라마누잔의 천재성을 따라잡지 못하는 수학

 (quantamagazine.org)
2P by GN⁺ | ★ favorite | 댓글 1개
  • Srinivasa Ramanujan이 남긴 Rogers-Ramanujan 항등식과 분할 항등식은 100여 년 뒤에도 여러 수학 분야에서 반복적으로 나타나며 새 연구의 출발점이 되고 있음
  • 가난과 정규 교육의 단절 속에서도 Ramanujan은 1912년 G.H. Hardy와의 서신을 계기로 Cambridge에서 연구했고, 1920년 32세로 사망하기 전 수천 개의 결과를 남김
  • Rogers-Ramanujan 항등식은 복잡한 무한합과 무한곱이 같아지는 구조를 통해, 서로 다른 조건의 정수 분할이 같은 개수로 맞물리는 뜻밖의 연결을 보여줌
  • Hussein Mourtada와 동료들은 특이점의 arc space를 층으로 나눠 세는 과정에서 같은 구조를 발견했고, Pooneh Afsharijoo와 더 복잡한 특이점에서 새 분할 항등식을 찾고 있음
  • Ken Ono, William Craig, Jan-Willem van Ittersum의 소수 판별 공식은 분할과 곱셈적 수론 사이에 아직 설명되지 않은 깊은 관계가 남아 있음을 드러냄

Ramanujan이 남긴 문제의 지속성

  • Srinivasa Ramanujan은 자기 학습형 천재의 상징처럼 여겨짐
    • 인도 남부에서 고립된 상태로 많은 연구를 했고, 먹을 것을 구하기 어려울 정도로 가난했음
    • 1912년 24세에 여러 저명 수학자에게 자신의 결과를 담은 편지를 보냈으며, 대부분 무시됐지만 G.H. Hardy가 답장을 보냄
    • Hardy는 약 1년 동안 서신을 주고받은 뒤 Ramanujan이 영국으로 올 수 있도록 도움
  • 1920년 32세에 사망하기 전까지 수천 개의 우아하고 놀라운 결과를 만들었고, 많은 결과에는 증명이 없었음
  • 그의 식들은 100년이 지난 뒤에도 서로 멀어 보이는 분야에서 다시 등장함
    • 통계역학과 상전이
    • 매듭 이론과 끈 이론
    • 수론과 표현론
    • 대칭성 연구
    • 대수기하의 곡선과 곡면 연구

Rogers-Ramanujan 항등식의 출발

  • Ramanujan은 고등학교 시절부터 고급 교재를 읽으며 수의 성질과 패턴을 독립적으로 연구함
  • 1904년 Kumbakonam의 Government Arts College에서 전액 장학금을 받았지만, 수학 외 과목을 무시해 1년 안에 장학금을 잃음
  • 이후 Madras의 대학에도 등록했으나 졸업하지 못했고, 1912년 Madras Port Trust의 사무원으로 일하면서 수학을 계속함
  • Hardy에게 보낸 편지에는 연분수에 관한 결과들이 들어 있었음
    • Hardy는 훗날 그 식들이 자신을 완전히 압도했으며, 거짓이라면 누구도 그런 식을 상상해낼 수 없었을 것이라고 회고함
    • 증명되지 않은 식들은 Hardy가 Ramanujan에게 Cambridge 펠로십을 제안하는 계기가 됨
  • Ramanujan은 자신의 연분수 일반 명제를 증명하려 했지만 필요한 두 명제를 끝내 증명하지 못함
    • Hardy와 동료들도 증명에 실패함
    • 이후 그 명제들은 L.J. Rogers가 20년 전 이미 증명했지만 거의 주목받지 못했던 것으로 드러남
    • 이 두 명제가 나중에 Rogers-Ramanujan 항등식으로 불리게 됨

분할 항등식이 보여주는 뜻밖의 등식

  • Rogers-Ramanujan 항등식은 각각 복잡한 무한합을 복잡한 무한곱과 같게 둠
  • 이 항등식은 덧셈과 곱셈이라는 별개처럼 보이는 구조 사이의 연결을 드러냄
  • Percy MacMahon은 이 식의 양변이 모두 정수 분할을 세는 방식으로 해석될 수 있음을 알아봄
    • 정수 4의 분할은 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1로 총 5개
    • 정수 200의 분할 수는 거의 4조 개
  • Leonhard Euler는 18세기에 첫 분할 항등식을 증명함
    • 어떤 정수든 모든 부분이 홀수인 분할 수는 모든 부분이 서로 다른 분할 수와 같음
  • 첫 번째 Rogers-Ramanujan 항등식은 한 정수에 대해 전혀 다른 두 조건이 항상 같은 개수를 낸다는 사실을 보여줌
    • 한쪽은 중복되거나 연속된 부분이 없는 분할을 셈
    • 다른 한쪽은 5로 나눴을 때 나머지가 1 또는 4인 부분만 갖는 분할을 셈
    • Shashank Kanade는 여기서 “왜 5가 나오는가”를 특히 이상한 점으로 봄

여러 분야에서 반복해서 등장한 항등식

  • 1970년대 후반 Rodney Baxter는 상전이를 이해하기 위한 단순화한 기체 모델을 만들다가 통계역학 관점에서 Rogers-Ramanujan 항등식을 다시 발견함
  • 비슷한 시기 James Lepowsky와 Robert Wilson은 이 항등식이 표현론에서도 나타난다는 사실을 증명함
    • 이 결과는 vertex operator algebra 이론이라는 새 분야를 여는 계기가 됨
    • vertex operator algebra는 오늘날 끈 이론에서 사용됨
    • 이 이론은 군론의 “monstrous moonshine” 추측 증명에도 중요한 역할을 함
  • 1990년대와 2000년대에도 항등식은 여러 분야에서 이어짐
    • 수론의 modular forms 연구
    • Markov chain 관련 확률론
    • 매듭을 구분하고 분류하는 다항식을 다루는 위상수학
  • 각 분야의 기법으로 항등식을 다시 증명할 수 있었고, 그 연결을 이용해 새 항등식도 만들어짐

Mourtada의 특이점 연구와 arc space

  • Hussein Mourtada는 박사과정 이후 대수기하에 집중함
    • 대수기하는 다항식 방정식으로 정의되는 도형, 즉 대수다양체를 연구함
    • 직선은 x + y = 0, 원은 x² + y² = 1, 8자 모양은 x⁴ = x² − y² 같은 식으로 나타낼 수 있음
  • 8자 모양처럼 자기 자신과 만나는 점은 특이점임
    • 종이에 그릴 수 있는 도형의 특이점은 쉽게 볼 수 있음
    • 고차원 대수다양체의 특이점은 시각화하기 어려움
  • John Nash는 1960년대에 특이점을 이해하기 위해 arc space라는 관련 대상을 연구함
    • 한 점 또는 특이점을 지나가는 무한히 많은 짧은 궤적을 정의함
    • 이 짧은 궤적들을 함께 보면 그 점에서 다양체가 얼마나 매끄러운지 테스트할 수 있음
  • arc space는 실제로 무한한 다항식 방정식들의 집합을 제공함
    • Bernard Teissier는 Mourtada가 이 방정식들의 의미를 이해하는 데 전문성이 있다고 봄
    • 방정식들은 복잡하지만 그 성질을 지배하는 구조가 많이 남아 있음

특이점 안에서 다시 발견된 Rogers-Ramanujan

  • Mourtada와 Jan Schepers, Clemens Bruschek은 단순한 특이점의 arc space를 연구하며 그 공간을 층으로 나눔
  • 각 층에 있는 다항식 수를 세던 중, Mourtada는 그 수열이 익숙하다는 점을 알아차림
  • 2010년에는 fat point라는 단순 특이점의 arc space를 층으로 나누고 각 층의 다항식 수를 세다가 Rogers-Ramanujan 항등식의 합 쪽과 같은 구조를 발견함
    • 그는 분할과 다른 대상을 세고 있었지만, 실제로는 같은 것을 세고 있음을 깨달음
    • 어떤 분할에도 다항식 방정식을 연결할 수 있다는 사실은 오래전부터 알려져 있었음
    • Mourtada의 arc space 각 조각은 특정 다항식 부분집합, 따라서 특정 분할 부분집합만 포함했음
  • Mourtada, Bruschek, Schepers는 자신들의 arc space 구조가 이 항등식으로 설명될 수 있음을 증명함
  • 이 단순한 사례 이후 Mourtada는 10년 넘게 더 일반적인 형태로 연구를 확장함

Afsharijoo와 새 분할 항등식

  • Pooneh Afsharijoo는 2015년 프랑스에서 Mourtada의 지도로 대학원 연구를 시작함
  • 두 사람은 더 복잡한 특이점과 그 arc space를 연구하며 많은 새 항등식을 찾음
  • Afsharijoo는 Rogers-Ramanujan 항등식의 확장도 발견함
    • 원래 항등식은 같은 수의 분할이 서로 매우 다른 두 조건을 만족함을 말함
    • Afsharijoo는 여기에 세 번째 조건을 발견해 100년 넘은 항등식의 범위를 넓힘
  • 현재 두 연구자는 점과 변으로 이루어진 그래프를 이용해 arc space의 정보를 표현함
    • 이를 통해 그래프 이론 도구를 적용함
    • 추가적인 새 분할 항등식을 찾는 데 활용하고 있음

분할 항등식으로 소수를 판별하기

  • Ken Ono, William Craig, Jan-Willem van Ittersum은 9월에 분할 항등식의 또 다른 응용을 발표함
  • 이들은 분할을 세는 함수를 이용해 소수 판별 공식을 만들었음
    • 어떤 소수를 공식에 넣으면 0이 나옴
    • 소수가 아닌 수를 넣으면 양수가 나옴
    • 이 방식으로 정수 전체에서 소수 집합을 골라낼 수 있음
  • Ono는 분할이 덧셈과 세기에 관한 대상인데도 곱셈적 성질인 소수 여부를 정확히 판별할 수 있다는 점을 의문으로 둠
  • 이들은 modular forms 이론을 활용해 이 공식이 더 큰 계열의 일부임을 찾음
    • 그런 소수 판별 함수는 무한히 많음
  • 이 결과는 분할과 곱셈적 수론 사이의 더 깊은 관계를 탐구하게 만듦

Ramanujan의 유산이 계속 확장되는 이유

  • George Andrews는 분할 이론이 매우 기본적이며, 무언가를 세고 더하는 일이 거의 모든 수학 분야에서 일어난다고 봄
  • 하지만 그 연결의 정확한 성격을 파악하기는 어렵고, Ken Ono는 올바른 관점을 얻는 일이 중요하다고 봄
  • Shashank Kanade에게 Ramanujan의 작업은 하나의 항등식에서 끝나는 막다른 길이 아니라 항상 빙산의 일각임
  • Mourtada는 Ramanujan이 자신 같은 사람이 상상할 수 없는 것을 상상할 수 있었다고 말함
  • 새로운 수학 분야의 발전 덕분에, 오늘날 연구자들은 Ramanujan이 직관만으로 찾았을 법한 새 분할 항등식을 계속 찾아가고 있음

함께 보면 좋은 글 β

GN⁺   [-]
Hacker News 의견들

  • 재미있는 글이었고, 특히 Ramanujan이 수학 외 여러 과목에서는 흥미가 없어 실패했다는 점이 눈에 띄었음
    사회와 규범은 학생들이 다양한 과목을 배우길 기대하지만, 누군가에게는 그 과목들이 전혀 흥미롭지 않을 수 있음
    숙제와 지루한 수업을 견디며 A를 받기 위한 암기 노동 때문에 얼마나 많은 천재성을 놓치는지 궁금함
    대부분은 그런 과목 내용을 거의 기억하지 못하고, 최우수 학생들도 대체로 평균보다 조금 나은 성취에 머무는 듯함
    Ramanujan 같은 사람은 운 좋은 기회를 얻지 못했다면 평균의 바다에 묻혀, 규범 때문에 재능이 닫혀 있었을 것 같음
    읽어본 비범한 인물들은 거의 모두 잊히기 직전에서 어떤 거대한 기회를 만나 도약한 것처럼 보임

    • 오히려 반대로 봐야 한다고 생각함
      공교육이 아이들을 많은 과목에 노출시키는 건 좋은 일이고, 그래야 무엇과 맞는지 발견할 수 있음
      진짜 위험은 어떤 과목을 아예 접해보지 못하는 것이며, 전공을 좁히는 곳은 대학이라고 봄
    • Ramanujan은 아마 1억 명 중 1명 수준의 천재였고, 그와 평범한 전교 1등 사이의 격차는 전교 1등과 평균 학생 사이의 격차보다 훨씬 큼
      그 같은 사람에게 맞춰 학교를 최적화하면 나머지 99,999,999명에게는 잘 작동하지 않을 가능성이 큼
      게다가 그 1명에게도 정확히 맞추기 어렵고, 극단적 이상치는 일반화 가능한 패턴이 거의 없음
      젊은 Ramanujan에게 이상적인 교육은 젊은 Von Neumann에게 이상적인 교육과도 다를 수 있음
      이상적으로는 모든 아이에게 극도로 개인화된 교육을 주면 좋겠지만 말처럼 쉽지 않고, 그나마 극단적 천재를 찾아 투자하는 방식은 이미 시도하고 있음
    • Ramanujan이 업적을 냈을 때도 규범은 존재했고, 가장 엄격한 제도조차 비범한 사람에게는 예외를 허용해 왔음
      다만 대체로 평균적인 사람들이 “제도가 내 창의성을 억눌러서 그렇지 나는 천재였을 것”이라고 주장하는 경우가 많음
      진짜 천재인 아이들이 10년 넘는 초등·중등 교육을 거치면서도 창의성을 표출할 출구를 전혀 찾지 못한다는 건 믿기 어려워서, 놓치는 경우는 많지 않거나 거의 없다고 봄
    • Ramanujan 같은 천재를 찾는 데 최적화한다면 맞는 말일 수 있고, 교육 제도의 틈으로 빠지는 사람도 많을 것임
      하지만 우리가 최적화해야 할 대상이 그것이라고 보진 않음
      다수의 사람은 좋아하지 않는 것도 배우도록 어느 정도 강제되지 않으면 고용 가능성이 크게 떨어질 수 있음
      공학이나 과학을 좋아하면 운이 좋지만, 예술 문학에만 관심이 있다면 상대적으로 운이 덜 좋음
    • 내 해법은 과목마다 상한이 있는 성적 대신, 제한 없는 숙련 단계를 두는 것임
      어떤 단계에 도달하려면 시험을 통과하거나 특정 기술을 증명해야 함
      어떤 과목과 어느 단계까지 갈지는 각 아이가 선택하되, 무언가를 선택해 다음 단계로 나아가려는 노력은 의무로 둠
      여러 과목을 탐색하고 최소한의 단계는 달성하도록 장려할 수도 있음
      또한 나이가 아니라 과목별 수준으로 아이들을 묶고, 약간 다른 수준의 아이들이 함께 훈련하게 함
      높은 단계의 아이들은 낮은 단계의 아이들을 돕고, 낮은 단계의 아이들은 높은 단계의 아이들을 존중하도록 배워야 함

  • 이 스레드는 우리 사회에서 교육을 논하기 어려운 이유를 잘 보여줌
    일반적인 논점이나 메타 관찰을 꺼내려 하면, 곧바로 각자가 교육 과정에서 겪은 개인적 일화가 대량으로 밀려와 삼켜버림
    다른 주제에서도 비슷한 현상이 있을 수 있지만, 학교 얘기가 나오자마자 길고 자세하며 감정이 강한 일화가 이렇게 빠르게 쏟아지는 경우는 잘 떠오르지 않음
    교육 구조가 왜 사람들에게 이렇게 털어놓고 싶게 만드는지 생각해 왔고, 전체적으로 오래 남는 강한 불편감이 있는 것처럼 보임
    학대적 관계와 비슷해서, 더 나은 관계, 즉 다른 교육 구조로 나아가기 위한 감정적 작업이 어느 순간 너무 커지고, 결국 “버티기”에만 집중하게 되는 것 같기도 함
    덧붙이면 글 전체를 읽었고 Ramanujan을 좋아하지만, 그의 존재를 알고 나니 대학 수학 수업이 그가 하던 일과 너무 멀어 보여 훨씬 힘들어졌음

    • 또 다른 힘은 모든 인구 규모에서 작동하는 플라톤적 이상 교육 제도가 있다고 가정하는 데서 나온다고 봄
      그렇게 큰 것을 확장하려 하면 사람들을 제도 안의 상자에 넣어야 하고, 인간 사이의 작고 세부적인 차이를 필연적으로 무시하게 됨
      하지만 개인 입장에서는 그 작은 차이를 무시하는 방식이 잘 작동하지 않고, 그 부분이 자아를 건드리기 때문에 좌절을 말할 기회를 반기게 됨
    • 여기 있는 거의 모든 사람이 최소 10년 이상의 개인적 교육 경험을 갖고 있기 때문이라고 봄
      HN에서 obscure한 주제의 글이 올라오면 댓글에 실제 경험자가 나타나 이야기를 나누는 점을 좋아하는 사람이 많은데, 교육은 모두가 그 사람이 될 수 있는 드문 주제임
    • 이 주제가 이런 부차적 논의로 넘어간 게 꽤 아이러니함
      분명히 하자면 Ramanujan은 인도 교육 제도의 산물이 아니며, 오히려 그 제도는 그에게 꽤 잔혹하고 정떨어지는 것이었음
      그는 독학 수학 신동이었고, 잘 알려진 두 편의 대형 전기 영화 외에도 인도의 여러 언어 TV 드라마들이 이 점을 반복해 강조함
      그는 주로 G.H. Hardy의 Inequalities와 여러 책으로 스스로 공부했으며, 그 책들은 지금 클릭 한 번으로 무료 접근 가능함
      누구도 수학 공부를 막고 있지 않고, 교육이 있느냐 없느냐는 이 문제와 별 관련이 없다고 봄
    • 교직은 필요성이 더 명확한 다른 전문직만큼 도덕과 윤리를 강하게 통합하지 못했음
      여기에 교사 “품질”을 측정하는 방식이 결합되면서, 평균적인 학교 교사는 “성과”를 내기 위해 학생을 공개적으로 괴롭히는 데 가까운 전술과 방법론을 쓰는 경우가 생김
      교사와 학생은 서로를 선택하는 과정을 거치지 않고, 특히 나쁜 조합을 관리하는 절차도 없음
      그냥 배정되고 서로에게 묶이며, 교직의 윤리적 실패가 곳곳에 드러남
    • https://medium.com/eedi/how-i-wish-id-taught-maths-8ec9b0578...에서 인용하면, 교육 연구를 읽기 시작한 날 삶이 바뀌었다고 함
      Daniel Willingham의 Why Don’t Students Like School에서 시작해 American Federation of Teachers의 Ask the Cognitive Scientist 글과 관련 논문을 탐독했고, Greg Ashman의 블로그와 팟캐스트를 통해 인지 부하 이론을 접했으며, Dylan Wiliam과 Robert·Elizabeth Bjork의 연구까지 이어졌다고 함
      어느새 책과 논문을 200편 넘게 읽었고, 한밤중에 아이디어로 머리가 들끓어 깨어나곤 했다는 내용임

  • Ramanujan 이야기에서 진정한 MVP는 G.H. Hardy임
    지구 반대편의 무명의 사람, 더구나 당시 시각으로는 “native” 취급받던 이가 보낸 편지를 읽고 진지하게 받아들였고, 그를 영국으로 데려올 자원까지 조직했음
    Ramanujan이 보낸 다른 사람들은 이해할 만하게도 모두 무시했음
    그가 그렇게 젊은 나이에 세상을 떠난 건 비극임

    • 과거 세계에서 인간 잠재력이 얼마나 낭비됐는지 이해하려면, Ramanujan이 당시 인도에서 교육받도록 여겨진 극소수 카스트, 아마 인구의 5% 미만에 속했다는 점을 봐야 함
      Ramanujan의 짧은 삶 자체도 세계의 손실이지만, G.H. Hardy가 없어서 무시된 Ramanujan들이 얼마나 많았을지, 그리고 나머지 95% 안의 Ramanujan들은 어땠을지 상상하게 됨
    • 동의함
      G.H. Hardy가 Ramanujan을 대했던 양육적 태도와, 수십 년 뒤 Arthur Eddington이 Subrahmanyan Chandrasekhar를 대했던 사소하고 뒤통수치는 태도를 대비해 보면 흥미로움
      관련 링크가 많은 논의는 https://news.ycombinator.com/item?id=41284239에 있음
    • Hardy가 없었다면 우리는 Ramanujan이 한 일의 일부만 알았을 것임
    • 여기서 “savage native”가 무슨 뜻인지 모르겠음
      그는 길고 풍부한 지적 전통을 가진 문화에서 왔음
    • 전문적 삶에서는 노출과 기회가 정말 중요함
      세상에는 가치 있는 것이 많지만, 누군가가 그것을 찾아내고 밀어줘야 함

  • “그 명제들은 20년 전 L.J. Rogers라는 잘 알려지지 않은 영국 수학자가 증명한 것이었다… Rogers는 비교적 무명인 채 연구하고, 피아노를 치고, 정원을 가꾸고, 남는 시간을 여러 활동에 쓰는 데 만족했다”는 대목이 신성하게 영감을 줌

    • 맞음
      일하는 많은 소프트웨어 엔지니어에게는 은퇴 후 꿈이기도 함

  • Srinivasa Ramanujan처럼 복잡한 분할과 항등식을 꿈에서 얻었다고 한 수학자들의 이야기는 늘 매혹적임
    마치 마음이 숨겨진 지식의 저장소에 접속하는 것 같음
    이런 직관적 도약을 무엇이 이끄는지 궁금함
    Ramanujan의 뇌가 수면 중에도 조용히 패턴을 처리하며 아직 우리가 이해하기 어려운 기본 모드 네트워크를 활용한 것인지, 아니면 복잡한 신경망의 창발적 속성이거나 Jung의 집단 무의식을 엿본 것인지 궁금함
    최근 신경과학, AI, 인지심리학의 발전이 Ramanujan 같은 혁신가가 숨겨진 통찰에 접근하는 방식을 설명해 주는지, 아니면 아직도 “천재는 신비롭다”의 영역에 머물러 있는지 알고 싶음

    • 기본부터 보면 Ramanujan은 도서관에서 엄청난 시간을 보내며 수학 문헌을 파고든 것으로 알려져 있음
      개인적으로도 영적으로도 수학에 집착했고, 수학을 신성의 표현으로 여겼음
      따라서 그의 기억 상당 부분이 이미 수학적이었고, 무작위로 떠오르는 것 역시 수학적이었을 가능성이 큼
    • 글에서도 나오듯 그는 문헌에 익숙했음
      인도에 있을 때도 다른 수학자들과 소통하고, 논문을 읽고, 학술지에 제출했지 동굴 속 은둔자가 아니었음
      결과를 꿈에서 그냥 얻었다는 주장은 그를 둘러싼 신화의 일부라고 봄
      읽어본 바로는 그는 공식을 유도하는 고된 작업을 많이 했지만 최종 결과만 발표했기 때문에, 아무것도 없는 데서 소환한 것처럼 보이는 것임
      Hardy에게 그 결과를 유도하는 모든 단계를 담은 책 한 권 분량의 편지를 보낼 수는 없었을 것임
    • Swami Vivekananda의 Karma Yoga 1장에 관련된 구절이 있음
      엄밀한 심리학적 언어로는 사람이 “안다”는 것은 “발견한다” 또는 “드러낸다”는 뜻이고, 사람이 “배운다”는 것은 무한한 지식의 광산인 자신의 영혼에서 덮개를 걷어내 “발견하는” 것이라고 함
      Newton이 중력을 발견했다고 할 때, 그것이 어딘가 구석에 앉아 기다리고 있었던 게 아니라 그의 마음 안에 있었고, 때가 되어 찾아낸 것이라는 설명임
      세계가 받은 모든 지식은 마음에서 나오며, 우주의 무한한 도서관은 자신의 마음 안에 있고, 외부 세계는 마음을 연구하게 만드는 암시와 계기일 뿐이라는 내용임
      Ramanujan이 꿈에서 신성하게 공식을 계시받았다는 이야기를 읽을 때마다 Vivekananda의 의식과 마음에 관한 이 구절이 떠오름
      또 Mundaka Upanishad 2.2.9에는 “모든 존재 안에 숨은 Self는 드러나 빛나지 않지만, 예리하고 미세한 지성을 가진 미세한 것을 보는 이에게 보인다”는 취지의 구절이 있음
      궁극적 지식이나 진리는 모든 존재 안에 숨어 있고 섬세한 내적 지각을 통해 드러나며, 지식은 마음 안에 잠재해 있고 외부에서 찾는 것이 아니라 발견되는 것이라는 뜻임
    • 소프트웨어 하나를 엄청나게 오래, 거의 지나치게 붙잡고 있으면 꿈에서 해결책을 떠올리고 깨어나 적어두는 일이 생김
      그렇게 드문 현상은 아님
      물론 그 해결책이 for 루프일 수도 있으니 Ramanujan과 비교하는 건 아니지만, 극히 희귀한 현상은 아님
    • Ramanujan 같은 사람들은 무엇이 달랐고, 어떻게 숨겨진 지식 저장소에 접속했는지, 그리고 그것을 어떻게 재현할 수 있는지 궁금함
      한 사람이 꿈에서 이런 지식에 접속했다면 가능하다는 신호이기도 함
      이제 어떻게 이것을 모두에게 기본값으로 만들 수 있을지가 궁금함
      멕시코에서 세균에 저항성이 있는 밀 품종 하나를 찾아 전 세계로 복제한 것처럼, 인간에게도 비슷한 일을 할 수 있을지 생각하게 됨
      표현이 마음에 들진 않지만 느낌은 전달되길 바람

  • Ramanujan과 그의 작업을 더 알고 싶은 사람에게는 몇 가지 자료가 있음

    1. 인도 수학자 Narendra Kumar Govil과 Bhu Dev Sharma의 Mathematics Wizard Srinivasa Ramanujan: Some glimpses into his Life and Work는 그의 삶과 수학 입문, 추가 자료 링크를 담은 좋은 전기이고, Robert Kanigel의 The Man Who Knew Infinity와 잘 보완됨
    2. 수학자들이 Ramanujan에게 왜 매혹되는지 이해하려면 Ramanujan에게서 영감을 받아 수학자가 됐다고 말하는 Prof. Ken Ono의 강연 Why Does Ramanujan, "The Man Who Knew Infinity," Matter?를 보면 좋음 - https://www.youtube.com/watch?v=7ynhiZJUMzA
    3. YouTube의 Mathologer는 1+2+3+... = -1/12 같은 Ramanujan의 유명한 항등식 일부를 잘 풀어 설명함 - https://www.youtube.com/results?search_query=mathologer+rama...
    4. Ramanujan의 출판 논문과 미출판 노트는 모두 온라인에서 볼 수 있음 - http://ramanujan.sirinudi.org/
      덧붙이면 제출된 글에서 George Andrews가 Ramanujan 넥타이를 매고 있음

  • 글에서 인터뷰 대상자 중 한 명의 최근 논문[1]이 McMahon 분할 함수를 소수 판정에 사용한다고 나옴
    실행 시간이 AKS 소수 판정이나 더 실용적인 BPSW[2]와 어떻게 비교되는지 궁금함
    실용 암호학에 적용될 수 있을지도 궁금함

    1. https://arxiv.org/abs/2405.06451v2
    2. https://en.wikipedia.org/wiki/Baillie%E2%80%93PSW_primality_...

  • Ramanujan의 이야기는 아주 흥미롭지만, 더 많은 인도 수학자와 과학자들이 널리 알려졌으면 좋겠음
    Harish Chandra, C. R. Rao, Manjul Bhargava, Narendra Karmakar 같은 수학자와 C. V. Raman, Satyendra Nath Bose, Meghnad Saha 같은 물리학자, Har Gobind Khorana와 Venkatraman Ramakrishnan 같은 인물들도 있음

    • 맞음
      일부 인도인은 마땅한 인정을 받지 못하지만, 위안이 된다면 “서구” 수학자나 과학자 중에서도 널리 알려진 이름은 많지 않음
    • 개인적으로 Chandra, Rao, Bose는 바로 알아볼 수 있음
      수학자나 물리학자는 아니고 다른 사람들은 잘 모르지만, 인도인이 수학과 물리학, 아마 다른 분야에도 큰 공헌을 했다는 점은 잘 알고 있음
    • 이건 전적으로 인도 교육 제도와 대중매체의 책임
      현재 세대는 이런 인도의 위대한 인물들을 거의 모름
      현 상태를 고치려면, 1) 인도 New Delhi의 CSIR 산하 NIScPR이 발행하는 월간지 Science Reporter를 모두가 구독해 인도 과학 전반을 접해야 함 - https://sciencereporter.niscpr.res.in/
      2) Springer에서 나온 Purnendu Ghosh 등의 The Mind of an Engineer 두 권짜리 책에는 최근 과학자·연구자·엔지니어들의 글이 실려 있음 - https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-10-0119-2
      3) 여러 저자의 인도 과학·과학자 관련 책들이 Amazon India에 있고 구해볼 만함
      4) 위대한 천체물리학자·우주론자 Jayant Narlikar(https://en.wikipedia.org/wiki/Jayant_Narlikar)의 책, 특히 The Scientific Edge: The Indian Scientist From Vedic To Modern Times - https://www.penguin.co.in/book/the-scientific-edge/와 Science and Mathematics: From Primitive to Modern Times - https://www.routledge.com/Science-and-Mathematics-From-Primi...도 보면 좋음
    • Satyendra Nath Bose라는 이름은 대부분 알아보지 못할 것 같음
      하지만 모두가 boson은 들어봤으니, 그는 어느 정도 불멸화된 셈이고 대부분보다 더 오래 남았음
    • 인도의 Universities Press가 G Venkataraman의 Vignettes in Physics 시리즈를 냈고, Saha, Bhabha, Bose, Chandra, Raman에 관한 책도 있었음
      https://universitiespress.com/books?id=0&sid=161
      National Book Trust에도 인도 과학자들에 관한 책이 여러 권 있음

  • Ramanujan은 전 세계 여러 세대의 수학자들에게 영감을 준 사람임
    그의 삶은 아름다운 비극이었고, 경외감과 깊은 슬픔을 동시에 남김
    엄격한 전통적 브라만 가문 출신이라면 배를 타고 바다를 건너는 것만으로도 파문당할 위험이 있었음
    그가 온 문화적 배경은 전체 이야기를 더 전설적으로 만듦
    상투를 자르고 dhoti를 포기해 서양식 양복을 입는 일까지, 우리는 그가 자신의 수학을 주기 위해 무엇을 겪고 무엇을 포기했는지 이해하지 못함
    자신의 예술을 실천하고 존재하기 위해 감수해야 했던 희생이 있었음

  • G.H. Hardy가 쓴 A Mathematician's Apology는 꼭 읽어보길 권함
    수학자의 뇌가 어떻게 작동하는지 이해할 수 있는 최고의 비수학 텍스트 중 하나라고 생각함
    https://en.wikipedia.org/wiki/A_Mathematician%27s_Apology
    꽤 짧고 아름답게 쓰였음

답변달기