▲

무한 저항기 그리드

 (mathpages.com)
1P by GN⁺ 2일전 | ★ favorite | 댓글 1개
  • 무한한 저항기 그리드에 대한 고전적인 수수께끼는 무한 사각 격자에 있는 인접 노드 사이의 유효 저항을 구하는 문제임
  • 인접 노드 사이의 유효 저항은 격자 대칭성과 Laplace 방정식의 해법을 이용해 R/2로 나타낼 수 있음
  • 무한 그리드에서의 전류 유입과 유출 위치, 경계 조건에 따라 해가 불확정적일 수 있음
  • 실제 물리적 회로와 달리, 이상화된 그리드에서는 엄밀한 해석이 어려움
  • 여러 수학적 방법(차분방정식, Fourier 급수 등)과 적분식을 통해 모든 노드 쌍 간의 저항 계산이 가능함

서론 및 문제 정의

  • “무한 저항기 그리드”는 사각 격자의 각 인접 노드를 저항 R으로 연결한 구조를 상정함
  • 이 구조에서 특정 두 노드(주로 인접 노드) 사이의 유효 저항을 구하는 수수께끼임
  • 인접 노드 사이에는 대칭성·직관적 해석 등을 통해 저항이 R/2로 나타남
  • 이는 전기 쌍극자의 전위 특성과 유사하며, 격자 노드 전압도 Laplace 방정식의 차분 형태를 따름

직관적 풀이와 한계

  • 무한 그리드에 단일 노드로 전류 주입 시, 네 방향으로 균등하게 전류가 퍼지는 대칭 형태를 가정함
  • 인접한 두 노드 사이에 전류를 주입하고 추출하는 두 경우의 해를 합(superposition) 하면, 직경 방향 저항이 R/2로 집계됨
  • 이 해법은 직관적으로 그럴듯하나, 엄밀하게 증명하기 위해서는 무한 지점에서의 전압과 전류 거동, 그리고 총 전류의 유입·유출 경로에 대한 보다 엄격한 해명 필요함
  • 실제로, 중심 노드에서 무한대로 갈수록 저항이 무한대로 발산하게 되어, 단순히 무한을 접지로 보는 해석은 물리적으로 엄밀하지 않음

엄밀한 수학적 해석

유한 격자와 무한 격자

  • 문제를 엄밀히 해석하려면, 실제로는 유한하지만 매우 큰 격자의 극한을 고려해야 함
  • 중심과 주변에 순차적으로 확장되는 격자 구조 내에서 경계 조건을 맞춰야 실제 물리적으로 허용 가능한 해가 만들어짐
  • 무한 구조에서는 경계 조건 없이 고유의 해가 정해지지 않는 불확정성 문제가 항상 존재함

1차원 격자의 차분방정식 해법

  • 1차원 저항기 배열에서는 차분방정식을 세우고, 일반해에서 공명항(resonance term) 을 적용해 각 노드에서의 전압 분포 구함
  • n번째 노드의 전위는 |n|/2로, k개 저항기가 있으면 유효 저항은 kR이 됨

2차원 격자의 해석

  • 2차원 격자에서는 (m,n) 위치에서의 전위 역시 차분방정식으로 표현 가능
  • Fourier 급수 및 복수의 고유해법을 만든 후, 서로 다른 위치에서의 조건들이 모두 충족되도록 적분(superposition) 을 통해 해 구함
  • 인접 노드(1,0)에서의 전압은 1/4V이며, 전류가 -1A일 때 저항이 1/2이 됨
  • 더 복잡한 위치(예: 대각선상 노드 등)는 적분식을 이용한 수식화로 구함

적분식과 일반화

  • 격자 내任任二任] 모든 노드 쌍의 저항 값은 복수 변수의 적분(예: α, β 및 대체 변수 s, σ 등)으로 일반화할 수 있음
  • 해석 과정에선 고유방정식, 삼각다항식, 변수 변환 등을 사용하여 계산의 간소화 가능
  • 대각선상 노드 간 저항, 그 외의 노드 간 저항 모두 적절한 적분 및 회귀식으로 계산할 수 있음
  • Fourier 급수, 삼각치환, 변수변환 등 다양한 수학적 수단이 동원됨

결론 및 기타

  • 무한 저항기 그리드는 대칭성과 수학적 구조 덕분에 직관적으로도 명확한 해를 보이나, 엄밀하게는 경계 조건과 현실성을 따져야 함
  • 저항 계산은 수학적 테크닉(차분방정식, 적분, 특이점 처리 등)을 활용해 일반화할 수 있음
  • 이상적인 그리드는 실제 회로의 물리 법칙(유한 속도 전달, 유한 저항 등) 을 따르지 않으며, 현실과 이론상의 의미 차이가 존재함
  • 실용 사례나 추가적인 수학적 접근법은 별도의 수학 노트에서 더 다룸
▲
GN⁺ 2일전  [-]
Hacker News 의견

  • 실제 현업 문제와 무관하다고 사람들이 생각하지만, 사실 실리콘 기판의 저항은 현실적으로도 무한 저항 격자와 매우 유사함을 언급하고 싶음. 실리콘 기판은 대개 매우 두껍게 도핑(p-타입)되어 나오며, 팹에서 제공하는 정보는 저항률(resistivity, 보통 1~100 ohmcm)뿐임. 최신 공정에서는 주로 10 ohmcm 수준임. 기판을 통한 잡음 결합 이해에는 단일 점 대 점 저항 계산이 아니라, 격자 전체로 생각하는 직관이 필요함. 잡음을 모으기 위해 기판 접점을 격자 형태로 분산해야 한다는 점에서, 결국 무한 저항 그리드 문제와 연결됨

    • 포토리소그래피에 대해 어렴풋이 어렵다고만 느꼈는데, 이게 진짜로 이집트 여신(리토) 이름이 등장할 만큼 복잡한 분야라는 걸 몰랐음. 직접 경험해본 소감임

    • 설명한 상황은 오히려 연속체 모델이기 때문에 수학적으로 더 단순하다고 생각함

    • 저항률의 단위는 ohm*cm임을 강조하고 싶음. 예전에 Fairchild에서 일하면서 배운 내용임

  • 나는 수학과 전자공학의 관점 모두 가지고 있음. 전자공학자로서는 실험적으로 저항을 측정하려면 전류를 실제로 걸어봐야 한다고 주장함. 그리고 전류를 언제 걸었느냐에 따른 분산 인덕턴스·커패시턴스, 그리고 필드 전파 속도까지 묻게 됨. 이런 얘기를 들은 수학자는 술집에 가서 독한 술 한잔으로 진정함

    • 결국에는 물리학자를 데려와야 하는 상황이 됨. 물리학자는 충분히 먼 거리에서는 양자 현상이 지배적이 된다고 지적함. 아주 먼 곳의 노드에서 1초에 움직이는 전자의 수(즉, 전류의 흐름)는 결국 0 아니면 1임

    • “언제?”라는 질문에는, 모든 과도 응답(transient response)이 사라질 때까지 그냥 무한 시간 기다려야 한다고 답변할 수 있음. 그때가 되면 격자는 정상 상태에 진입해서, 회로도에서 보는 것과 똑같은 상태가 됨

    • 회로도 해석엔 두 가지 관점이 있다고 생각함. 하나는 실제 물리 부품(저항, 인덕턴스, 논리적 비선형성, 접지 평면 커패시턴스 등)을 표현하는 경우. OrCad 같은 도구를 사용할 때 의미하는 해석임. 또 다른 해석은 저항이 오직 이상적인 옴의 법칙만 따르고, 배선에 인덕턴스나 지연·저항이 전혀 없는 이상적 가상 세계. 이 경우 전압원의 두 단자를 바로 연결하는 것은 0으로 나누는 셈임. 가끔 현실 회로를 모델링하고 싶을 때 첫 해석에서 두 번째로 번역하며, 명시적으로 인덕턴스·저항 등을 추가함. 그게 아니면 SPICE 시뮬레이터가 알아서 처리해줌. 무한 저항 격자는 두 번째 해석에서만 존재함

    • 무한 저항 격자가 분명히 단순한 ‘장난감’ 문제라는 점은 맞지만, 실제로 우주가 무한하다고 가정하고 해석하는 것은 천체물리학의 현실임. 인간이 이런 스케일에 대한 직관이 부족해서, 우주 해석에 있어서 보이지 않는 사각지대가 생기는지 궁금함

    • 무한 저항 격자라면 행성 같은 구조체가 생길 수 있을까라는 재미있는 질문이 듦

  • 교육적인 관점에서는, 1옴 저항으로 이루어진 큐브의 반대쪽 꼭짓점 간 저항을 구하는 문제가 훨씬 더 직관과 회로 대칭성, 키르히호프의 전류 법칙 같은 개념을 배우기에 유용하다고 봄. 무한 격자는 수학적으로도 너무 멀게 느껴져서, 입문 과정에서 풀 만한 현실적인 문제 같지 않음

  • 단순 대칭성 해설 중심의 풀이에서 언제 "플러스/마이너스 노드를 분리해서 각각 전류장을 고려할 수 있다"는 전제를 받아들여야 하는지 이해가 잘 안 됨. 양 노드 사이에 대칭성이 남아 있긴 한데, 처음처럼 모든 방향에 동일한 전류 흐름을 가정할 수는 없기 때문에 의문이 남음

    • 맥스웰 방정식이 전기장과 자기장에서 선형이기 때문에, 장과 퍼텐셜을 서로 더하고 빼는 것이 가능하다고 설명함. 이 원리가 바로 간섭(Interference)이나 광학 격자에서 작동하는 것과 같음

  • 학부 때 전기전자공학과 수업에서 이 문제가 나왔었는데, 정말 싫어했던 문제임. 교수들이 좋아하던 생각 실험이었음

    • 개인적으로 처음이자 마지막으로 본 게 1학년 말 기말시험의 4문제 중 첫 번째였음. 수업에서는 무한 사다리 저항 문제를 다뤄봤지만, 그걸 이 문제에 적용해야 한다는 점에서 처음엔 상당히 난이도가 높다고 느꼈음

  • 이 문제는 “시트 저항(sheet resistance)”의 이산적인 버전임. 모든 노드 쌍의 저항이 동일함. 옛날 EE 대학 커리큘럼에서 다뤘지만, 해답 도출 방법은 지금은 기억이 잘 안 남. (시트 저항 위키 참고)

  • Veritasium이 비슷한 주제로 빛이 지나가는 경로를 보여주는 멋진 영상을 올린 적 있었음. 내가 본 최고의 물리 데모라고 생각하는 부분의 타임스탬프 링크 첨부함: Veritasium 유튜브 데모

    • 사실 이 데모가 그렇게 인상적이라고 하기엔, ‘경로 추가 빛’이 실제로는 레이저의 회절로 설명되는 효과임. 어떤 경계도 유한하면 항상 회절이 발생하니, 결과적으로 “빛이 가능한 모든 경로로 간다”는 해석과 구분이 힘들어짐. 하지만 그게 실제로 다중 경로를 간다는 명제와 동일한 증거는 아님. 게다가 레이저 소자의 회절 특성 자체도 물리적 한계보다는 훨씬 떨어질 것임. 냉소적으로 보면, “레이저가 축에서 벗어난 광이 일부 있으니까 그런 것 아닌가?”라는 의문이 생길 수 있는데, 실제로 물리적으로 그게 맞음. 데모만으로 전부 설명할 수는 없는 한계가 있음

  • 대칭성과 중첩(superposition) 해설에서, 왜 인접 노드에 alpha-beta-alpha가 등장하고, alpha-alpha-alpha가 아닌 건지 잘 이해가 안 됨. 왜 한 방향만 구분되는지, 나머지는 같은 처리가 되는지 궁금함

    • 처음에는 인접 전류가 모두 다를 수 있다고 가정하고, i_1부터 i_12까지 지정해서 접근함. 그런데 도형이 수직축에 대해 대칭이니 접히는 위치에서 전류값이 서로 같아지는 경우들을 표기함. 수평축에 대해서도 마찬가지로 적용함. 90도 회전 대칭성도 찾아보고, 가능한 확인을 모두 적용함. 이렇게 하면 여러 i 값들이 자연스럽게 두 집단으로 모이게 되고, 이를 alpha, beta로 묶어서 설명할 수 있음. 추가로, 대칭성으로는 alpha와 beta 서로를 바꿀 수 없으니(즉, 성질이 다름), 이런 구분이 생기는 것임

  • 무한대로 확장하면, 결국 R = rl/A(저항률 * 길이/단면적) 공식과 똑같아짐. 그런데 길이(l)도 무한, 단면적(A)도 무한이므로, “무한/무한”이 되고 값이 정의되지 않음. 이런 ‘쓸데없는’ 문제 푸는 것보다는 더 유익한 일에 시간 쓰라고 하고 싶음

  • 이 문제는 1학년 EE 학생들이 배우는 하이패스 필터 문제로도 알려져 있음

답변달기