GN⁺: 실패할 수 없는 Kelly 전략

소개

• Kelly 베팅 할당 전략은 도박 상황에서 정보를 최대한 활용하는 시스템으로, 매우 공격적이고 높은 변동성을 가진 전략으로 알려져 있음.
• Peter Winkler의 책 _Mathematical Puzzles_에서 "Next Card Bet"라는 카드 게임을 소개하며, 이 게임에서 Kelly 전략이 위험이 없고 변동성이 없는 상황을 설명함.

게임

• 게임은 52장의 카드 덱(26장의 빨간 카드와 26장의 검은 카드)으로 진행되며, 플레이어는 $1의 자본으로 시작함.
• 각 카드는 한 번씩만 노출되며, 플레이어는 다음 카드가 빨간색인지 검은색인지에 대해 현재 자본의 일부를 베팅할 수 있음.
• 카드의 수를 세어 남은 카드의 색을 추론하여 베팅 전략을 세울 수 있음.

Kelly 전략

• Kelly 전략은 자본의 기대 로그를 최대화하는 베팅을 선택하는 것임.
• r은 남은 빨간 카드 수, b는 남은 검은 카드 수로 가정하고, r > b일 때 bet_fraction = (r - b) / (r + b)로 베팅 비율을 계산함.
• r = b일 때는 베팅하지 않으며, r > b일 때는 빨간색에, b > r일 때는 검은색에 베팅함.

전략 시도

• Python을 사용하여 Kelly 전략을 시뮬레이션함.
• 10,000번의 게임을 통해 각 실행에서 초기 자본의 9.08배의 수익을 얻었으며, 결과에 변동성이 없었음.
• 이는 일반적인 Kelly 전략과는 다르게 변동성이 없는 결과임.

설명

• (52 choose 26)의 가능한 카드 배열 중 하나가 정확히 맞아떨어질 때, 포트폴리오 전략은 2^(52)의 배수로 자본을 증가시킴.
• Kelly 전략과 포트폴리오 전략이 동일한 결과를 내며, Kelly 전략이 변동성이 없는 이유를 설명함.

해설

• Kelly 전략은 다수의 색에 베팅함으로써, 잘못된 베팅이 발생할 때마다 덱이 더 불균형해져 유리해짐.
• 정보나 불확실성을 적절히 가격화하는 Kelly 전략의 특성을 강조함.
• Winkler의 Mathematical Puzzles 책을 추천하며, 이와 유사한 문제들을 다룸.

[neo]

Hacker News 의견

• 무한히 지분을 나눌 수 있어야 항상 이익을 얻을 수 있음

  • 예를 들어, 26장의 빨간 카드가 위에 있을 때 초기 $1.00 지분이 0.000000134로 줄어들었다가 9.08로 다시 올라감

• 포트폴리오 논쟁은 불필요한 우회로라고 생각함

  • 귀납법을 통한 두 줄의 증명이 있음
  • 기본 사례 (0,1) 또는 (1,0)에서의 수익은 2임

• 카드 게임의 유사한 예시가 Timothy Falcon의 금융 인터뷰 책에서 설명됨

  • Gwern이 이를 설명하고 최적의 중지 전략을 증명하는 코드를 작성함

• Kelly 기준에 대한 흥미로운 부가 설명

  • Proebsting의 역설은 Kelly 기준이 파산으로 이어질 수 있음을 보여주는 논쟁임
  • 수학적으로 해결 가능하지만 실제 적용에서 흥미로운 문제를 제기함

• Kelly 기준은 게임 이론의 개념 중 하나로, 프로 도박사들이 자금 관리를 위해 많이 사용함

  • 이진 결과에 대한 기준이지만, 이진이 아닌 상황에 적용할 때 왜곡된 결과가 나타날 수 있음

• 더 관리하기 쉬운 숫자로 줄이면 더 나은 데모가 될 것임

  • 예: 2장의 검은 카드와 2장의 빨간 카드로 구성된 덱

• 결과에 변동이 없는 것을 보는 것이 매우 흥미로움

  • Kelly 전략이 이 문제에서 최적인지 궁금함

• Kelly라는 이름을 가진 사람으로서 자신감에 감사함

• 문제와 해결책이 Thomas Cover에서 비롯된 것 같음

  • Kelly 기준을 가르친 수업에서 배웠으며, 그의 수업은 항상 흥미롭고 가치 있었음

• 여러 RNG 시드로 확인됨

  • RNG가 각 실행마다 발전하므로 문제가 되지 않음