스퀘어 이론

 (aaronson.org)
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  • 단어놀이와 크로스워드에서 네 꼭짓점과 네 관계가 닫힌 사각 구조를 만들면, 우연한 발견처럼 단단하고 만족스럽게 느껴진다는 아이디어임
  • 출발점은 Crosscord의 #etuiposting에서 나온 double doubles로, PUB/BAR와 QUIZ/EXAM처럼 두 쌍의 동의어가 PUB QUIZ와 BAR EXAM이라는 서로 다른 구로 이어지는 구조임
  • 이 패턴은 동의어 조합을 넘어 물음표 크로스워드 단서, 논문 제목, 브랜드명, 말장난 농담까지 확장되며, 네 변의 관계가 강할수록 설득력이 커짐
  • 사각형은 삼각형과 달리 서로 맞닿지 않는 마주 보는 변이 있어, 그 사이의 연결이 더 뜻밖이고 우아하게 느껴짐
  • 크로스워드는 단서, 테마, 격자까지 모두 사각 구조를 공유하며, 모든 글자가 Across와 Down 단어에 동시에 속하는 재귀적 구조가 만족감을 만듦

Crosscord에서 시작된 double doubles

  • 이야기는 5,000명 이상이 모인 크로스워드 Discord 서버 Crosscord에서 시작됨
  • #etuiposting은 ETUI라는 크로스워드식 단어에서 이름을 딴 잡담·말장난 채널이었고, 2022년 1월 Alex Boisvert가 작은 관찰을 올림
  • Will Nediger는 MULTITOOL과 MULTIPLIERS를 예로 들었고, Alex는 PUB QUIZ와 BAR EXAM을 이어서 꺼냄
    • PUB와 BAR는 서로 동의어임
    • QUIZ와 EXAM도 서로 동의어임
    • 하지만 PUB QUIZ와 BAR EXAM은 서로 동의어가 아님
  • 이런 “쌍의 쌍”은 이후 1년 동안 계속 올라왔고, 결국 #double-doubles라는 별도 스레드에 모임
  • Alex의 첫 프롬프트 이후 3년이 지난 시점에도 스레드는 활성 상태이며, 게시물 수는 3,000개 이상임

스퀘어 이론의 기본 구조

  • double doubles는 네 단어를 꼭짓점으로, 단어 사이의 관계를 변으로 둔 사각형으로 볼 수 있음
  • 이 닫힌 구조가 예시를 단순한 말장난이 아니라 “발견”처럼 느끼게 만듦
  • Ricki Heicklen은 2018년부터 이런 double doubles를 “Unparalleled Misalignments”라는 이름으로 큰 목록에 정리해 옴
  • 사각형을 이루는 관계는 꼭 “동의어”나 “구”일 필요가 없음
    • 각 변은 꼭짓점을 잇는 어떤 관계도 될 수 있음
    • 관계가 강할수록 사각형도 강해짐
    • 꼭짓점 역시 단어가 아니라 엔티티나 개념일 수 있음
  • 이런 추상성은 수학의 범주론(category theory)을 떠올리게 하며, 무엇을 꼭짓점과 변으로 삼든 사각형의 위상이 만족감을 만듦

물음표 단서, 이름, 농담에 나타나는 사각형

  • 크로스워드의 물음표 단서는 표면적 의미와 의도된 해석 사이를 오가며 답을 가리키는 사각형 구조를 자주 가짐
  • Will Shortz가 가장 좋아하는 단서로 든 1995년 Martin Ashwood-Smith 퍼즐의 “It turns into a different story”가 대표적임
    • 표면적으로는 “다른 상황으로 발전하다”처럼 읽힘
    • 의도된 해석은 “다른 층으로 회전하다”에 가까움
    • 답은 SPIRAL STAIRCASE임
  • 논문 제목이나 회사 이름도 그저 “그럴듯한” 이름보다 사각형을 완성할 때 더 강하게 남음
  • Brand New는 기업 리브랜딩을 다루는 블로그이며, 이름 자체가 사각형을 완성하는 사례임
  • Grubhub은 음식 배달을 위한 중앙 앱이라는 개념과 이름 사이의 관계가 사각 구조로 읽힐 수 있음
  • 말장난 농담 역시 사각형으로 모델링할 수 있음
    • 한 변은 “X에 Y가 있으면 뭐라고 부르나?” 같은 억지 설정임
    • 반대편은 펀치라인임
    • 설정, 펀치라인, 둘 사이 연결이 모두 강할수록 더 잘 작동함

왜 하필 사각형인가

  • 닫힌 고리 자체는 변의 수와 관계없이 매력적일 수 있음
    • 이야기가 원점으로 돌아오는 구조도 만족스러움
    • 서로 아는 세 사람의 삼각관계를 발견하는 일도 흥미로움
  • 사각형은 서로 인접하지 않는 변을 가진 가장 단순한 다각형임
  • 삼각형에서는 모든 변이 다른 두 변과 맞닿지만, 사각형에서는 마주 보는 두 변이 공통점을 갖지 않음
  • 그래서 마주 보는 변 사이의 연결은 더 우연하고 놀랍게 느껴짐
  • 오각형 이상에서도 같은 성질은 있지만, 변이 늘어나면서 복잡성이 커져 덜 우아해질 수 있음
  • Alex Boisvert의 JET BLACK / JETBLUE 예시는 삼각형처럼 보일 수 있지만, JET BLACK의 jet은 보석 jet에서 온 말이고 JETBLUE의 비행기 jet과 어원적으로 무관해 사각형으로 보는 편이 더 적절함

크로스워드 테마의 단단함

  • 미국식 크로스워드, 특히 New York Times식 퍼즐은 보통 4–6개의 긴 Across 항목으로 이루어진 테마를 가지며, 이를 묶는 revealer가 포함되는 경우가 많음
  • 현재 크로스워드 제작자들 사이에서는 “유명 농구 선수”나 “시리얼 브랜드” 같은 단순 묶음보다, 단어놀이 기반 연결이 있어야 풀이자가 “aha”를 느끼기 쉽다는 인식이 일반적임
  • 좋은 테마에는 일관성과 “tightness”가 중요하지만, 특히 강하게 남는 테마는 사각형을 완성하는 경우가 많음

  • 2025년 2월 17일 New York Times 퍼즐

    • Kate Hawkins와 Erica Hsiung Wojcik의 2025년 2월 17일 New York Times 크로스워드는 SCRAPBOOK, POPEYES, UNDER PRESSURE, GIDDY UP을 테마 항목으로 사용함
    • 각 항목은 끝부분에 긍정 표현 OK, YES, SURE, YUP을 포함함
    • revealer는 YEAH RIGHT이며, 단서 “Uh-huh, I bet”와 함께 각 테마 항목의 오른쪽에 YEAH의 동의어가 있다는 문자 그대로의 설명도 수행함
    • YEAH RIGHT가 단순 설명이 아니라 관용구이기 때문에 테마가 사각형을 완성함

  • 2019년 2월 18일 New York Times 퍼즐

    • Leslie Young과 Andrea Carla Michaels의 2019년 2월 18일 New York Times 크로스워드는 NIGHT NIGHT, WHITE WEDDING, MUSHROOM BALL을 테마 항목으로 둠
    • revealer는 CAP AND GOWN이며, 졸업식 복장이라는 뜻과 함께 각 복합 답이 만드는 구조를 설명함
    • 각 테마 항목의 첫 부분은 CAP 앞에 올 수 있고, 두 번째 부분은 GOWN 앞에 올 수 있음
    • MUSHROOM CAP
    • BALL GOWN
    • 이 테마는 각 항목마다 하나씩, 총 세 개의 사각형으로 모델링할 수 있음

  • 2021년 8월 18일 New York Times 퍼즐

    • Alina Abidi의 2021년 8월 18일 New York Times 크로스워드는 PIN THE TAIL ON THE DONKEY와 WHITE ELEPHANT를 핵심 테마 항목으로 사용함
    • revealer PARTY ANIMAL은 두 항목이 동물 이름을 포함한 파티 게임이라는 점을 연결함
    • 두 번째 revealer THOMAS NAST는 Thomas Nast의 정치 만화를 통해 DONKEY와 ELEPHANT가 각각 Democratic Party와 Republican Party를 상징하는 동물이라는 점을 가리킴
    • 각 테마 항목은 사각형에 추가 대각선이 있는 구조가 되며, 동물과 정치 정당 사이의 관계가 그 대각선을 이룸
    • 크로스워드 전체를 그래프로 환원하는 데에는 한계가 있지만, 스퀘어 이론은 많은 퍼즐에서 테마의 복잡성과 단단함을 보는 유용한 대리 지표가 될 수 있음

Scrabble과 크로스워드 격자의 사각 구조

  • Scrabble이나 Bananagrams에서는 새로 놓는 단어가 이미 보드에 있는 단어와 교차해야 함
  • 어떤 플레이는 한 단어가 아니라 두 단어와 동시에 교차해 단어들의 직사각형을 만들며, 이런 배치는 특별히 만족스럽게 느껴짐
  • 이때의 관계는 “두 글자를 모두 포함하는 단어”라서 다소 약해 보일 수 있음
  • 모든 글자가 정확히 두 단어의 일부가 되는 조밀한 사각형 네트워크가 가능하며, 그것이 미국식 크로스워드임
  • 미국식 크로스워드에서는 모든 글자가 Across 단어와 Down 단어에 동시에 포함되어야 하므로, 모든 글자가 사각형의 꼭짓점이 됨
  • 크로스워드 제작자가 격자 채우기의 마지막 구석을 맞출 때 느끼는 “딸깍” 맞아떨어지는 감각은 사각형이 닫히는 감각과 닮아 있음

창작 프레임워크로서의 스퀘어 이론

  • 크로스워드의 단서, 테마, 격자는 모두 같은 추상 구조인 사각형을 공유함
  • 사각형이 본질적으로 만족스럽다면, 크로스워드는 재귀적으로 사각형적인 구조를 가진 예술 형식처럼 보임
  • 창작자는 논문 제목, 브랜드명, 농담, 크로스워드 테마, 물음표 단서를 만들 때 사각형이 완성되는지 점검할 수 있음
  • 이야기, 뉴스, 블로그 글에서도 원점으로 돌아오는 구조나 “full square” 구조가 근본적인 가치를 가질 수 있음

함께 보면 좋은 글 β

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Hacker News 의견들

  • 장거리 운전 중 시간을 보내기 좋은 말장난 게임을 좋아함
    특히 좋아하는 건 운율 맞추기와 사각형 이론을 섞은 게임인데, 한 사람이 완벽히 운이 맞는 두 단어를 고르고, 각 단어에 대해 보통 동의어 같은 힌트 단어를 하나씩 정함. 그 힌트 두 개를 말하면 다른 사람들이 원래의 운율 쌍을 맞히는 방식임
    힌트에서 원래 운율을 역추적하는 재미가 있고, 작은 논리 퍼즐을 푸는 느낌이 남. 새 문제를 만들기는 쉽지만 맞히기는 의외로 어렵고, 그래도 구조가 있어서 대체로 풀 수 있게 됨
    비슷한 설명은 https://bestlifeonline.com/jeopardy-rhyme-time-opera-version...에 있는데, 이미 익숙한 사람이 많은 범주의 설명을 찾기가 의외로 어렵다

    • 우리 가족은 장거리 운전 중 Match Three를 함. 한 사람이 세 단어를 내면, 그 앞이나 뒤에 붙어서 세 단어 중 어느 것이든 완성할 수 있는 단어를 맞힌 사람이 다음 출제자가 됨
      동음이의어와 고유명사도 허용함. 예를 들어 (Fox, Lone, Crossed)라면 답은 Star임
      Star Fox는 SNES의 유명한 레일 슈터이고, Lone Starr는 Dark Helmet에게 라즈베리를 날릴 배짱이 있는 유일한 남자이며, Star Crossed는 관계가 비극으로 끝날 운명인 두 사람을 가리키는 셰익스피어식 표현임
    • https://en.wikipedia.org/wiki/Rhyming_slang이 떠오름
      운율 속어는 흔한 단어를 둘 이상의 단어로 된 구로 바꾸고, 그 마지막 단어가 원래 단어와 운을 맞추게 한 뒤, 거의 항상 끝의 운율 단어를 생략해서 암시만 남기는 식으로 만들어짐
    • 몇 년 전 친구들과 단체 채팅에서 비슷한 걸 했음. 운율은 없고, 비디오 게임 제목을 대략적인 동의어로 바꿔 말하는 방식이었음
      예시는 답을 rot13으로 적으면 이렇다: Strange, this reunion = Zntvp gur Tngurevat, Boat pork refuge = Nexunz Nflyhz, Donkeybutt taverns gospel = Nffnffvaf Perrq, Caring for the elderly = QBGN, Belongs to me create = Zvarpensg, Superclock = Birejngpu, Top Stories = Ncrk Yrtraqf, Skyline no morning = Ubevmba Mreb Qnja
    • 여행용은 아니지만 Codenames를 추천함. 흥미로운 연상을 강제로 만들게 하고 파트너에게 화나게 만드는 훌륭한 게임의 인증된 징표가 있음
      https://boardgamegeek.com/boardgame/178900/codenames
    • 우리 가족은 그 게임을 “pink mink”라고 부름

  • 아재개그 사각형 이론 얘기를 보니 고전적인 허수아비 농담이 떠오름. 더 높은 차원의 사각형 이론 예시처럼 느껴짐
    “왜 허수아비가 상을 받았을까?” “자기 분야에서 뛰어났기 때문이야.”
    허수아비의 일은 말 그대로 들판에 서 있는 것(out standing in his field)이고, 자기 일에서 탁월하다는 표현도 outstanding in his field가 될 수 있다는 점이 놀라운 언어적 우연처럼 보임

    • 고전적인 “닭은 왜 길을 건넜을까”도 이 장르에 들어맞지만, “반대편으로 가려고”가 삶에서 죽음으로 넘어간다는 뜻이라는 걸 다들 잘 모르는 듯함. 이걸 설명할 때마다 사람들이 그 의미를 몰랐다며 놀람
    • “친구가 실수로 투명 잉크 한 병을 마셨는데, 지금 병원에서 진료받기를 기다리는 중이야”도 있음
      Waiting to be seen이 병원에서는 진료받기를 기다린다는 뜻이고, 투명 잉크 맥락에서는 보이기를 기다린다는 뜻이 되는 게 재미있음
    • 관련은 없지만 이 오래된 문장이 떠올랐음: Time flies like an arrow. Fruit flies like a banana.
    • 정말 우연일까? 먼저 outstanding in his field라는 표현에서 시작해 중의성을 알아차리고, 실제로 들판에 서 있는 직업이 있는지 생각했을 수도 있음. 허수아비는 그중 하나일 뿐임
    • 두 의미는 꽤 가까워 보임. 우연이라기보다 어떤 영역에서 두드러진다는 뜻임

  • Leibnitz가 “음악은 인간 정신이 자신이 세고 있다는 것을 모른 채 셈을 하며 느끼는 즐거움”이라고 말한 적이 있음. 아마 십자말풀이를 푸는 건 정신이 군론을 하며 느끼는 즐거움일지도 모름

    • Oliver Sacks의 『아내를 모자로 착각한 남자』에도 비슷한 주장이 나오는 장이 있음. 산수를 못 하지만 서로 점점 큰 소수를 말하는 게임을 하던 자폐 쌍둥이 사례에서 음악을 설명함
      기본적으로 음악과 화성은 소리 사이의 수적 관계를 타고나게 감상하는 것이고, 소수를 말하는 것은 숫자 사이에 수적 관계가 없음을 감상하는 것과 비슷하다고 봄. 서로 다른 것들, 즉 주파수·숫자·이 글의 경우 단어 사이의 공명 경험은, 그 대상들을 실제로 조작할 능력과는 별개로 매우 강하게 존재할 수 있음. 흥미로운 읽을거리임
    • 고전 논문 Explanation as Orgasm이 떠오름
      https://link.springer.com/article/10.1023/A:1008290415597
    • 숨겨진 규칙 아래에서 모든 조각이 맞아떨어질 때 깊은 만족감이 있음

  • 십자말풀이 격자를 사각형 이론으로 보는 설명이 맞는 느낌이라면, 내 단어 게임 https://spaceword.org도 좋아할 것 같음
    목표는 21개 글자를 가능한 한 빽빽한 정사각형 안에 배치하는 것임. 아직 “완벽한” 패턴을 만든 사람은 없지만, 빈칸 3개만 남기는 경우가 많을 정도로 꽤 가까워지고 있음

    • 재미있는 게임. 다만 사람들이 완벽한 패턴에 아주 가깝다는 표현에는 동의하기 어려움
      완벽한 패턴을 만들려면 7글자 단어 세 개를 인접한 행에 쌓아 각 열마다 3글자 단어가 생기게 해야 함. 예를 들어 operate / arrowed / resends 같은 배열은 존재하지만 매우 드묾
      세 개의 7글자 단어 조합 중 유효한 배열을 만들 수 있는 비율은 대략 0.002% 수준으로 추정함. 표준 ETAOIN 글자 빈도를 쓴다면 보통 21글자 묶음에는 7글자 단어 세 개 조합이 몇 개 안 나오므로, 특정 퍼즐이 완벽한 해답을 가질 확률은 0.1%보다 훨씬 낮음
      반면 8x3 격자 안에서 21개 타일을 재배열하는 방법은 12,000배 더 많고, 단어 선택도 더 관대함. ETAOIN 분포에서 7글자를 뽑았을 때 그 순서가 7글자 단어 하나가 되는 것보다 3글자 단어와 4글자 단어가 이어지는 경우가 훨씬 더 흔함. 거의 모든 퍼즐은 8x3 안에 들어가는 해답을 적어도 몇 개는 가질 것임
      추가로, 격자 폭이 10칸뿐이라 빈칸 3개가 비완벽 배열 중 최선임. 빈칸 1개는 23글자짜리 단어 하나로만 가능하고, 빈칸 2개는 10글자 단어 옆에 11글자 단어가 있어야 하는데 11글자 단어는 10x10 격자 안에 들어가지 않음
    • 처음 게임을 봤을 때 든 생각은 spaceword golf였음
      골프처럼 가능한 가장 작은 정사각형에서 시작해서 단계마다 크기를 늘리는 방식임. 정사각형이 얼마나 완벽한지에 따라 점수는 더 낮게 받음
    • “daily”가 아닌 spaceword 버전도 있나? 있다면 해보고 싶음
    • Spaceword가 사각형 이론과 정확히 같은 뇌의 가려운 지점을 긁어줌

  • 인용문을 이미지로 넣으면 잘라 붙일 수 없어서 싫음
    예를 들어 Jet black/Jet Blue, catnap/dognap 같은 것들임
    좋아하는 예시는 전치사가 관용구 의미를 바꾸는 방식임. down for와 down with는 비슷한 뜻이지만, down on은 반대 의미가 됨. 그리고 going down to X는 going down on X와 매우 다른 뜻임. 마지막 예시는 HN식으로도 흥미로운데, 전치사가 X의 바인딩에 타입 제약을 걸기 때문에 something이 아니라 X를 써야 했음

    • 이 경우에는 텍스트가 ALT 태그에 들어 있어서, 브라우저가 노출해 준다면 도움이 될 것임
    • 예전보다는 훨씬 덜 그렇다. 어떤 기기를 쓰는지는 모르지만, iPhone에서는 그 이미지의 텍스트를 자연스럽게 복사할 수 있음
    • Down for lunch? Down with lunch! 아침 음식이 더 맛있음
    • down for something은 up for something과 거의 동의어이기도 함

  • 비원어민 친구가 진짜 번역 실수로 한 말 중 가장 좋아하는 예는 Hand job임. 말하려던 건 manual labor였음

    • 일본 vtuber에게도 비슷한 일이 유명하게 있었음: https://www.youtube.com/watch?v=UeQ5K5DQiDI
    • 중국어에서는 手工이 말 그대로 손으로 만든 것에 가까운 듯함. 두 번째 글자 工도 일이나 직업을 뜻할 수 있는 것 같은데, 성적 표현으로서의 관용어는 거기서는 다른 모양임
    • 농구 경기에서 슛이 빗나간 걸 보던 비원어민이 “Another rim job!”이라고 하는 걸 들은 적 있음
    • 영화 The Jerk에도 같은 의도적 오해를 쓰는 농담이 있음
    • 매니큐어를 농담으로 handjob이라고 부르는 것도 들어봄

  • 이 발상은 영리해서 좀 더 생각해 보고 싶음. 어떤 의미에서는 표준 SAT식 유추 문제, 예를 들어 Lumen : Brightness = Inches : Length를 사각형 안에 넣을 수 있고, 대부분의 십자말풀이 힌트도 이상한 SAT 유추 문제로 표현할 수 있다는 말처럼 보임. 어쩌면 유추를 너무 늘려 잡는 걸 수도 있음
    다만 글쓴이가 Donkey, Elephant, Party 사이의 연결로 제시한 “대각선”은 정확하지 않은 것 같음. 핵심은 Donkey와 Elephant가 둘 다 Party Animal이라는 점임. Animal 부분을 무시할 수 없고, 그것이 이들을 설명함. 각각 자기 정당을 대표하는 동물, 즉 party animal임
    이걸 사각형 이론에서 올바르게 표현하는 방법은 잘 모르겠지만, 단순히 Party를 해당 동물에 연결하는 것만은 아님

  • Algirdas Greimas의 기호학적 사각형이 게임의 제1원리에서 도출되는 걸 보니 꽤 신남
    https://en.m.wikipedia.org/wiki/Semiotic_square

  • 좋은 글임
    Grubhub 사각형은 다른 대안도 맞아떨어짐. Grubclub, Bitesite, 또는 Eatmeet도 가능하지만 마지막 건 좀 별로임

  • 글쓰기의 “영리한 부분” 상당수는 더 복잡한 도형에도 맞출 수 있을 것 같음. 특히 문학 고전을 정말 좋아하는 사람들만 좋아할 법한 고전에서 그렇다
    예를 들어 다섯 주인공이 있고, 다섯 압정과 실 하나로 오각별을 만들듯 어떤 한 방식으로 모두 연결되지만, 같은 압정 배열로 만든 오각형처럼 전혀 다른 무관한 방식으로도 연결되는 이야기 같은 것임

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