수학의 엄밀함에 대한 잡설: 왜 수학은 그렇게 엄밀함해야 될까요?
(redtea.kr)- 수학에서는 엄밀함은 너무 당연한 것 조차 쓸데없이 복잡하게 만드는게 아닐까?
-> 엄밀함에는 타당한 이유가 있다.
- "점프하지 않고 줄넘기" 문제를 증명하기.
- 어떤 평평한 면의 원점에 높은 장대가 꽂혀있다. 평면 바닥에는 무한히 늘어나고 끊어지지 않는 끈의 양쪽 끝이 고정돼 있다. 끈은 평면에 착 붙어 있어서 바닥면 안에서만 늘어날뿐, 수직방향으로 잡아당기거나 할 수는 없다.
- 이때 끈을 장대 반대편으로 넘길 수 있을까?
- 직관적으로 생각해봐도 끈을 장대 반대편으로 넘길 수 없다는 걸 알 수 있음. 원점을 지나갈 수 없으니까. (점프하지 않고 줄넘기를 할 수는 없음)
- 이런 끈 넘기기 문제를 수학적 증명하려면? : 복소함수론의 contour integration 을 이용하기.
"homotopy invariance of contour integration 정리에 따르면 holomorphic한 복소함수 f:U->C가 있을 때 서로 연속변형관계에 있는 두 끈을 따라서 f를 적분한 결과값은 서로 같기 때문에 평면을 복소평면의 부분집합으로 간주하고, 함수 f를 복소수 z에 대해 정의하며..."
-> 결과적으로 끈을 넘길 수 없다는 결론이 나옴.
-> 이런 수학적 증명이 "쉬운 것을 이악물고 돌아돌아가서 엄밀한 척" 하는 것 아닌가?
- 끈 넘기기 문제를 실제 지구에서 해보면 어떨까? 운동장에 장대를 꽂아놓고, 끈을 장대 반대편으로 잡아당긴다면?
- 끈은 지구를 한바퀴 돌아 장대 반대편으로 넘어갈 수 있다.
- 지구에서 끈 넘기기가 가능한 것은, 지구가 평면이 아니라 둥근 구면이라서.
- 끈 넘기기 게임의 증명이 복잡한 것은 평면 전체의 고유한 성질과 관계있기 때문.
- "원점을 넘지 못하기 때문에 끈 넘기기는 불가능하다"는 주장을 수학적으로 정제해내더라도 만약 그 논리의 어딘가에서 평면의 고유한 위상적 성질(평면과 구를 차별지을 수 있는)을 적절히 활용해내지 못했다면, 해당 논리는 수학적 장벽을 회피한 것이 되고, 논리의 비약이 생기게 되는 것.
커뮤니티 분위기를 느끼려면 추천 게시판, AMA 게시판을 먼저 살펴보시길 권합니다. 타임라인 게시판은 회원들이 흘려보내는 짧은 글, 사진, 영상을 보는 재미가 있습니다. 저는 2016년도부터 방문하고 있는데 다른 커뮤니티와 비교해 덜 소란스럽고 운영자의 자정력이 아직 힘을 발휘하는 '개인 사이트'입니다.
저도 웹서핑을 하다 발견한 커뮤니티라 자세힌 모르지만... 검색해보니 pgr21 운영진 분들이 만든 사이트라고 나무위키에 나오네요