푸리에 변환의 불합리할 정도로 뛰어난 효용성
(joshuawise.com)- 푸리에 변환이 실제 기술 응용에서 얼마나 강력하게 작동하는지를 보여주는 발표
- 발표자는 Teardown 2025 행사에서 OFDM(직교 주파수 분할 다중화) 관련 사례를 중심으로 설명함
- 슬라이드 PDF, Jupyter 노트북, DVB-T 디코더 코드, FFT 알고리듬 영상 등 다양한 참고 자료를 함께 제공
- 이 자료는 푸리에 변환이 통신과 신호처리 분야에서 여전히 핵심적 도구로 작동함을 보여줌
- 신호는 보통 시간에 따라 값이 변하는 형태로 다뤄지지만, 같은 신호를 주파수 성분들의 합으로도 표현 가능
- 푸리에 변환은 하나의 복잡한 파형을 “어떤 주파수가 얼마나 섞여 있는지”로 바꿔주는 도구
- 예를 들어 짧게 튀는 잡음, 천천히 흔들리는 왜곡, 반복되는 패턴은 시간 영역에서는 서로 얽혀 보이지만 주파수 영역에서는 분리됨
- 현실의 통신 채널은 대부분 선형·시간 불변(LTI, Linear Time-Invariant) 특성을 가짐
- LTI 시스템에서는 신호가 어떻게 왜곡되는지가 주파수별로 독립적으로 결정됨
- 시간 영역에서의 지연, 반사, 감쇠는 주파수 영역에서는 크기 변화와 위상 변화로 나타남
- 시간 영역에서 문제를 해결하려 하면 지연, 중첩, 간섭이 서로 얽힘
- 같은 문제를 주파수 영역에서 보면 각 주파수 성분을 하나씩 조절하는 문제로 바뀜
- 그래서 “처리하기 쉬운 공간으로 데이터를 옮긴다”는 발상이 등장함
- 이 발상을 그대로 구현한 방식이 OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing)
- 하나의 빠른 데이터 스트림을 여러 개의 느린 부반송파(subcarrier) 로 나눔
- 각 부반송파는 서로 직교해 동시에 보내도 간섭하지 않음
- FFT (Fast Fourier Transform)/IFFT (Inverse Fast Fourier Transform) 를 사용해 많은 부반송파를 한 번에 변환·복원 가능
- 채널 상태가 주파수마다 다를 때, 일부 부반송파만 품질이 나빠짐
- 단일 반송파 방식에서는 전체 데이터가 손상되지만, OFDM에서는 일부만 영향받음
- 문제가 있는 주파수는 약하게 쓰거나 아예 비워둘 수 있음
- 시간에 몰아서 발생하는 버스트 잡음은 OFDM에서 여러 심볼과 여러 주파수로 분산됨
- 짧은 순간의 강한 잡음이 전체 데이터 손상으로 이어지지 않음
- 무선 환경에서 발생하는 멀티패스는 신호가 여러 경로로 도착하면서 지연을 만듦
- 시간 영역에서는 심볼이 겹쳐 ISI(Inter-Symbol Interference, 심볼 간 간섭) 가 발생
- 주파수 영역에서는 멀티패스가 채널 응답 곡선으로 나타남
- 이 곡선을 보정하면 각 부반송파를 독립적으로 복원 가능
- 파일럿 신호를 사용해 송수신기 간 주파수 오차(LO 드리프트) 를 추적
- 이동 중 발생하는 도플러 시프트도 주파수별로 분리해 보정 가능
- 부반송파마다 다른 변조 방식을 적용 가능
- 신호 상태가 좋은 대역에는 고속 변조, 나쁜 대역에는 안정적인 변조 배치
- 하나의 스트림에서는 불가능한 계층적 데이터 전송 가능
- 여러 사용자가 시간과 주파수를 나눠 동시에 송신하는 OFDMA 구조로 확장 가능
- 시간·주파수 양쪽으로 데이터를 섞는 인터리빙으로 오류 집중 완화
- 컨볼루션 코드, Reed–Solomon, BCH 같은 오류 정정 기법과 자연스럽게 결합
- 결과적으로 푸리에 변환은 “복잡한 현실을 단순한 조절 문제로 바꾸는 스위치”
- OFDM은 이 스위치를 통신 구조의 중심에 둔 설계
- 현대 무선 통신이 높은 속도와 안정성을 동시에 얻는 기반으로 작동
Hacker News 의견들
- 사람들은 “주파수 공간”이라는 말에 현혹되지만, 핵심은 문제 중심의 좌표계 전환이 얼마나 유용한가임
코페르니쿠스가 좌표계를 바꾸어 행성의 복잡한 운동을 단순하게 만든 것처럼, 푸리에 해석도 본질적으로 같은 발상임
디지털 신호에서는 Walsh-Hadamard 기저가 도움이 되며, 이는 주파수와는 전혀 다른 개념임
GPT 같은 모델도 지금은 프톨레마이오스적 상태에 있으며, 언젠가 더 나은 좌표계로 그 동역학을 이해하게 될 것이라 생각함- 이런 변환들은 결국 어떤 미분 연산자의 고유기저로 전환하는 과정임
구면조화함수, 베셀함수, 헹켈함수 등은 각각 사인/코사인이나 복소 지수함수의 변형임
웨이블릿은 트리 형태의 매개공간을 사용하며, 최근에는 과완비 기저(overcomplete basis) 연구도 활발함
하지만 이런 선형적 접근은 비선형 고차원 구조를 다루는 신경망 이해에는 직접적 관련이 없다고 봄 - 이런 식으로 푸리에나 라플라스 변환을 배웠다면 DSP 수업이 훨씬 흥미로웠을 것 같음
- 양자계의 미래 상태 예측도 해밀토니안을 대각화할 수 있다면 단순해짐
하지만 일반적으로 그게 거의 불가능하다는 게 문제임
- 이런 변환들은 결국 어떤 미분 연산자의 고유기저로 전환하는 과정임
- 내가 가장 좋아하는 푸리에 변환 일화는 가우스가 Cooley와 Tukey보다 한 세기 전에 FFT 알고리즘을 발견했다는 이야기임
그는 소행성 Pallas와 Juno의 운동을 연구하다가 이를 노트에 적었지만 세상에 공개되지 않았음
관련 문서- 가우스는 다른 수학자가 새로운 결과를 보여주면 “이미 해봤다”고 말하며 서랍에서 관련 논문 뭉치를 꺼냈다는 말이 있음
- Chevron 인턴 시절 들은 얘기로, 1950년대에 이미 석유 탐사용 지진 분석에 푸리에 변환을 썼지만 수학은 특허가 안 되니 비밀로 했다고 함
- 가우스의 노트 여백에는 미발표 증명이 가득했다고 함
그는 아들에게 수학을 하지 말라고 했는데, 자신을 뛰어넘는 건 불가능하다고 여겼기 때문이라 함 - 가우스는 정말 가우스였음
- 여섯 자녀를 두고도 그렇게 생산적이었다니 놀라움
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Grafana에서 가장 아쉬운 기능은 트래픽 스파이크의 주기적 패턴(에피사이클) 을 찾아주는 푸리에 변환임
월요일 오전이나 화요일 정오 같은 주기적 트래픽을 잡고 싶었음
하지만 그래프를 잘못 설정해 하루 사용량 절반을 소모해버려 -7일선으로 바꿨더니 나만 이해하고 팀은 혼란스러워했음- 이런 스파이크는 신호가 전체에 주파수 성분을 갖는다는 가정에 맞지 않음
대신 켑스트럼(cepstrum) 분석이 더 적합하며, 기계 진동 분석에서 주기적 충격(예: 기어 손상)을 찾을 때 자주 씀
- 이런 스파이크는 신호가 전체에 주파수 성분을 갖는다는 가정에 맞지 않음
- 신호는 시간과 주파수 양쪽에서 동시에 대역 제한될 수 없음
학부 때 배운 이 사실이 불확정성 원리와 동등하다는 걸 알고 놀랐음
아내와 식기세척기 로딩 방식으로 자주 다투는데, 나는 빠르게(시간 최소화), 아내는 꼼꼼하게(세척 횟수 최소화) 하는 식으로 서로 다른 도메인을 최적화하고 있었음- 신호는 근사적으로 양쪽에서 제한될 수 있음
예를 들어 가우시안 함수는 두 영역 모두에서 콤팩트함 - 귀는 주파수 분해에는 뛰어나지만 방향 감지는 약하고, 눈은 그 반대임
- 이건 말 그대로 신호처리에서의 하이젠베르크 불확정성 원리임
- “빠르게 해서 한 번 더 돌려야 했다”는 뜻인지 궁금함
참고로 Technology Connections의 식기세척기 영상을 추천함 - 자동 로딩 식기세척기는 결혼 생활을 구할 발명품이 될 것임
- 신호는 근사적으로 양쪽에서 제한될 수 있음
- 세상을 주파수 도메인으로 보기 시작하면 많은 트릭이 단순해짐
나는 웹캠 영상에 푸리에 변환을 적용해 얼굴에서 심박수를 읽는 데모 코드를 만들었음
특정 주파수에서 에너지가 피크를 이루는 부분을 찾는 방식임- 이는 모든 손실 압축 알고리즘의 기반임
JPEG, h264, mp3의 핵심인 DCT는 사실상 수정된 FFT임 - 이런 관점 전환이 인생을 바꿨다는 HN 댓글을 예전에 본 적 있음
- 금융에서도 비슷한 비유가 있음 — 특정 시점이 아니라 가격 임계값을 기준으로 행동함
- 하지만 실제로는 웹캠에서 혈류로 인한 피부 맥동이 보이지 않을 수도 있음
- 이는 모든 손실 압축 알고리즘의 기반임
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Sebastian Lague의 최신 영상을 강력히 추천함
푸리에 변환 개념을 아주 쉽게 설명함
영상 링크 - “The Unreasonable Effectiveness of The Unreasonable Effectiveness” 같은 제목을 누가 쓸까 하는 농담이 나왔음
- “Unreasonable effectiveness is all you need”라며 밈처럼 응수함
- 원 논문이 다루는 내용과 푸리에 변환이 잡음 채널에서의 통신을 가능하게 한 점을 생각하면 꽤 적절한 제목이라 봄
- 원래는 1960년의 유명한 에세이 “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences”의 패러디임
하지만 이런 제목은 너무 남용되어 이제는 약간 조작적으로 느껴짐 - “Unreasonable effectiveness-ness의 반대극”이라며 장난스럽게 말함
- 이런 제목은 유치하다고 생각함
푸리에 변환은 사실 매우 합리적이고 직관적인 개념임
수학이 과학의 언어라는 점에서 “수학이 비정상적으로 효과적이다”는 표현도 과장된 것 같음
발표 자료도 결국 기본적인 FT 101 수준임
- ML/데이터사이언스 관점에서 보면 FFT는 PCA와 비슷한 개념임
데이터를 더 나은 좌표계(시간→주파수)로 투영하고, 분산이 낮은 기저를 제거한 뒤 역변환(IFFT)으로 복원하는 과정임
다만 FFT의 기저는 고정되어 있다는 차이가 있음 - 나는 푸리에 변환이 별로임
무한한 영역을 다루기 때문에 거칠고 현실과 맞지 않음- 실제로는 모두 윈도우된 데이터에 FFT를 적용함
이렇게 하면 무한 지지와 무한 해상도의 문제를 없앨 수 있음 - Tomb Raider 농담인지 수학 은유인지 모르겠음
- 그냥 여기서는 그런 게 아님
- 실제로는 모두 윈도우된 데이터에 FFT를 적용함
- 그는 OFDM을 설명하면서 암묵적으로 진폭 편이 변조(ASK) 를 다루고 있음
다른 변조를 쓰려면 부반송파의 복소수를 IQ 포인트로 취급하면 됨
결국 시간 도메인 대신 주파수 도메인에서 같은 심볼을 읽는 셈이며, 이는 중첩 원리(superposition) 덕분에 일반적인 변조와 동등하게 작동함