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푸리에 변환이란 무엇인가?

 (quantamagazine.org)
3P by GN⁺ 2일전 | ★ favorite | 댓글 1개
  • 푸리에 변환은 복잡한 신호나 함수를 기본적인 주파수 성분의 합으로 분해하는 수학적 계산임
  • 귀 역시 다양한 음파를 받아들여 저마다 다른 주파수로 분리하는데, 수학자 푸리에가 19세기에 이를 공식화해 수학적 혁신을 이끎
  • 푸리에 변환은 함수 해석 뿐 아니라 압축, 신호 처리, 물리학, 양자역학 등 폭넓은 분야에서 활용됨
  • 디지털 이미지, 오디오 등 다양한 데이터를 효과적으로 압축 및 변환하는 데 필수적 역할을 수행함
  • 빠른 푸리에 변환 알고리듬(FFT) 의 등장으로, 오늘날 푸리에 변환은 일상생활과 IT 기술 전반에 널리 쓰이고 있음

개요

  • 음악을 들을 때 우리의 귀는 복잡한 음파 신호를 받아들여 주파수별로 분해하는 역할을 수행함
  • 푸리에 변환은 어떤 복잡한 함수도 기본적인 물결파들의 합으로 분해해 원래 함수를 다시 얻을 수 있는 수단을 제공함
  • 이 방법은 19세기 프랑스 수학자 Jean-Baptiste Joseph Fourier에 의해 발견되어, 함수 해석을 혁신함
  • 푸리에 변환은 그 이후 함수 해석, 신호 처리, 수학, 물리학 다양한 분야의 발전을 크게 끌어올렸으며, 오늘날 컴퓨터에서의 파일 압축, 오디오 신호 증폭 등에서도 사용됨
  • 뉴욕대학교 Leslie Greengard 교수는 푸리에 해석이 수학과 과학 거의 모든 분야에 영향을 미친다고 언급함

푸리에의 열정과 발견

  • 푸리에는 1768년 프랑스에서 태어나 어린 나이부터 수도원과 수학 교육을 받음
  • 종교와 수학 사이에서 고민하다 1794년 반혁명 사상으로 수감되었다가, 프랑스 혁명 후 수학 교육에 복귀함
  • 나폴레옹의 이집트 원정에 과학 고문으로 참여하며 고대 이집트 연구와 열전달 문제를 연구함
  • 금속 막대의 열전달을 단순한 파동의 합으로 표현할 수 있다고 주장해 동시대 수학자들에게 큰 논란을 불러일으킴
    • 급격한 온도 변화(예: 반은 차갑고 반은 뜨거운 막대)도 무한히 많은 부드러운 곡선의 합으로 정확히 설명 가능하다는 점이 혁신적 주장임
  • 결국 푸리에는 임의의 함수도 매우 단순한 진동의 합으로 표현할 수 있음을 증명함으로써 수학계에 큰 영향을 미침
  • 다만, 극단적으로 복잡한(확대해도 계속 들쭉날쭉한) 함수에는 적용이 제한됨

푸리에 변환의 원리

  • 푸리에 변환은 복잡한 대상을 향기나 화음의 성분을 식별하듯, 각기 다른 주파수 성분으로 분해하는 기능임
  • 수학적으로, 변환 대상인 함수를 입력받아, 각 주파수가 원래 함수에 기여하는 정도를 계산함
    • 예: 특정 함수에 주파수 3의 사인파를 곱해 그래프의 평균값이 높게 나오면 이 주파수가 원래 함수에 많이 포함됨
    • 특정 주파수에선 양의 피크와 음의 피크가 상쇄되어 평균이 0에 가까우면 해당 주파수가 거의 포함되지 않음
  • 푸리에 변환은 모든 주파수에 대해 이러한 계수를 측정하여, 합으로 더하면 원래의 복잡한 함수를 복원할 수 있음
  • 사각파와 같이 날카로운 모서리를 가진 신호(디지털 신호 등)는 무한히 많은 주파수의 합(푸리에 급수) 으로 근사할 수 있음
  • 초기 수학자들은 무한히 많은 매끄러운 곡선이 급작스런 변화를 만들 수 있다는 사실을 받아들이기 어려워했으나, 오늘날은 중요한 도구로 사용함

고차원과 실생활 응용

  • 푸리에 변환은 이차원 함수인 이미지에도 적용되어, 각 픽셀 밝기를 나타내는 2D 함수로 이해 가능함
  • 이미지의 푸리에 변환 결과는 다양한 방향성을 가진 줄무늬 패턴으로 해석할 수 있으며, 이 패턴들을 합치면 원본 이미지를 복원 가능함
  • JPEG 등 이미지 압축은 고주파 정보(작은 디테일) 를 제거해 용량을 대폭 줄이지만, 이미지의 주요 특성은 유지함
  • 1960년대 James Cooley와 John Tukey가 고안한 Fast Fourier Transform(FFT) 알고리듬으로 푸리에 변환 계산 속도가 혁신적으로 빨라짐
  • 이로 인해 데이터 신호 처리, 컴퓨터 과학, 의료 영상(MRI), 천문학, 오디오/비디오 압축 등 다양한 분야에서 푸리에 변환이 필수 기술이 됨

현대 수학과 과학에서의 영향

  • 푸리에 변환은 물리학(특히 양자역학) 의 핵심이며, 불확정성 원리의 수학적 기초를 제공함
    • 예: 입자의 위치를 좁게 알수록(그래프에서 뾰족함) 푸리에 변환 후 운동량의 불확실성이 커짐
  • 조화 해석학(harmonic analysis) 이라는 분과가 발전해, 파동과 함수의 역변환, 그리고 함수의 여러 성질 연구에 중요한 역할을 함
  • 수학에서 정수론, 소수 분포 등과도 깊은 연관이 있음
  • Charles Fefferman 교수는 푸리에 변환 없이는 수학의 많은 부분이 사라질 것이라고 중요성을 강조함

결론

  • 푸리에 변환은 신호, 데이터, 이미지, 물리학 등 현대 과학과 기술의 핵심 도구임
  • 수학적 혁신에서 실용적 기술까지 그 영향력이 매우 넓음
  • 오늘날 컴퓨터, 통신, 의료, 엔터테인먼트 등에서 광범위하게 활용되고 있음
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GN⁺ 2일전  [-]
Hacker News 의견
  • Captain Disillusion 채널에서 Fourier 변환이 시각적으로 어떻게 동작하는지, 그리고 블러나 언블러 같은 비주얼 이펙트에서 어떻게 활용되는지를 아주 멋지게 설명한 영상을 추천함
    https://youtu.be/xDLxFGXuPEc?feature=shared
    • Captain Disillusion의 콘텐츠를 좋아하지만, 'CD / Blur' 편은 시리즈 중에서 정보량이 가장 적은 편임을 밝힘. 물론 재미와 접근성을 위해 만든 영상이지만, 3Blue1Brown에서 다룬 Fourier Transform(FT) 영상처럼 깊이가 있진 않음
    • 영상 중 Carl Sagan의 오마주 장면이 꽤 재미있다는 생각임
  • Fourier에 흥미가 있다면 Laplace 변환(혹은 이산 버전인 z-transform)도 좋아하게 될 것임. 과거에 이 분야에 완전히 빠져서 깊이 있게 파고들었고, 아직도 즐겨 연구하는 취미 중 하나임. Fourier, Laplace, z-transform의 응용은 정말 다양한 분야에 널리 쓰임. 본인은 주로 신호 처리와 아날로그 전자공학에서 사용함
    • 전자공학 공부할 때, 컴퓨터 대수 시스템이 없어 손으로 Laplace transform의 전달함수를 z-transform으로 변환하던 기억이 있음. 전개하고 다시 묶고 인수분해하는 식으로, 연필·지우개에 라인 프린터 용지를 펑펑 쓰며 기초적이면서도 지루한 대수를 연습했음. 요즘 학생들은 정말 행운임
    • 예전에 아마존에서 평점은 높지만 리뷰 수가 적은 상품과, 평점은 약간 낮지만 리뷰가 많은 상품 중 골라야 할 때가 많았음. Laplace Rule of Succession을 적용해 브라우저 확장프로그램을 만들어, 리뷰 수와 평점을 모두 고려한 Laplacian 점수를 계산해주는 도구를 만듦. 덕분에 훨씬 현명한 선택이 가능해졌음
      https://greasyfork.org/en/scripts/443773-amazon-ranking-laplace
    • 이산 시퀀스를 위한 소위 'Z-transform'이 사실상 생성함수 혹은 형식적 거듭제곱급수/Laurent 급수와 같은 것임. 이산 시퀀스를 z^(-1)의 거듭제곱급수 형태로 쓰는 것임
    • Laplace Transform을 생각하면 항상 제어 이론에서의 극점(pole), 영점(zero) 같은 개념이 떠오름
    • 본질적으로 전기/전자공학은 결국 이런 변환이 핵심임
  • 사람들이 자료를 공유하는 분위기에서 MIT의 Dennis Freeman이 강의한 "Signals and Systems"가 직관적으로 네 가지 Fourier 변환(FT, DFT, Fourier Series, DTFT)의 관계를 아주 잘 설명하고 있다고 소개함
    https://ocw.mit.edu/courses/6-003-signals-and-systems-fall-2011/…
    • 예전에 Wavelet transform이 엄청 인기였는데, 요즘은 거의 얘기가 안 나오는 게 신기함
  • BetterExplained.com에서도 Fourier transform 관련 인터랙티브 가이드가 아주 잘 정리되어 있음
    https://betterexplained.com/articles/…
  • Fourier Transform이나 그 외 여러 변환(생성함수, Mellin/Laplace/Legendre/Haar 등)이 실제로 유용한 이유에 대해 나름의 이론을 가지고 있음. 현실 세계의 많은 함수가 희소(sparse)하고 압축 센싱(Compressed sensing)이 용이하기 때문임 FT는 1:1 변환이므로 이론적으로 정보 손실이 없으며, 주로 주파수 공간에서 보면 문제를 훨씬 단순화할 수 있음. 이유는 겉으론 복잡해 보이는 함수도 변환공간에선 더 단순한 빌딩 블록으로 구성되는 경우가 많기 때문임 예를 들어 파리의 날갯짓 소리 신호는 복잡해 보여도 FT로 보면 단일 주파수에서 강한 피크가 나타남. 두 사인파의 합도 원래대로 보면 복잡해 보이지만 FT로 변환하면 두 군데에서 뚜렷하게 분리됨 JPEG, MP3 등에서 FT(DCT 등)를 활용하는 이유도 실제 인간 감각(청각/시각)에 중요하지 않은 주파수 성분을 버려 데이터 압축이 가능하기 때문임 FT의 마법은 단지 직교 기저로의 변환이 아니라, 실제 신호들이 드물게 소수의 기저 성분으로 꽤 정확히 설명된다는 점임
    • 이 맥락에서 Taylor Series도 현실 동역학을 "주로 선형+비선형 효과" 조합으로 근사하기에 유용함. 항력이 예시인데, Taylor 전개를 적용하면 점성(선형 항)과 부피 변위(이차 항)로 나눌 수 있음. 실제 공기에서는 선형항 계수가 매우 작으나, 이 방식이 구조를 이해하는 데 도움임
    • FT가 특히 대세가 된 이유는, 사인, 코사인, 복소 지수함수가 미분 연산자의 고유함수(eigenfunction)이기 때문임. 현실의 많은 시스템이 미분방정식으로 기술되므로, FT가 분석의 기본 도구가 됨. 특히 실세계 신호가 FT 공간에서 희소성을 보이는 이유는 대다수 현실 시스템이 주기적 운동(모터나 파리 날갯짓 등)이 많아, FT로 성분 분리가 아주 효율적으로 일어남. 모든 신호가 기본 주파수의 고조파로 분해되는 구조임
    • 결국 중요한 것은 '사람이 인식하는 신호는 더 희소하다'는 사실임. 실제 바이올린 음색은 사인파와 거리가 멀지만, 뇌는 이를 하나의 이상적인 음색으로 인지함. 즉 우리 인지 모델이 정말로 압축되어 있음
  • Fourier Transform을 "느끼려" 할 때 어렵게 느껴지는 이유는, 실제로 신호의 진동을 계산하려면 일정 시간을 기다려야 하고, 변환 과정은 적분 계산을 포함하기 때문임. 시각적으로는 신호 전체를 다 보여주지만, 실생활에서는 신호가 점차적으로 들어오기 때문에 쉽지 않음. 이런 경우를 더 깊이 읽어보고 싶음
    • 이런 경우엔 time-frequency analysis(시변 주파수 분석) 개념이 필요하며, 여기 핵심 도구가 바로 단시간 Fourier Transform(STFT)임. 음악 스펙트로그램이나 다양한 시각화가 여기에 기반함
    • 스트림 신호엔 슬라이딩 윈도우 FFT를 사용함. 윈도우 크기가 감지 가능한 최소/최대 주파수 대역을 한정해 줌. 디지털 데이터의 시간 양자화도 고주파 대역을 제한하며, 윈도우 두께에 따라 어쩔 수 없이 지연(latency)이 생기고 이는 실시간 음성 필터링에서 중요함
    • 직관적으로 생각하면, 시간 창을 두고 컨볼루션을 하는 것과 비슷함. 창 크기가 감지 가능한 주파수 밴드를 결정함
    • 보통 512 샘플 단위 같은 짧은 구간으로 FFT를 실행함. 혹은 1024 샘플씩 겹치며 512씩 진행하는 식으로, 더 많은 샘플을 쓸수록 정밀도가 향상됨
  • 이번 글을 읽으면서 Fourier Transform에 진짜로 눈을 뜨게 되었음. 이미지 압축 비트맵의 원리도 처음 이해했고, 이제는 직접 압축이나 연속 신호를 구분 성분으로 나눠보는 실험도 해보고 싶어졌음 색상 양자화(Colour quantisation)에도 응용해 보고 싶고, 주요/평균 RGB 성분을 구해서 기존 디더링처럼 에러를 퍼뜨리는 방식 대신 더 희소한 성분만 남기는 색상 축소 방법도 시도해 볼 수 있을 것 같음. 잘 안 될 수도 있지만, 시도하며 배우는 과정 자체가 기대됨
  • Fourier Transform에 처음 입문하는 사람에겐 좋은 자료일 수 있지만, 실제보다 훨씬 임의적이고 랜덤하게 느껴질 수도 있음. 오히려 내용 전체를 이해했다고 착각하게 해서 정작 더 아름다운 것들을 그냥 지나쳐 버리면 아쉬울 것임 인생에서 가장 아름다울 수도 있는 Fourier Analysis의 꽃을, 이미 가졌다고 착각해 놓치는 일이 없길 바람
    https://news.ycombinator.com/item?id=45134843 이 질문이 숨은 아름다움에 대한 힌트가 될 수 있음
  • Fourier Transform을 더 깊이 비주얼하게 체험하고 싶다면 이 explorable한 해설들이 매우 유익함
    https://injuly.in/blog/fourier-series/index.html, https://www.jezzamon.com/fourier/
  • Fourier가 막대기를 통해 열이 분포되는 과정을 단순한 파형의 합으로 나타낼 수 있다고 주장했다는 얘기에 감탄함. '어떻게 그런 생각을 하지?' 하는 마음이 듦. 어떤 사람들은 정말 다르게 태어난 것 같음
    • Fourier가 미분방정식, 급수 전개, 미적분학의 초기 혼돈기 같은 다양한 수학 이슈에 정말 익숙했던 것 같음. 200년 동안 새롭고 멋진 수학의 프론티어도 많이 변해왔음
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