- 양파를 균일한 크기로 자르려는 방사형 칼질 문제를 수학적으로 모델링한 결과, 칼끝은 황금비의 역수 0.61803398875…가 아니라 반지름의 55.73066% 아래를 향해야 한다는 값이 나옴
- 모델은 양파를 반지름 1인 반원형 원반으로 단순화하고, 층과 칼질 수를 무한대로 두어 연속수학과 다변수 미적분으로 풀 수 있게 만듦
- 계산의 핵심은 좌표변환의 Jacobian으로 미소 조각의 상대적 넓이를 구하고, 그 넓이의 분산이 가장 작아지는 깊이
h를 찾는 방식임 - Mathematica의 수치적분과 수치최소화를 적용하면 최소 분산은
h ≈ 0.55부근에서 나타나며, “true onion constant”는0.5573066…이 됨 - 이 값은 무한히 많은 층을 가진 이상화된 양파 기준이며, 실제처럼 유한한 층을 가진 양파에서는 최적 깊이가 달라질 수 있음
60% 아래를 향해 자르라는 조언에서 시작된 문제
- Chef Kenji López-Alt의 YouTube 영상에는 한 수학자 친구가 양파를 자를 때 중심보다 아래쪽, 반지름의 60% 지점을 향해 방사형으로 자르라고 했다는 이야기가 나옴
- 그 값은 황금비의 역수인
0.61803398875…와 관련된 것으로 소개됨 - 이후 실제 양파를 그렇게 자르면서, 왜 그런 값이 나오는지 수학적으로 따져보는 문제가 됨
- 두 달 동안 큰 진전이 없다가, 이틀 동안 계산을 진행해 “true onion constant”라고 부르는 값을 찾음
계산 가능한 양파 모델
- 양파는 중심이 원점에 있고 위쪽 반평면에 놓인 반지름 1의 반원형 원반으로 단순화됨
- 실제 양파의 3차원 구조와 단면 형태는 제외함
- 이 단순화는 문제를 다루기 쉽게 만드는 근사임
- 층 수가 해답에 영향을 주기 때문에, 층이 무한히 많은 양파를 가정함
- 한 층짜리 양파라면 중심을 향해 자르는 것이 최선임
- 열 층짜리 양파라면 중심보다 아래쪽을 향해야 함
- 무한히 많은 층을 두면 무한히 많은 칼질도 자연스럽게 함께 고려할 수 있음
- 이 가정 덕분에 문제가 연속수학 영역으로 옮겨지고, 미적분을 적용할 수 있음
Jacobian으로 조각의 균일성 재기
- 일반적인 극좌표 변환에서는 작은 면적
dx dy가r dr dθ로 바뀌며, 이때r이 Jacobian 역할을 함 - 이 값은 양파의 미소 조각들이 서로 얼마나 큰지를 비교하는 척도로 쓰임
- 중심에 가까운 조각은
r이 작아 더 작음 - 가장자리에 가까운 조각은
r이 커서 더 큼
- 중심에 가까운 조각은
- 조각의 균일성은 미소 면적 가중치의 분산으로 측정함
- 분산이 크면 조각들이 덜 균일함
- 분산이 작으면 조각들이 더 균일해짐
- 중심을 향해 자르는 경우의 평균 면적 가중치와 분산을 먼저 계산한 뒤, 중심 아래 지점을 향하는 칼질을 위해 새 좌표계를 도입함
중심 아래 한 점을 향하는 좌표계
- 칼질이 향하는 점을 원점 아래
(0, -h)로 두고,h > 0인 좌표계를 구성함 - 이 좌표계에서는 각도
θ를(0, -h)에서 재고, 반지름r은 원점(0, 0)에서 잼- 방사형 부분은 원점 기준의 양파 층을 모델링함
- 각도 방향은 칼이
(0, -h)를 향해 직선으로 들어가는 방식을 모델링함
- 이 좌표계는 위쪽 반평면에서만 문제 없이 작동하고, 모델 양파 전체가 위쪽 반평면에 있으므로 사용할 수 있음
- 대칭성을 이용하면 오른쪽 절반만 분석해도 충분함
- 영역은
0 ≤ θ ≤ arctan(1/h) - 반지름 범위는
h tan(θ) ≤ r ≤ 1
- 영역은
- 코사인 법칙으로
(x, y)와(r, θ)의 관계를 구하고, 주어진 깊이h에 대한 Jacobian을 계산함 - 이 Jacobian을 바탕으로 평균 면적 가중치
A(h)와 분산v(h)를 정의함
계산 결과: true onion constant
v(h)를 손으로 적분하기는 매우 어렵거나 불가능해 보여 Mathematica의 수치적분을 사용함- 분산을
h에 대해 그리면 최소값은h = .55부근에서 나타남 - 수치최소화 결과, 무한히 많은 층을 가진 이상화된 양파의 “true onion constant”는
0.5573066…임 - 가장 균일한 방사형 칼질을 하려면 칼이 양파 중심보다 아래쪽, 반지름의 55.73066% 지점을 향해야 함
- 이 값은 영상에서 나온
61.803%와 가깝지만 같지는 않음 - 실제 양파처럼 유한한 층을 가진 경우에는 값이 달라질 수 있음
- 한 층에서는 최적 깊이가
0 - 무한히 많은 층에서는
0.5573066… - 열 층짜리 양파의 최적 깊이는
0과0.5573066…사이일 것으로 예상하지만, 깊이 있게 조사되지는 않음
- 한 층에서는 최적 깊이가
이후 업데이트: 닫힌 형태와 이름
- 이후
v(h)를 닫힌 형태로 계산할 수 있게 됨 - 미적분에서 함수를 최소화하려면 도함수를 0으로 두므로,
v'(h)를 계산함 - 구간
(0, 1)에서 해당 도함수의 유일한 근이 양파 상수임- 이 지점은
v(h)의 임계점임 v'(h)의 부호가 음수에서 양수로 바뀌므로 최소점임
- 이 지점은
- 이 방식으로 양파 상수를 임의 정밀도로 계산할 수 있으며, 1000자리까지의 십진 전개가 포함됨
- 이 수학 상수의 이름으로 히브리 문자 samekh가 선택됨
- 선택 이유는 그 문자가 양파처럼 보이기 때문임