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12년간 내 벽에 걸려 있던 그 프랙탈

 (chriskw.xyz)
2P by GN⁺ 1일전 | ★ favorite | 댓글 1개
  • 중학생 시절 필자의 낙서에서 출발한 프랙탈 도형(“wallflower”) 은 일반적인 방법과는 다른 방식으로 생성된 독특한 구조임
  • 이 프랙탈의 생성 과정에서 L-시스템과 행렬 기반 위치 인코딩을 통해 수학적으로 그 특징을 설명할 수 있음을 탐구함
  • 행렬식이 ±5인 특정 행렬을 활용하면 도형의 크기 변화와 회전, 그리고 공간 내 반복적 배치를 효과적으로 설명할 수 있음
  • 2차원 뿐 아니라 3차원·4차원 일반화 가능성을 시도하며, 고차원에서는 대칭성과 패킹 효율을 고려한 행렬 설계가 중요함
  • 프랙탈, 선형대수, 숫자 체계 등이 상호 연결됨을 발견했고, 이러한 탐구의 과정 자체가 창의적 문제 해결의 가치를 보여줌

들어가며: 벽에 걸린 프랙탈의 비밀

  • 필자는 중학교 시절 그래프 종이에 네모를 복제, 회전하며 채우는 낙서(나중에 “wallflower”라 명명함)를 발견하고, 오랜 세월 동안 관심을 두었음
  • 구조가 특이해 수학적으로 깊은 의미가 있다고 생각했으나 당시에는 분석하지 못했음
  • 이후 수학적 지식이 늘어난 현재, 과거의 자신이 남긴 문제에 대한 탐구를 본격적으로 시작함

프랙탈 그리기 방법

  1. 정사각형 하나에서 시작
  2. 현재 도형을 각각 왼쪽, 오른쪽, 위, 아래에 한 번씩 복제하여 배치
  3. 이후, 기존 상태를 약 27도 시계방향으로 약간씩 회전시켜 네 방향에 또 복사해서 배치
  4. 2, 3번 단계를 반복해 종이를 가득 채움
  • 이런 식으로 하면 꽃처럼 퍼지는 프랙탈이 만들어짐
  • 이 과정 자체도 Gosper Curve와 유사하게 무한히 반복하면 평면 전체를 덮을 수 있음

L-시스템을 통한 프랙탈 경계선 생성

  • L-시스템(문자열 치환 규칙) 방식도 적용 가능: R(오른쪽) 또는 L(왼쪽) 90도 회전만 사용
  • 초기 규칙: RRRR에서 시작, 치환은 R→RLR, L→RLL로 진행
  • L-시스템으로 구현한 경계와 중학교 시절 방식의 경계는 4항부터 주요 차이가 발생함
    • Drag and drop 방법은 각 복사본의 배치가 다름
    • L-시스템 방식은 대각선 방향 복사가 특징임

이미지 없는 wallflower의 특징

  • Drag and drop 방식으로 생성되는 wallflower는 인터넷 상 어디에도 흔히 등장하지 않음
  • 치환 규칙 L→RLR, R→LLR에 의해 방향이 반복적으로 반전되는 특성이 있음
  • 복사본의 배치 각도(“27도”)와 행렬 구조, L-시스템 치환 규칙의 연관성이 있음

수를 매기는 법(프랙탈의 위치 인코딩)

  • Cantor 쌍 함수처럼, 프랙탈 내부의 각 네모에 숫자를 매겨 공간을 효율적으로 파악 가능
  • 각 반복마다 5의 배수, 5의 거듭제곱 등과 밀접하게 연관되며, 효율적 인코딩을 위해 5진법을 적용함
  • 왼쪽과 오른쪽의 복사 패턴을 보면, “200만큼 더하기”와 같이 기하학적 이동과 덧셈의 연결성을 발견할 수 있음

행렬과 프랙탈의 공간적 의미

  • 위치 벡터를 행렬곱으로 표현하여, 각 자리수(자릿값)마다 matrix power가 적용됨
  • 예시 행렬 M=[−2 1; 1 2], 행렬식 det(M)=-5인 경우 방향이 반복적으로 반전
  • M′=[2 1; -1 2], det(M′)=5인 행렬로 생성하면 일반적인 Gosper류 프랙탈과 유사한 구조가 만들어짐
  • 행렬식의 절댓값이 프랙탈의 크기 성장 비율 및 공간 충전 효율성과 정확히 일치함
    • 행렬식이 크면 공간이 비게 되고, 작으면 충돌
    • 각 행렬의 열벡터가 반드시 정수여야 전체 좌표망에 정확히 맞출 수 있음
  • 벡터 |1,2|의 각도 계산 arctan(2/1) ≈ 63.43도 → 축에서 “27도” 떨어진 이유가 바로 여기에 있음

프랙탈을 통한 덧셈 구조 탐구

  • 간단히 벡터 합성만으로 모든 위치를 예측할 수는 없음 (예, →2+→2≠→4)
  • 1~4까지 각 방향(상, 우, 하, 좌)로 해석하며, 2차원적 “자리 올림”이 등장함
  • generalized balanced ternary 등과 연결되어 2D/고차원 숫자 체계와 고정점 없는 구조를 도출할 수 있음

고차원(3D, 4D) 일반화 가능성

3차원 확장 시도

  • 3x3 행렬에서 각 열벡터가 정수, Hamming 거리 3, 행렬식 ±7을 만족해야 함
  • 실제로 시각화 시 특정 영역이 비게 되며, 완벽한 배열은 불가능함
  • 추가 복사본(새로운 위치에 “플러스 모양”)으로 부분 보완 가능하지만 완전한 대칭은 어려움

4차원 확장

  • 4x4 행렬에서 각 열벡터가 정수, 세 자리 ±1·한 자리 0인 조건을 만족
  • 4차원에서 “orthotopeflower”라는 새로운 프랙탈 구조가 가능함
  • 7x7 그리드의 7x7 그리드로 전체 구조를 평면상에 효과적으로 시각화 가능

고차원 일반화의 한계

  • 행렬, 크기 성장 조건, 정수사이 벡터 등의 제약을 종합해 보면 1, 2, 4차원에서만 이 구조가 타당함
  • 그 이상 차원에서는 모든 조건을 만족하는 정수 행렬 구성 불가능

기타 수 체계와의 연결

  • Quater-imaginary base(허수 2i를 base로 하는 수체계)처럼, 행렬 기반 숫자체계에서 복소수·사원수까지 개념을 확장 가능
  • 4D 행렬을 통한 quaternion 엔코딩(기저: i+j+k) 아이디어를 탐구했으나 완전히 엄밀한 검증은 후대의 자신에게 위임함

맺음말

  • 한 개인의 오랜 기간에 걸친 프랙탈, 숫자체계 및 선형대수적 탐구가 아름다운 수학적 발견으로 이어짐
  • 창의적인 사소한 낙서와 호기심이 실제로 깊은 원리를 밝히는 계기가 됨
  • 탐구 과정의 우연성, 시행착오, 끈기를 통해 새로운 수학·컴퓨터 아이디어를 제시한 사례임
  • 완벽하지 않은 시각화나 규칙의 오류 역시 탐구의 일부로 받아들이는 마음가짐을 강조함
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GN⁺ 1일전  [-]
Hacker News 의견

  • 대단한 작품과 즐거운 읽기 경험

    • Cliff, 정말 고마운 마음 표현, Numberphile의 영상들이 어릴 때 수학의 아름다움을 발견하는 데 큰 영감이 되었던 이야기

  • 굉장히 통찰력 있고 신중한 글이라는 느낌, 3D 시각화가 특히 마음에 든다는 말, 몇 년 전에 프랙탈과 비슷한 효과를 아무 이미지에서든 만들 수 있도록 재귀적 디시메이션(recursive decimation)을 사용해 만든 프로젝트를 떠올려봄, https://jsfiddle.net/nicobrenner/a1t869qf/ 링크에서 직접 실험할 수 있다는 안내, Blursort 2x2를 몇 번 누르고 Animate를 클릭해 애니메이션 생성 가능, 이미지 복사/붙여넣기도 지원, 별도의 백엔드 없이 브라우저에서만 동작, 모바일에선 추천하지 않는다는 정보 공유

    • 3D에서도 작동할 수 있을지 궁금증 표현

  • 가벼운 읽기를 기대했지만 꽤 긴 글이어서, 일하다가 잠깐 스킴하게 됨, 나중에 다시 와서 여러가지를 시도해볼 계획, 정말 잘 만들어진 글이라는 감탄

  • 글이 매우 잘 쓰였다는 의견, "middle out" 넘버링 시스템을 어떻게 고안했는지 공유 요청, 수학 문제를 혼자 풀 때는 이렇게 영감 있는 아이디어가 잘 떠오르지 않는다는 고민

    • 글에서는 조금 순서가 뒤바뀌었지만, 프랙탈이 5배씩 성장하는 방식, 진수 5 숫자체계, 그리고 글에서 언급된 "나선"이 모두 자연스럽게 맞물릴 수 있다는 걸 어느 순간 깨달으면서 아이디어가 형성되었다는 설명, 프로그래밍적으로 프랙탈을 그리는 방법도 많이 고민했고, 자연스럽게 가운데에서 시작해서 밖으로 확장하는 방식을 생각함, Richard Feynman이 여러가지 문제를 머리로 간직하고 천천히 발견을 쌓다가 극적으로 해결하곤 하는 일화가 있는데, 자신도 비슷하게 하나의 문제에서 그런 경험을 했으나 아직 그 수준까지는 멀었다는 겸손한 설명

  • 흥미롭게 빠져들다가 "wallflower" 프랙탈을 그리는 L-system을 생각해냄, https://onlinetools.com/math/l-system-generator?draw=AB&skip... 링크를 통해 확인 가능, 다시 생각해보니 아마도 다른 프랙탈을 생성하는 걸지도 모른다는 고백

  • 멋진 글이라는 칭찬, 벽에 프랙탈을 직접 설치한 사진이 있었으면 했다는 기대, Knuth 영상 링크가 아주 괜찮았지만 이제까지 몰랐던 것에 놀람

    • 마지막 이미지 왼쪽에 그것이 있는 게 아니냐는 질문

  • 비슷한 방법이 디테일 조정이 가능한 디더링 패턴 제작에도 적용될 수 있을지 궁금증 제기

  • 좋은 글이라는 감상과 함께, Jurassic Park로 유명한 Heighway dragon도 꽤 멋지다는 추천, https://en.m.wikipedia.org/wiki/Dragon_curve 링크 첨부

  • 약간 프로펠러처럼 보인다는 인상 언급

    • 네 팔이 모두 한 방향으로 굽은 형태는 불행히도 온갖 스와스티카 모양을 연상시키기 쉬운 점 지적

  • 재미있는 경험이었다는 소감

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