자기 자신을 통과할 수 없는 첫 번째 형태 발견
(quantamagazine.org)- 수학자들이 자기 자신을 통과할 수 없는 3차원 형태를 처음으로 발견했으며, 이는 기존의 기하학적 직관을 뒤흔드는 발견임
- 대부분의 다면체는 Rupert 통로(Rupert passage) 라 불리는 특정 회전·이동 조합을 통해 자기 복제체를 통과시킬 수 있으나, 이번 형태는 그 어떤 방향에서도 불가능함이 확인됨
- 연구자들은 수억 개의 다면체를 알고리듬으로 생성·검증했으며, 거의 모든 경우에서 통로를 찾았지만 극소수의 예외가 존재함
- 두 수학자는 YouTube 영상에서 영감을 받아 자체 알고리듬을 개발, 2021년 논문에서 특정 다면체가 통과 불가능할 것이라 추정했고 이번 연구로 그 가능성이 강화됨
- 이 발견은 기하학적 대칭성과 공간 탐색 알고리듬 연구에 새로운 방향을 제시하며, 수학적 형태의 근본적 한계를 드러낸 사례로 평가됨
Nopert 형태의 희귀성과 탐색 과정
- 연구자들은 Nopert(자기 통과 불가능한 형태) 후보가 극도로 드물다는 사실을 확인
- Murphy는 2023년부터 수억 개의 다면체를 생성해 실험
- 무작위 다면체, 구 위의 정점 배열, 대칭 구조를 가진 다면체, 일부 정점을 의도적으로 변형한 형태 등을 포함
- 그의 알고리듬은 거의 모든 형태에서 Rupert 통로를 쉽게 탐색했으나, 일부 형태에서는 끝내 통로를 찾지 못함
- 이 예외적 형태들이 진정한 Nopert인지, 혹은 단순히 통로 탐색이 어려운 경우인지는 아직 불확실
- 이러한 결과는 진짜 Nopert의 존재 가능성을 수학자들 사이에서 강하게 시사함
- 그러나 2024년 8월 이전까지는 확실한 증거가 없었음
“No Passage” — 통로가 존재하지 않는 형태의 발견
- Steininger(30세)와 Yurkevich(29세)는 수학 올림피아드 동문 출신의 친구이자 연구 파트너로, 학계를 떠난 뒤에도 미해결 문제를 함께 탐구
- “3시간 전에도 피자를 먹으며 거의 수학 이야기만 했다”는 인터뷰 발언으로 그들의 열정을 표현
- 5년 전, 두 사람은 한 정육면체가 다른 정육면체를 통과하는 YouTube 영상을 보고 Rupert 문제에 매료됨
- 이후 자체 Rupert 통로 탐색 알고리듬을 개발해 일부 형태가 통과 불가능하다는 확신을 가지게 됨
- 2021년 논문에서 rhombicosidodecahedron(마름사십이면십이각체) 이 Rupert 형태가 아닐 것이라 추정
- 이는 Murphy와 Grimmer의 최근 연구보다 앞선 최초의 “통과 불가능한 고체” 가설 제시로 평가됨
- Steininger는 “우리가 처음으로 이런 성질을 가지지 않는 고체가 있을 수 있다고 추정한 연구였다”고 언급
Nopert 증명의 수학적 조건
- 어떤 형태가 Nopert임을 증명하려면, 모든 가능한 방향과 회전 조합에 대해 Rupert 통로가 존재하지 않음을 입증해야 함
- 각 방향은 회전 각도의 집합으로 표현 가능
- 이 각도 집합은 고차원 매개변수 공간(parameter space) 의 한 점으로 나타낼 수 있음
- 따라서 증명 과정은 매개변수 공간 전체를 탐색하며 통로 부재를 확인하는 문제로 귀결
- 이는 계산적으로 매우 복잡하며, 완전한 증명을 위해서는 무한한 방향 조합을 고려해야 함
- 현재까지의 결과는 컴퓨터 탐색으로 가능한 유한한 경우의 검증에 기반하며, 완전한 수학적 증명은 아직 진행 중임
Hacker News 의견
- 모든 경우를 테스트할 수 없으니 하나를 선택해 그 주변의 많은 가능성을 배제하는 방식이 흥미로움
최근에 Rupert/Nopert 주제에 대한 멋진 영상을 봤는데, 이번 연구와 시점이 겹쳐서 재밌는 우연처럼 느껴졌음- 사실 그렇게 우연은 아님. 기사에도 tom7이 언급되어 있고, 그의 영상 마지막 부분에서 이번 논문을 직접 언급함. 즉, tom7도 같은 문제를 증명하려고 했던 것임
- 제목이 다소 오해의 소지가 있음. 구체적으로는 구(sphere) 같은 다른 형태는 이미 오래전부터 알려져 있었고, 이번의 새로움은 자기 자신을 통과할 수 없는 첫 다면체(polyhedron) 라는 점임
- 정확히는 볼록(convex) 다면체를 의미함. 그래도 제목에 대한 지적은 타당함
- 구는 다면체로 근사할 수 있음. 일반적으로 그런 다면체들은 Rupert 성질을 가질 것 같지만, 이번 Nopert는 상하 평면 근처의 꼭짓점이 수직축에 대해 더 완만한 각도를 가지는 점이 다름.
혹시 T자형 테트로미노를 자기 자신을 통과시킬 수 있을까 하는 생각이 듦 - 비전문가 입장에서는 제목을 “곡선이 없는 첫 형태 발견” 정도로 쓰는 게 더 명확했을 것 같음
- 구가 왜 자기 자신을 통과할 수 없다는 건지 의문임. 그림자로 투영했을 때 지름과 같은 크기를 가지니까 가능할 것 같음
- 두 개의 평평한 면이 있어서 D&D 주사위로는 못 쓰겠음. 나는 여전히 rhombicosidodecahedron을 응원하고 있음
- 기사에 담긴 세부 설명 수준이 마음에 들었음. 수학적 세부사항에 빠지지 않으면서도 연구 내용을 실제로 이해할 수 있을 만큼 충분했음
- 나는 Prince Rupert를 그의 이름이 붙은 “Prince Rupert’s drops”로만 알고 있었는데, 알고 보니 그는 여러 분야에서 활약한 인물이었음
관련 내용은 위키피디아에서 볼 수 있음 - 이런 성질에 대해 “anisotransient” 같은 용어가 아직 없다는 게 믿기지 않음
- 이렇게 하나를 찾는 데도 어려웠다면, 다음 결과는 아마 “거의 모든 볼록 다면체는 자기 자신을 통과할 수 없다”일 것 같음
- 꼭 직선으로 통과해야 하는 걸까? 회전하면서 통과하는 경우도 상상됨. 블록 퍼즐이나 소파를 코너로 돌리는 상황처럼 말임
기사에서는 직선 통과로 한정하고 있고, 대부분의 분석도 그림자 투영 기법을 사용하므로 직선 기준임. 하지만 원래의 내기 조건은 단순히 “복제체를 통과시키는 것”이었으니, 회전도 허용 가능한 접근일 수 있다고 생각함- 하지만 이 문제는 볼록 다면체에 한정된 것이므로, 회전이 도움이 될 것 같지는 않음
- 이런 연구에 왜 시간을 쓰는지 궁금함. 단순한 호기심인지, 아니면 결국엔 실용적 가치가 생기는지 모르겠음. 예술에 더 가까운 느낌임
- 문제 자체는 실용적이지 않을 수 있지만, 이를 해결하기 위해 개발된 기법들은 다른 분야에 응용될 수 있음.
게다가 순수한 호기심만으로 연구하는 것도 충분히 가치 있는 일임 - 예를 들어 수십 년간 행렬 변환과 표면 법선 같은 추상적인 수학을 연구했는데, 1980년대에 들어서 컴퓨터 그래픽스에서 핵심 기술로 쓰이게 되었음
- 이런 연구가 때로는 벨크로나 자기 잠금 메커니즘 같은 실용적 발명으로 이어지기도 함. 누군가 연결점을 찾아내면 세상을 조금씩 바꿀 수 있음
- 문제 자체는 실용적이지 않을 수 있지만, 이를 해결하기 위해 개발된 기법들은 다른 분야에 응용될 수 있음.
- 일반인 입장에서 보면, Nopert 후보들은 점점 구에 가까워지는 형태 아닌가 싶음. 구는 Rupert 터널을 가질 수 없잖음
- 맞음. 면이 많아질수록 시각적으로 구에 가까워짐. 하지만 구는 자명하게 non-Rupert이고, 볼록 다면체가 non-Rupert일 수 있는가가 더 흥미로운 질문임
- 면을 계속 추가해가며 언제까지 통과가 가능한지 궁금함. 무한히 가능할 수도 있고, 중간중간 Nopert가 나타날 수도 있음. 아니면 점점 Nopert가 늘어나서 찾기 어려워질 수도 있음. 직접 실험해보고 싶음
- 하지만 중요한 건, 그들은 구와는 다르다는 점임