineering』처럼 직관과 응용 중심의 책이 나에게는 더 효과적이었음
나는 선행 지식을 따로 요구하지 않고, 한 권 안에서 필요한 내용을 다루는 책을 선호함
예를 들어 『Calculus for Machine Learning』(Jason Brownlee)이나 『No Bullshit Guide to Math & Physics』(Ivan Savov) 같은 책이 그 예임
학교는 여러 과목을 병렬로 듣게 하지만, 사실 통합된 커리큘럼이 더 효율적이라고 생각함
이 책이 컴퓨터 과학자를 위한 미적분이라길래, 혹시 Knuth가 1998년에 제안한 Big-O 기반 접근법을 쓴 줄 알았음
(Knuth의 편지 링크)
하지만 실제로는 완화된 실해석 입문으로 시작함
Quomodocumque 블로그 글과
Cornell Math 블로그,
Texnical Stuff 블로그 등이 있음
또한 Terry Tao의 O 표기법 형식화 글도 참고할 만함
(이 링크들은 Shreevatsa의 정리글에서 가져옴)
나는 수치 계산 쪽에 더 가깝지만, 이 PDF는 위키피디아보다 훨씬 읽기 쉬운 참고자료로 좋음
괴테의 말이 떠오름 — “수학자들은 일종의 프랑스인이다. 그들과 이야기하면, 그들은 그것을 자기 언어로 번역하고, 곧 전혀 다른 것이 되어버린다”는 인용문임