Erdos 281이 ChatGPT 5.2 Pro로 해결됨

• Erdős #281은 무한히 많은 합동식들을 어떻게 고르더라도, 그 어느 합동식에도 해당하지 않는 정수들이 거의 남지 않는 상황을 전제로 한 문제
• 이러한 상황이 참이라면, 실제로는 무한한 합동식을 모두 사용하지 않아도 처음 몇 개만으로도 거의 모든 정수가 걸러진다고 말할 수 있는지에 대한 것
• Neel Somani가 GPT-5.2 Pro를 사용해 이 질문에 대한 풀이를 제시했고, 여러 수학자들이 논리의 핵심 단계들을 중심으로 검토와 보완을 진행
• 개별 정수들을 직접 계산하는 방식 대신, 정수 전체를 하나의 공간으로 놓고 밀도와 극한의 성질을 이용해 문제를 다루는 접근 방식
• 같은 결론이 과거에 알려진 정리들의 조합으로도 도출될 수 있음이 드러나며, 이 연결이 오랫동안 눈에 띄지 않았던 이유에 대한 논의가 함께 이어짐

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Erdős Problem #281 — 논의의 핵심 정리

• Erdős #281은 무한히 많은 합동식이 주어졌을 때, 그 합동식들을 어떻게 선택하더라도 결국 거의 모든 정수가 그중 하나에는 포함되는 상황을 전제로 한 문제
• 모든 합동식을 다 적용하면 아무 합동식에도 속하지 않는 정수가 거의 남지 않는다는 성질을 이미 알고 있다는 설정
• 이 성질이 성립한다면, 실제로는 무한히 많은 합동식을 끝까지 사용하지 않아도 처음 몇 개만으로도 거의 같은 효과가 나타나는지에 대한 의문 제기
• 무한 단계에서 성립하는 결과가 유한 단계에서도 자동으로 보장되는지에 대한 질문 구조
• 최악의 잔여류 선택을 항상 허용하는 조건 아래에서 유한 개의 합동식만으로 충분하다고 말할 수 있는지에 대한 난점 존재

Neel Somani와 GPT-5.2 Pro 풀이의 접근 방식

• 개별 정수를 하나씩 따지는 대신, 정수 전체를 하나의 공간으로 보고 밀도 개념으로 문제를 다루는 접근
• 처음 k개의 합동식을 피하는 정수들의 집합을 하나의 대상으로 설정하는 방식
• k가 커질수록 이 집합이 점점 줄어들고, 무한 단계에서의 결과로 수렴하는 구조 활용
• 무한히 많은 합동식을 모두 피하는 정수가 거의 없다는 가정으로부터 유한 단계에서도 충분히 작아질 수밖에 없다는 논리 전개
• 극한과 평균, 이동 성질을 이용한 전체적 흐름 구성

검토 과정과 논의의 전개

• 제시된 풀이에서 극한을 취하는 순서와 평균을 다루는 과정의 정당성에 대한 집중 검토
• 일부 단계에서 추가 설명과 보완이 필요하다는 지적 등장
• 여러 수학자들이 공개적으로 논리를 점검하며 단계별로 의미를 명확히 하는 과정 진행
• 결과적으로 논증의 핵심 구조가 유지된 채 더 명확한 형태로 다듬어진 흐름

고전 정리들과의 연결

• 동일한 결론이 과거에 알려진 정리들을 조합해서도 도출될 수 있음이 확인
• 무한히 많은 조건에서의 밀도 수렴을 다루는 결과와 유한 조건에서의 최악 경우를 설명하는 정리의 결합
• 이 연결을 통해 무한 단계의 성질이 유한 단계에서도 강하게 반영된다는 구조 드러남
• 왜 이러한 연결이 오랫동안 명확하게 정리되지 않았는지에 대한 논의 확산

왜 이 사례가 주목받는지

• 오래전에 제시된 문제가 AI 기반 풀이 제안을 계기로 다시 집중 조명된 사례
• AI가 완성된 답을 단독으로 제시했다기보다는, 새로운 관점으로 논의를 촉발
• 문제를 어떤 언어와 틀로 옮겨 생각하느냐에 따라 난이도가 크게 달라진다는 점이 확인됨

[GN⁺]

Hacker News 의견들

• 이전에는 해결책이 없다고 했지만, 이제는 기존 해법이 발견됨
  그래서 LLM이 만든 증명은 Terence Tao의 위키 섹션 2로 이동되었음
  관련 논의는 erdosproblems 포럼 글에 있음
  • Tao의 말이 흥미로움 — 새 증명은 기존 문헌의 증명과 꽤 다르다고 함
    더 이상한 건, 그 증명이 Erdős 본인의 논문에 있었는데도 그가 미해결 문제로 남겼다는 점임
  • 이런 모델들이 인간이 연결하지 못한 지식의 점들을 잇는 자연어 검색 엔진처럼 작동하는 것 같음
  • 사실 이 사례는 문제 자체가 중요하지 않다는 걸 보여줌
    이미 해법이 있었는데 아무도 몰랐던 건 사람들이 신경 쓰지 않았기 때문임
    단순히 옛 문헌을 검색해서 ‘새로운 진전’이라 부르는 건 착각된 진보일 수 있음
    순수수학의 많은 부분이 결국 지적 퍼즐 놀이처럼 느껴짐
• Erdos 문제의 성격이 궁금했음 — 수학자들이 수년간 씨름한 난제들인지, 아니면 방치된 문제들인지
  Tao의 위키 설명에 따르면,
  Erdos 문제는 난이도가 매우 다양하며, 일부는 AI가 풀기 좋은 저난이도 문제로 분류됨
  • Erdos는 엄청난 생산성을 가진 수학자로, 현상금 문제를 즐겨 냈음
    쉬운 문제는 “최고의 수학자도 바로 풀지 못한 수준”이라 AI의 성능 지표로 적합함
    AI가 발전할수록 점점 더 어려운 문제로 난이도 사다리를 오를 것이라 봄
  • 너무 걱정할 필요 없음. Tao와 작성자도 Erdos 문제에 큰 관심이 없었고,
    정작 그 증명이 Erdos 본인 논문에 있었던 걸 몰랐음
    그런데도 Fediverse와 트위터에서는 LLM 돌파구라며 떠들고 있음
• Tao가 포럼에서 직접 남긴 코멘트에 따르면,
  LLM이 한계 교환이나 양화자 처리 오류를 피한 점이 인상적이었다고 함
  이전 세대 모델이라면 이런 부분에서 실수했을 것이라며,
  이 결과를 위키의 섹션 1에 등재했다고 밝힘
  • 이후 누군가 문헌을 더 찾아보니, 1936년 Davenport와 Erdos의 논문에서
    같은 결과가 이미 증명되어 있었음
    Tao는 “새 증명은 기존 것과 다르지만, 섹션 2로 옮긴다”고 코멘트함
• AI가 자기 주장부터 증명했으면 좋겠다는 생각임
  최신 모델들이 “100% 완벽한 코드”라며 자신 있게 말하지만 실제로는 충돌함
  z.ai 결제 시도 중에도 오류가 나서 구매조차 안 됨
  LLM은 놀라운 기술이지만, 동시에 과대평가된 기술임
  • AI의 코드를 검증하려면 인간처럼 테스트나 증거로 입증해야 함
    로그나 실행 결과 같은 실증이 필요함
  • 모델과 앱을 구분해야 함
    모델은 텍스트를 생성할 뿐이고, 앱이 그걸 검증해야 함
    하지만 완벽한 텍스트 생성은 현재 불가능한 일임
• Tao가 직접 참여한 erdosproblems 포럼 스레드가 있음
• 이 증명이 정말 검증된 건지 궁금했음
  LLM이 자신감 있게 틀린 답을 내는 경우를 많이 봤기 때문임
  OpenAI의 메모리 정책과 모델 접근 제한도 흥미로운 주제임
  • Tao가 직접 승인했음. 그 이상 확실한 검증은 없을 듯함
• 최근 Harmonic의 Aristotle이 Erdős 728 문제를 해결했다는 글이 있었음
  이번 사례는 ChatGPT 5.2가 1시간 만에 답을 냈다는 것인데,
  그게 반복 가능한지, 왜 그런 해법을 냈는지, 무엇을 증명한 건지가 불분명함
  Tao의 검증이 신뢰를 주지만, 결국 “모델이 순수수학에 더 잘 맞게 훈련된 건가?”라는 의문이 남음
  이전 사례와 ChatGPT 세션 링크 참고
  • 49일 전에도 #124 문제가 AI로 증명되었다는 사례가 있음
    관련 링크
  • 이건 LLM이 수학 문제의 후보 증명을 생성하고,
    이후 Lean 같은 형식 증명 시스템으로 검증하는 일련의 시도 중 하나임
    Tao는 먼저 증명의 정확성을 보고, 그다음 문헌 검색으로 참신성을 확인함
    현재는 완전히 새로운 증명은 거의 없지만, 새로운 접근법은 등장 중임
    이번 사례도 처음엔 새 증명처럼 보였지만, 결국 Erdos가 이미 알고 있던 결과였음
• Deepseek에 같은 프롬프트를 주었더니 ChatGPT보다 훨씬 빠르게 풀었음
  두 증명을 Opus에 넣어보니 동등함을 확인했다고 함
  • 하지만 “그냥 네가 직접 도장 찍은 거나 마찬가지”라며,
    세부 검증이 부족하면 전체 증명이 무너질 수 있음이라는 지적이 나옴
  • 수학적으로는 교집합의 밀도 부분이 충분한지 의문을 제기함
    예시로 (U_k) 집합을 들어 반례 가능성을 언급함
  • Kimi-k2의 추론 블록도 공유됨
  • Deepseek이 기존 해법을 암기한 것인지 궁금하다는 의견도 있음
    관련 논의는 이 댓글 참고
  • Opus는 수학에는 부적합하다는 의견도 있음
    ChatGPT나 Gemini Pro보다 수학적 정확도가 낮음
• 놀랍게도 LLM 증명의 상당수가 비전문가에게서 나옴
  혹시 일부 전문 수학자들이 AI를 사용하고도 밝히지 않는 것 아닐까 하는 의문이 듦
  • 사실 대부분의 전문가는 “내 전공 분야에서는 LLM이 멍청하다”고 느끼는 듯함
  • 이런 무명의 AI 사용은 곧 일반화될 것 같음
    마치 스포츠에서 도핑 경쟁처럼, 따라잡기 위해 다들 쓰게 될 것임
    게다가 AI 사용은 규칙 위반도 아님
  • 현실적으로는 전문가들이 이미 시도했지만,
    LLM이 아직 실질적 진전을 내지 못했을 가능성이 큼
  • AI 기여 표기 방식을 고민 중임
    개인적으로는 감사의 한 줄 정도가 적절하다고 생각함
    수학 포닥으로서 GPT 5.2를 써보니 거짓말이 적고 실패 시 솔직함
    반면 Gemini 3는 틀리면 허구의 정리를 만들어내는 경향이 있음
• LLM이 푼 Erdos 문제들이 단순히 인간이 건드리지 않은 쉬운 문제인지,
  아니면 진짜 독창적 연구 성과인지가 궁금함
  • Tao의 위키 경고문에 따르면,
    Erdos 문제는 난이도 편차가 크며, AI가 풀기 쉬운 저난이도 문제군이 존재함
  • 그래도 LLM이 이런 저난이도 문제들을 정리하는 건 가치가 있음
    Erdos 리스트에 오른 문제라면 최소한 누군가는 한 번쯤 시도했을 가능성이 있음