허준이 교수의 필즈상 수상 강연

(budlebee.wordpress.com)

29P by budlebee 2022-07-13 | favorite | 댓글 4개

필즈상 수상자인 허준이 교수의 대중강연 발췌문.

관계와 경계

어릴때 사전 찾기 놀이를 많이 했는데, 아무 단어의 정의를 찾아보고, 정의에 나오는 단어에서 마음에 드는 단어의 정의를 찾아보고, 그걸 계속 이어가는 것.
이런식으로 단어의 정의를 이어가다보면 언젠가는 원래의 단어로 되돌아옴. 우리가 갖고 있는 단어는 유한하기 때문에 항상 원래대로 되돌아오는 고리를 만들 수 있음.
얼핏 생각하기에는 정의하려는 단어를 통해 스스로를 정의하는게 엉터리 논리 같지만, 우리가 일상생활을 살아가면서 우리가 갖고 있는 언어가 정말 훌륭하게 작동하고 언어를 통해 멋진일을 하고 있다는 것을 경험적으로 알고 있음.
수학은 어떨까?
수학은 몇개의 공리를 뿌리로 두고 있는 나무처럼 보이지만, 수학 전체를 아울러 보면 서로가 서로를 지탱하는 언어와 더 비슷함.
수학의 증명을 그림으로 표현하면 명제라는 점들이 화살표로 이어져 있는 모습.
우리가 이미 참으로 알고 있는 명제가 있고, 우리가 알고 싶은 명제가 있음. 명제를 증명한다는 것은 알고 있는 점에서 유한번의 추론을 통해 화살표를 뻗어나가는 것.
어떤 명제들은 굉장히 가까워서 쉽게 추론해낼 수 있지만 어떤 점들은 굉장히 멀어서 추론하기 어려움. 마치 명제들의 공간에 거리라는 기하학적 구조가 있는 것 같음.
만약 모든 수학적 명제들로 구성된 공간은 어떻게 생겼을까? 말도 안되는 비유지만, 마치 우주 거시구조 처럼 생겼을 것. 은하들이 균질하게 퍼져있는게 아니라 어떤 곳은 방대하게 비어있고 어떤 곳은 오밀조밀하게 연결돼 있는 것 처럼.
이런 명제들의 공간에서 굉장히 유명한 두가지만 주목하자면 4색 정리와 페르마의 마지막 정리가 있음.
수많은 명제중에서 수학자들이 4색 정리와 페르마의 마지막 정리를 소중하게 여기고 특별히 유명한 이유는 무엇일까?
이런 명제들이 다른 명제들보다 특별히 흥미로운 이유는 분명히 있음.
이 명제들에 사용된 단어와 표현들은 굉장히 익숙하고 쉬운 단어들. 하지만 그것을 증명하기 위해서는 굉장히 힘든 우회로를 거쳐야 됨.
우리가 서있는 명제에서 몇발자국만 걸어가면 될 것 같은데, 실제로는 어떤 수를 써도 쉽게 갈 수 없음.
그 말은 이곳과 저곳 사이에 우리를 가로막는 엄청난 구조가 존재한다는 것(마치 우주 거시구조의 거대한 암흑 공간처럼)
이 구조가 우리 눈에 보이진 않지만, 이 명제가 증명하기 힘들다는 사실만으로도 그 구조를 유추할 수 있음.
이런것들이 흥미로운 이유는 우리 인간이 어떤 방식으로 사고하는지를 강력하게 시사하기 때문.
우리가 어떤 종류의 직관을 갖고 있고 어떤 방식의 편견을 갖고 있는지, 이런 경험을 반복함으로써 스스로에 대해 알 수 있게 됨.
수학자들이 궁극적으로 하고자 하는 것은 명제 공간의 수많은 관계를 최대한 자세하게 그려냄으로써 우리가 어떤 방식으로 사고하는지 이해하는 것.
수학은, 개인적으로는 자신의 편견과 한계를 이해해 나가는 과정이고, 더 일반적으로는 우리 인간이라는 종이 어떤 방식으로 생각하고 또 얼마나 깊게 생각할 수 있는지 생각하는 일임.
수학의 본질적인 문제들을 해결하고 새로운 추측들을 발견하는게 왜 중요하냐면 끊임없이 경계를 벗어나길 요구하기 때문.
이것이 순수수학이 우리에게 가르쳐주는 중요한 가치중 하나. 우리 스스로가 타고난 편견을 넘어설 기회를 준다는 것.