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이모지 문제 (2022)

 (artofproblemsolving.com)
1P by GN⁺ 1일전 | ★ favorite | 댓글 1개
  • 인터넷에서 유명해진 이모지 수학 문제는 함정 요소 때문에 다양한 답이 발생하는 특징을 가짐
  • 수학 커뮤니티에서는 이런 문제에 대한 대안으로 진짜로 어려운 문제를 만들고자 했음
  • 해당 포스팅에서는 피타고라스 삼중항을 찾는 방법과 관련 기법(선 긋기) 을 설명함
  • 난이도 높은 이모지 문제는 타원 곡선과 유리수 해 분석이 핵심임
  • 수학적 도구 및 Mathematica를 통해 해를 찾아나가는 전략을 강조함

이모지 수학 문제의 배경과 등장

인터넷에서는 이모지(혹은 과일 그림 등) 로 표현된 수학 문제가 확산됨. 이 문제들은 헷갈릴 수 있는 요소(예: 바나나 개수의 미묘한 차이) 로 인해 한 문제에 대해 여러 답이 나와 논란과 바이럴 효과가 생김. 실제 수학자, 수학 커뮤니티에서는 이런 문제에 염증을 느꼈고, 2017년 reddit의 r/math에는 “진짜로 어려운 그림 수학 문제를 만들어보자”는 스레드가 등장함. 이곳에서 발표된 문제가 기존과 달리 정수 해를 찾는 게 쉬운 수준이었으나, Sridhar Ramesh라는 이가 약간 변형해 엄청나게 어려운 문제로 만듦. 변형된 문제의 가장 작은 해조차 80자리 이상의 숫자를 가지며, 타원 곡선과 관련한 고급 지식이 필요하다는 평가를 받게 됨.

피타고라스 삼중항을 구하는 따뜻한 예제

먼저 쉬운 문제로 피타고라스 삼중항 전수 방식을 다룸. x² + y² = z²을 만족하는 정수 해(Diophantine 방정식) 를 찾는 대신, x₁² + y₁² = 1에서 유리수 해(분수형 해) 를 찾는 것으로 접근.

  • 이때 x₁ = x/z, y₁ = y/z로 치환하면, 문제는 단위원 위에 존재하는 모든 유리수 점을 찾는 것으로 변환됨
  • 원점 (0,1) 등을 시작점으로 잡고, 유리 기울기의 직선을 긋는다고 생각
  • 해당 직선과 원이 만나는 두 번째 교점은 항상 유리수 점이 됨
  • 이는 Vieta 공식 등에서 확인할 수 있으며, 기울기를 고정해 모든 유리수 점에 도달 가능
  • 이를 정리하면, 피타고라스 삼중항은 (x, y, z) = (2mn, n²–m², n²+m²) 구조로 특성화 가능함(양의 정수 m, n에 대해 성립)
  • 핵심은 “선을 그으면 새 점이 나온다”는 원리임

원래 이모지 문제: 고난도 방정식을 타원 곡선으로 변환

문제의 핵심 수식은 x/(y+z) + y/(x+z) + z/(x+y) = 4 로 시작. 이를 정리하면 x³+y³+z³ = 3(x²(y+z)+y²(x+z)+z²(x+y)) + 8xyz 형태로 변환.

  • x₁ = x/z, y₁ = y/z로 치환, 전체를 z³로 나누어 유리수 해 분석으로 진행
  • 대입 후 나온 식은 x₁³ + y₁³ + 1 = 3(x₁²(y₁+1)+y₁²(x₁+1)+x₁+y₁) + 8x₁y₁ 임
  • 시각화하면, 이 식의 그래프는 대칭적이며 좌표축을 적당히 회전 및 재치환(x₂, y₂)하여 더 단순한 형태로 정리
  • 최종적으로 타원 곡선 형태의 다음 방정식이 도출됨: 1 - 6x₂ - 11x₂² - 4x₂³ - y₂² + 12x₂y₂² = 0

타원 곡선에서의 유리수 점 생성 원리

타원 곡선 위 두 유리수 점(P, Q)을 선택해 두 점을 잇는 직선을 긋고, 그 직선과 곡선의 세 번째 교점 R을 찾는 절차를 설명

  • 세 점(P, Q, R)은 모두 유리수 좌표를 가지게 됨
  • Vieta 공식과 선의 기울기 및 대수적 변형을 이용, 일관된 수식에서 세 번째 교점 계산이 가능함
  • 동일한 점(P=Q)에서 그리는 직선은 접선이 되며, 이 경우도 동일 원리 적용
  • “두 유리수 점을 연결하면 또 다른 유리수 점이 생긴다”는 점이 중요

유리수 점 ‘증식’의 한계와 무한 차수 점의 발견

타원 곡선 위에서 간단히 찾을 수 있는 자명한 유리수 점((0,1), (-1,0), (0,-1) 등)은 각각 해에 의미 없는 결과로 연결됨.

  • 이 점들만으로는 더 이상 새로운 유리수 점을 생성할 수 없는 토션 포인트(유한 차수 점) 만 반복
  • 미지의, 무한 차수(무한 개수 해를 제공) 점이 필요함
  • Mathematica 등 컴퓨터 계산을 활용, 새로운 유리수 점을 발견했는데 예를 들어 (-2, 1/5) 형태임(이 점을 A라 이름붙임)
  • 이 점을 활용, 접선 또는 다른 점과의 직선을 적용해 점점 더 새로운, 복잡한 유리수 해를 양산할 수 있음

실제 양수 해를 가지는 조건과 반복적 계산

문제의 해는 모든 x, y, z가 양수가 되어야 의미가 있음. 수식 전개상, z > 0를 가정할 때 x₁ > 0, y₁ > 0이 필요하고, 치환된 좌표(x₂, y₂)에 대해 x₂ > |y₂|을 만족시켜야 함.

  • 이 조건을 만족하는 영역(그래프의 특정 부분)을 ‘목표 구역’으로 삼고, 라인 트릭을 반복해 해당 영역의 유리수 해에 도달
  • 계산 과정에서 실제 유리수 점의 x좌표와 y좌표는 각각 복잡한 대수식(L, T와 Y 함수)을 활용해 구함
  • 이런 방식으로 접선 및 직선 기울기 계산, 반복적 적용을 거치면 수십 자리의 매우 큰 해에 도달함

결론

주어진 이모지 수학 문제는 단순해 보이지만, 실제로는 타원 곡선의 성질 및 유리수 점 생성 원리를 적극적으로 활용해야 하며, 경우에 따라서는 해의 수치가 기하급수적으로 커짐.

  • 간단한 구조-기반의 “선을 그어 새 점을 얻는다”는 원리는 타원 곡선에서도 변형되어 적용
  • 실제 정수 해 또는 양수 해를 찾는 과정은 상당히 복잡하며, 컴퓨터 대수 계산이 필수적임
  • 게시물의 후속편에서는 이 과정의 마무리, 더 깊은 수학적 배경 및 해 명세가 이어질 예정임
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GN⁺ 1일전  [-]
Hacker News 의견

  • 정말 훌륭한 Quora 답변 소개 링크 공유

    • 그 Quora 답변은 Alon Amit이 쓴 글이고, 원 기사에도 Alon Amit의 언급 내용 인용 포함 정보

    • 이런 게 바로 Quora의 진정한 정점 느낌 전달

  • 예전에 아이들에게 수학을 가르치면서 공식이나 수식을 동물, 구름, 별 같이 귀엽고 친근한 용어로 바꿔 사용 경험 공유, 아이들은 처음엔 귀찮아했지만 오히려 덕분에 추상적 개념에 흥미를 갖는 계기 제공, 나중에 다른 친구들 가르칠 때도 같은 방식 사용했다는 피드백 전달, x가 꼭 특별할 필요 없다는 점 강조, ‘x 대신 태양이나 “고양이 숫자 합계” 같이 아무 이름이나 쓸 수 있음’이라는 메시지 강조

    • ‘고양이 숫자 합계’ 같은 이름, 수학 문화 전반에 자리한 미니멀리즘 경향 언급, 공식 안에서 변수 명이 아주 짧거나 추상화된 경우가 많아서, 실제 공식 해석 시 ‘여기서 중요한 역할을 하는 이 기호, 대체 뭔가? 누가 ‘φ’라고 적어놨지…’라는 어려움 야기, 프로그래머들이 변수명 짓는 게 어렵다는 농담보다 수학자들이 더 심하다는 농담 강조, 수천 년간 인간 언어와 라벨을 활용할 수 있는데, 쓸데없이 ‘rho’ 같이 암호화한 기호를 쓰는 건 불필요함 의견, 수학 논문에서 파생된 프로그램에서라도 변수명은 의미를 직관적으로 전달하는 명칭 사용 필요성 강조

  • OpenAI 인터페이스 이용해 ChatGPT에 문제 이미지 업로드 시도 후기, 처음엔 모델이 문제를 이미 알고 정답을 내거나, 아무거나 상상해내거나, 아예 풀이 거부할 것으로 예상, 하지만 실제론 정답인 척 자신 있게 추측을 내놓다가 직접 계산 후 틀렸음을 깨닫고, 같은 추측을 반복하는 모습 관찰, 대칭성조차 파악 못 하고 비구조적 에이전트처럼 행동, 결국 정답이 없다는 결론을 확신하며 강조, 이런 결과는 예상 밖이라 미래에 다른 퍼즐에도 이 정도로 못하면 내 믿음 업데이트 계획

    • Gemini에 같은 질문 시도 결과 공유, 그리고 ChatGPT o3도 사용해봤고 생각하는 데 11.5분 소요 경험, 관련 작업 링크 공유

    • 사람 머리로 이해 가능한 ‘합리적’ 답이 아예 없다는 점에서 오히려 인상적, Wolfram Alpha와 연결된 ChatGPT 버전도 있는 것으로 아는데 그쪽은 시도 안 했는지 궁금 정보

  • Sridhar Ramesh 언급에 대해, 수학 박사와 동시에 인터넷 밈 기반 농담(‘shitposting’) 모두에 능한 보기 드문 인재라 생각 강조

  • 이런 종류의 퍼즐 엄청 좋아해서 ‘Dantzig Sniping’이라는 이름 붙여 친구들에게 소개 경험, 직접 만든 문제와 관련 맥락 링크 공유

    • 처음엔 Gdańsk(Danzig) 지명을 연상해서 뭐가 스나이핑됐는지 궁금했었다는 반응 공유

    • 이런 속성을 가진 문제는 어떻게 발견하는지 궁금함 질문

  • 2025년인데 왜 저자는 변수명에 과일 이모지를 실제로 안 쓰는지 유머 섞인 의문 제기

    • 복잡한 C 코드 분석할 때 변수명을 이모지로 바꿔보면 어떤 변수가 어디서 쓰였는지 한눈에 파악되어 코드 구조 파악에 도움 경험, 예시 이미지 공유, 안타깝게도 Rust, JS 같은 현대 언어들은 XID_Start/XID_Continue 표준을 따라 이모지 식별자 사용을 막고 있음 문제점 지적

    • Gemini가 과일 이모지 변수명을 사용하여 brute force 방식으로 문제를 푼 C# 코드 예시 링크 공유

    • 올해가 2025년이지만, 해당 언어가 만들어진 해가 2025년은 아니라는 현실적인 언급 첨언

  • ‘4’ 대신 다른 상수를 넣으면 훨씬 어마어마하게 큰 최소해가 등장 가능, 관련 재미있는 다이어판틴 방정식(정수해 방정식) 예시 링크 공유

    • 1억 2천만 자리 수 같은 괴상하지만 멋진 거대수를 실시간으로 불러오는 기능이 인상적으로 좋음 강조

  • 이 문제 처음 등장했을 때 정수론 세미나에서 다 함께 크게 웃었던 기억 공유

  • 수론과 특이한 그래프에 대한 깊은 탐구는 흥미롭지만, 원래 주어진 사과/바나나 퍼즐에서 정확히 뭐가 헷갈리거나 함정 포인트였는지 궁금증, 쉽게 혼동하는 요소나 논쟁 유발 포인트가 있었는지, 아니면 너무 쉽기 때문에 다들 잘난 척하려고 달려드는 건지 궁금함, 자신은 10, 4, 2라는 답을 냈는데 오히려 자신이 헷갈린 건 아닐까 하는 의견

    • 실제 ‘트릭’은 마지막 묶음에 바나나가 3개, 다른 묶음은 4개이고, 코코넛도 마지막 식에만 하나만 존재, 실제로 '1 + 10 + 3'처럼 오해할 수도 있겠다는 설명

  • 특정 문제 링크 주소의 쿼리 파라미터인 “srsltid”는 불필요한 값이라는 팁 공유

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