- 유한 요소법(FEM) 은 1940년대 초 격자·삼각 부분영역·변분법 기반 이산화에서 출발해, 2021년에 발명 80주년을 맞은 계산공학의 핵심 방법으로 자리 잡음
- FEM은 재료·구조 역학을 넘어 유체 흐름, 열전도, 전자기학, 반도체 회로·칩 설계, 적층 제조, 의료 진단과 수술 계획 등 PDE로 기술 가능한 문제 전반의 계산 기반으로 확장됨
- Hrennikof, Courant, Argyris, Turner, Clough, Zienkiewicz, Kang Feng 등의 기여가 이어졌고, 1960년 Clough가 Finite Element Method라는 이름을 붙이며 용어가 정착함
- 1966–1991년에는 수렴 이론, 혼합 변분 원리, 시간 적분, Navier–Stokes 해법, 메시 생성, 비선형 구조역학, 유체-구조 상호작용, 확률 FEM, 접촉 해석이 발전하며 산업 시뮬레이션 도구로 확대됨
- 1992년 이후에는 오차 추정, hp FEM, X-FEM, phase-field fracture, isogeometric analysis, multiscale FEM, VEM, 상용·오픈소스 소프트웨어, 머신러닝·축소차수 모델이 결합되며 실시간·데이터 기반 계산으로 초점이 이동함
FEM의 범위와 80년 발전 구분
- 2021년은 finite element method(FEM) 발명 80주년임
- FEM은 다음 분야의 계산 기반으로 자리 잡음
- 재료·구조 역학
- 유체 흐름과 열전도
- 의료 진단과 수술 계획을 위한 생물학적 과정
- 전자기학
- 반도체 회로·칩 설계·분석
- 적층 제조
- 편미분방정식(PDE) 으로 기술 가능한 문제 전반
- FEM은 자동차, 항공기, 해양 구조물, 교량, 고속도로, 고층 건물 등 과학 모델링과 공학 설계 방식을 크게 바꿈
- FEM 발전과 함께 computational mechanics 또는 computational science and engineering이라는 공학 과학 분야도 성장함
- 발전사는 네 시기로 나뉨
- 1941–1965: 초기
- 1966–1991: 황금기
- 1992–2017: 대규모 산업 응용과 재료 모델링 발전
- 2018년 이후: 현재와 미래의 최신 FEM 기술
- 초점은 주로 고체·구조 역학 응용과 관련 발전에 있으며, 유체역학·열전달·유체-구조 상호작용은 제한적으로 다뤄짐
- FEM 발전은 여러 시기에 걸쳐 얽혀 있어 엄격한 연대순만으로 정리하기 어려움
1941–1965: 격자, 변분법, 삼각 요소의 등장
- FEM의 수치 모델링 패러다임 기원은 1940년대 초로 거슬러 올라감
- 1941년 University of British Columbia의 A. Hrennikof는 membrane and plate model을 lattice framework로 다룬 논문을 발표함
- 해 영역을 lattice structure의 mesh로 이산화함
- 이 작업은 mesh discretization의 초기 형태임
- 같은 해 R. Courant는 Saint–Venant 원통 비틀림 문제에서 나오는 2차 PDE를 변분법으로 수치 처리하는 방법을 발표함
- finite triangle subdomains 위의 trial function과 Rayleigh–Ritz method를 체계적으로 사용함
- 이 발표는 1943년 논문으로 출판됨
- McHenry, Prager and Synge, Synge and Rheinboldt의 문헌에도 유사한 이산화와 변분 정식화 작업이 남아 있음
- 1950년대 초 여러 엔지니어와 학자들이 초기 접근법을 발전시켜 항공·토목공학의 실제 문제를 풀기 시작함
- J.H. Argyris와 M.J. Turner는 서로 다른 강조점으로 병렬 개발을 진행했고, Turner에는 R.W. Clough와 H.C. Martin이 합류함
- 이들이 개발한 방법은 오늘날 FEM의 초기 형태로 알려짐
- 당시에는 Matrix Stiffness Method로 불림
- R.W. Clough는 1960년 발표 논문에서 Finite Element Method라는 표현을 만들었고, 이 이름은 빠르게 받아들여짐
- Turner, Clough, Martin, Topp는 임의 형상의 구조 부품에 적합한 triangular elements용 FEM interpolants를 개발함
- triangle element의 발명은 일부 관점에서 “quantum leap”로 불림
- 많은 공학 커뮤니티에서는 Turner et al.의 1956년 논문을 FEM의 출발점으로 봄
Berkeley, Boeing, Norfork Dam과 초기 확산
- Boeing의 M. Jon Turner는 항공기 설계가 실제 응력을 견딜 수 있는지 사전에 판단할 신뢰할 방법이 필요했고, Ray Clough와 Harold Martin을 Boeing 여름 faculty internships로 초청함
- Turner, Clough, Martin의 협업은 컴퓨터로 많은 계산을 수행해 실제 성능을 예측하는 구조 해석 방법으로 이어짐
- Clough는 UC Berkeley에 FEM 연구 그룹을 만들고 다양한 분석·실험에 FEM을 사용함
- 건물·구조물의 핵폭발 또는 지진 내성 설계
- 우주선 구조 요구사항 분석
- 심해 해양 시추 구조 분석
- 1957년 가을 Clough는 membrane, plate, shell, solid structures 분석을 위한 finite element research에 관심 있는 학생을 찾는 공지를 붙임
- 당시 연구 자금은 없었지만 다른 자금원이 있던 대학원생들이 응답함
- Berkeley의 초기 디지털 컴퓨터는 1951년에 생산된 vacuum tube 기반 IBM 701이었고, 풀 수 있는 linear equations의 최대 개수는 40개였음
- 1959년 Berkeley Campus에 IBM 704가 설치됨
- 32K 32-bit memory와 IBM 701보다 약 100배 빠른 floating-point arithmetic unit을 갖춤
- fine meshes를 사용해 practical structures를 풀 수 있게 됨
- Clough의 1962년 Norfork Dam 분석은 FEM의 초기 실용성을 보여줌
- Arkansas의 250-foot-high Norfork Dam은 1942년 건설 중 vertical crack이 생김
- FEM 분석은 온도 변화로 인한 균열의 위치와 크기를 올바르게 예측함
- gravity와 여러 hydrostatic load 조건에서 dam과 foundation 내부의 realistic displacements and stresses를 산출함
- Clough는 2차원 plane structures의 변위와 응력을 평가하는 finite element analysis computer program의 FORTRAN listing을 자유롭게 제공함
- 다른 기하, 재료, 하중 조건의 2D plane structures에 사용할 수 있었음
- 전문 엔지니어들이 구조공학 문제에서 stress distributions를 구하는 데 FEM을 쉽게 활용할 수 있게 됨
- R.W. Clough는 FEM 창안과 발전에 기여한 공로로 1994년 Al Gore 당시 미국 부통령에게 National Medal of Science를 받음
초기 인물과 이론적 기반
- 오늘날의 합의로는 R. Courant의 수학적 기반 기여 이후 J.H. Argyris, R.W. Clough, O.C. Zienkiewicz가 FEM 탄생과 초기 발전에 중추적으로 기여함
- 1960년대 초 Chinese Academy of Science의 Kang Feng은 독립적으로 elliptic PDE를 풀기 위한 variational principles 기반 discretization numerical method를 제안함
- Peter Lax는 Kang Feng이 서구의 병행 발전과 독립적으로 FEM 이론을 만들었다고 평가함
- Kang Feng의 작업은 FEM의 초기 convergence studies 중 하나로 꼽힘
- E.L. Wilson은 finite element open-source software를 처음 개발한 사람으로 언급됨
- 1958년 Clough의 지도 아래 Boeing에서 개발된 rectangular plane stress finite element를 기반으로 자동화된 finite element program 개발을 시작함
- J.T. Oden과 G.C. Best는 초기 general purpose FEM computer codes 중 하나를 작성함
- 3D elasticity, 2D plane elasticity, 3D beam and rod elements, composite layered plate and shell elements, general composite materials용 elements를 포함함
- 항공우주·방위 산업의 aircraft analysis and design에 수년간 사용됨
- 1965년까지 FEM 연구는 전 세계적으로 매우 활발한 분야가 되었고, 문헌에 발표된 논문 수가 1000편을 넘음
- Hellinger–Reissner variational principle과 Hu-Washizu variational principle은 이후 혼합 FEM 발전의 기반이 됨
- 1964년 Pian은 mixed variational principles를 Galerkin weak form 기반 FE formulations에 사용할 가능성을 인식하고 assumed stress FEM을 제안함
1966–1991: 수렴 이론, 동역학, 유체, 비선형 해석
- 1960년대 말부터 FEM을 뒷받침하는 엄밀한 근사 이론이 발전함
- Cea lemma와 Bramble-Hubert lemma가 FEM 수렴 증명에서 중요한 결과로 꼽힘
- Nitsche의 일반 선형 타원 문제에 대한 L∞ 추정 연구는 1970년대 FEM 수학적 기초의 중요한 기여임
- 실제 엔지니어들은 비적합 FEM 보간자나 표준 변분 형식을 위반하는 수치 구적을 사용하고 있었음
- G. Strang은 이런 수치 기법을 variational crimes라고 부름
- B. Iron과 R. Melosh가 초기 FEM patch test를 만들었고, 올바른 해로의 수렴을 보장하는 데 중요한 역할을 함
- 혼합 변분 원리 기반 FEM에서는 Babuska-Brezzi condition 또는 LBB condition이 핵심 결과로 등장함
- saddle point 문제가 입력 데이터에 연속적으로 의존하는 유일해를 갖기 위한 충분조건을 제공함
- 혼합 변분 원리 기반 FEM의 형상 함수를 구성하는 지침이 됨
- 1970년대 FEM 개발은 자동차 산업의 crashworthiness를 포함한 구조물 동적 거동 시뮬레이션으로 초점이 이동함
- Newmark-beta method, Wilson-theta method, Hilbert-Hughes-Taylor alpha method, Houbolt integration algorithm, explicit time integration algorithm 등이 개발됨
- explicit time integration은 자동차 산업에서 game changer가 되었고, FEM을 승용차 설계와 충돌 안전성 분석의 주요 도구로 자리 잡게 함
- 1980년대 말까지 미국 3대 자동차 제조사에는 explicit time integration 기반 FEM 코드를 실행하는 워크스테이션이 수천 대 있었음
- 1980년대 FEM의 주요 연구 주제 중 하나는 Navier–Stokes 방정식을 FEM으로 푸는 일이었음
- Hughes와 공동 연구자들은 streamline upwind/Petrov Galerkin method, Stabilized Galerkin FEM, space–time FEM, variational multiscale FEM을 개발함
- 1986~1991년 Hughes와 L.P. Franca 등은 전산 유체역학을 위한 FEM formulation에 관한 10부작 논문을 작성함
- 1980년대 중반에는 interactive computer graphics, adaptive mesh generator, solid modeling 기법이 결합되며 고급 FEM mesh generation이 발전함
- J. Simo의 기여는 1980년대 FEM 기술 발전의 주요 하이라이트 중 하나임
- computational plasticity를 위한 consistent tangent operator
- geometrically exact beam and shell theories
- assumed strain 또는 enhanced strain methods
유체-구조 상호작용, 확률 FEM, 접촉 해석
- 1970년대 중반부터 1990년대 초까지 항공우주·토목공학 산업에서는 대규모 fluid–structure interaction(FSI) 문제를 풀 기술 수요가 컸음
- Hughes-Liu-Zimmermann Arbitrary Lagrangian–Eulerian(ALE) fluid–structure FEM formulation은 이동 경계 문제를 다룸
- ALE에서는 영역 내부 계산 mesh가 요소 형상을 최적화하기 위해 임의로 움직일 수 있음
- 영역 경계와 interface의 mesh는 재료와 함께 이동해 multi-material system의 경계와 interface를 정밀 추적할 수 있음
- C. Farhat은 large-scale parallel ALE-FEM solver를 사용해 FSI 문제를 계산한 첫 인물로 언급됨
- Farhat 그룹은 대규모 방정식계를 확장성 있게 풀기 위한 finite element tearing and interconnecting method를 개발함
- FEM FSI 연구는 1990년대 중반 혈관 질환의 환자별 모델링과 FEM 기반 predictive medicine의 기초를 제공함
- W.K. Liu와 T. Belytschko는 1980년대 말 probabilistic FEM 또는 random field FEM을 처음 개발함
- 하중 조건, 재료 거동, 기하 구성, 지지 또는 경계 조건의 불확실성을 고려함
- 구조 신뢰성 해석에 적용될 수 있음
- 1980년대 초 General Motors Research Lab의 M.E. Botkin과 University of Michigan의 N. Kikuchi 그룹은 자동차 산업을 위한 structural shape optimization FEM을 개발함
- 1976년 Hughes, Taylor, Sackman, Curnier, Kanoknukulchai의 논문은 computational contact mechanics의 가장 이른 FEM 분석 중 하나임
- dynamic contact and impact problems의 FEM 모델링에 관한 최초 연구로 꼽힘
- sheet metal forming, target impact and penetration, pavement와 tire의 상호작용 등이 예시로 언급됨
- 접촉 알고리듬 연구는 1990년대 말까지 활발한 연구 주제로 남음
1992–2017: 오차 추정, 균열, 메시 없는 방법
- 1992–2017년 FEM 발전의 첫 주요 사건은 Zienkiewicz-Zhu 사후 오차 추정기의 정식화임
- 적응형 메시 세분화를 통해 계산 자원을 최적으로 쓰면서 FEM 해의 품질 관리를 제공함
- 오늘날 사후 오차 추정을 통한 품질 개선은 Bayesian inference와 Bayesian update 수준까지 확장됨
- 이 주제는 validation and verification과 밀접하게 연결됨
- Szabo와 Babuska는 h와 p를 함께 쓰는 hp FEM을 개발함
- 적절한 h-refinement와 p-refinement를 결합해 메시를 세분화할 때 지수 수렴을 보임
- 대부분의 다른 FEM이 대수적 속도로 수렴하는 것과 대비됨
- 1994년 Xu와 Needleman은 재메싱 없이 균열 성장을 시뮬레이션할 수 있는 FEM cohesive zone model(CZM) 을 개발함
- Belytschko와 W.K. Liu는 재료 파괴와 손상 모델링의 메시 편향 문제를 완화하기 위해 meshfree particle method를 개발함
- element-free Galerkin method와 reproducing kernel particle method가 대표 사례임
- RKPM은 SPH method와 비교해 consistency를 제공하고 수렴을 개선함
- 2001년 J.S. Chen과 공동연구자들은 meshfree RKPM을 위한 stabilized conforming nodal integration method를 제안함
- 단순하고 안정적이며 Galerkin 약형 정식화와 변분적으로 consistent함
- partition of unity finite element method는 이후 generalized finite element method로 불림
- h, p, hp 버전 FEM의 일반화임
- 해석적 해를 FEM 이산화에 임베드할 수 있음
- 1990년대 후반 Belytschko, Black, Moes, Dolbow 등은 X-FEM을 개발함
- enriched discontinuous shape function을 사용해 재메싱 없이 균열체 형상을 포착함
- 계산 파괴역학과 FEM refinement 기술의 중요한 돌파구가 됨
- 2000년경 Bourdin, Francfort, Marigo는 재료 파괴 모델링을 위한 phase-field approach를 개발함
- Galerkin FEM으로 연속체 운동 방정식과 phase equation을 함께 풀어 응력 특이점과 재메싱 없이 균열 해를 찾을 수 있음
CAD 통합, 다중스케일, 가상 요소
- FEM의 큰 성공 이유는 과학 분야 전반의 공학 해석과 설계에 폭넓게 적용 가능하다는 점임
- T.J.R. Hughes, J.A. Cottrell, Y. Bazilevs 등은 isogeometric analysis(IGA) FEM을 개발함
- NURBS 함수를 FEM shape function으로 사용함
- CAD와 FEA 패키지 사이의 데이터 변환 없이 기존 NURBS 기반 CAD 도구에 FEM을 통합함
- 나노기술의 등장으로 원자론적 방법과 연속체 규모 FEM을 결합하는 multiscale method가 개발됨
- molecular dynamics, density functional theory, ab initio method 등이 언급됨
- hand-shake method, quasi-continuum FEM, bridging scale method가 주요 기여임
- 2007년 Gavini, Bhattacharya, Ortiz는 수백만 원자 DFT 계산을 위한 quasi-continuum orbital-free DFT FEM을 개발함
- 1990년대 후반 이후 computational homogenization method가 빠르게 발전함
- 주기적 미세구조를 가진 복합재료를 위한 multiscale computational homogenization
- 무작위 미세구조를 가진 복합재료를 주로 대상으로 하는 computational micromechanics method로 나뉨
- 2013년 L. Beirão da Veiga와 F. Brezzi가 이끈 이탈리아 연구진은 virtual element method(VEM) 를 제안함
- 임의 요소 형상을 위한 기존 FEM의 확장임
- 2D polygon 또는 3D polyhedron 같은 polytopal discretization을 허용함
- local shape function basis를 명시적으로 계산할 필요가 없다는 점에서 virtual이라는 이름이 붙음
- 좋은 품질의 메시를 얻기 어려운 복잡한 형상 문제와 국소 refinement가 필요한 문제에서 기존 FEM보다 유리한 특성을 가짐
교육과 소프트웨어 산업
- 1957년 R. Clough는 UC Berkeley에서 첫 대학원 FEM 과목을 도입함
- 이후 전 세계 주요 공학 대학과 학교의 공학 커리큘럼에 대학원·학부 수준 FEM 과목이 추가됨
- 2015년 말까지 전 세계 수십 개 언어로 FEM 단행본과 교과서가 수백 권 이상 출간됨
- Zienkiewicz and Taylor 또는 Zienkiewicz et al.의 FEM 교과서는 FEM 기술 대중화에 큰 영향을 미쳤을 가능성이 있음
- Taylor가 작성한 FEM 연구용 컴퓨터 프로그램 코드 FEAP가 책 부록에 실림
- 컴퓨터에서 FEM을 구현하는 즉각적인 지침을 제공함
- FEM 소프트웨어 기술 개발은 1960년대 초에 시작됨
- 1963년 E.L. Wilson과 R. Clough가 Symbolic Matrix Interpretive System(SMIS)을 개발함
- Wilson은 SMIS를 기반으로 Structural Analysis Program(SAP)을 시작하고 개발함
- K.J. Bathe는 SAP IV와 NONSAP을 기반으로 비선형 FEM 코드 ADINA를 개발함
- NASA는 자체 FEM 코드 NASTRAN을 개발함
- 첫 버전 COSMIC Nastran은 1969년에 등장함
- 1971년 MSC Software는 Nastran의 상용 버전인 MSC Nastran을 출시함
- J.A. Swanson은 초기 ANSYS FEM 코드를 개발함
- ANSYS는 현재 전 세계 주요 상용 FEM 소프트웨어 중 하나가 됨
- DYNA3D는 Lawrence Livermore National Laboratory의 J.O. Hallquist가 개발함
- 구조물의 충격, 동적 접촉, 파손 해석에 널리 사용됨
- 이후 LS-DYNA로 발전함
- 2018년 Livermore Software Technology가 ANSYS에 인수되면서 LS-DYNA는 ANSYS LS-DYNA로 ANSYS의 일부가 됨
- ABAQUS는 Hibbitt, Karlsson, Sorenson이 만든 HKS가 출시한 대규모 상용 FEM 소프트웨어임
- 사용자 정의 서브루틴을 허용해 연구자가 표준 FEM 솔버를 연구에 활용하기 쉽게 함
- 1990년대 말부터 2000년대 초까지 FEM 소프트웨어 산업은 수십억 달러 규모의 비즈니스가 됨
- ANSYS, ABAQUS, ADINA, LS-DYNA, NASTRAN, COMSOL Multiphysics, CSI 등이 잘 알려진 FEM 소프트웨어로 언급됨
- FreeFEM, OpenSees, Elmer, FEBio, FEniCS Project, DUNE 등 오픈소스 FEM 소프트웨어도 존재함
2018년 이후: 머신러닝, 데이터 기반 FEM, 축소차수 모델
- 현대적 FEM은 크고 복잡한 산업 문제를 일상적으로 풀 수 있으며, 제품 설계를 위한 예측 분석과 근본 이해를 가능하게 함
- 새로운 발명에서 공간·시간·설계 매개변수 공간 전반의 데이터가 대량 생성되면서, 과학 원리 개발이 발명 속도를 따라가지 못하는 경우가 있음
- FEM 연구자들은 이를 위해 machine learning과 deep learning 기반 FEM을 연구함
- Mechanistic Data Science(MDS) FEM은 알려진 과학 원리와 새로 수집된 데이터를 결합하며, 새 발명을 위한 중요 연구 방향임
- active deep learning과 hierarchical neural network 같은 방법을 사용함
- 입력 데이터 처리, 기계론적 특징 추출, 차원 축소, 회귀·분류, 지식 데이터베이스 제공을 수행함
- 최근 machine learning과 deep learning 발전으로 deep neural network를 구성해 FEM을 푸는 방식이 최신 기술로 자리 잡음
- Physics-Informed Neural Networks는 strong form의 고차원 PDE를 풀고, 자연 경계조건과 필수 경계조건을 수용하는 제약을 사용함
- Deep Ritz Method, Deep Galerkin Method, physics-constrained deep learning, partition of unity network 등 FEM 구조와 신경망을 결합하는 방법이 연구됨
- Zhang et al.은 DNN의 계층적 특성에 기반한 FEM shape function 구성 논문을 발표하고 이를 HiDeNN이라고 부름
- RKPM, NURBS, IGA 등 여러 deep learning interpolation function 구성을 보임
- HiDeNN-AI는 여러 data-driven tool을 통합할 수 있으며, 물리 지식이 거의 없거나 없고 계산 수요가 큰 과학·공학 문제를 풀기 위한 일반적 접근을 제공함
- FEM 계산 비용을 줄이기 위해 offline stage에서 FEM database를 구축하고 online stage에서 최종 해를 계산하는 two-stage data-driven method가 제안됨
- FE-SCA는 unsupervised machine learning으로 material point를 그룹화하고 reduced-order Lippmann–Schwinger micromechanics equation을 풀어 multiscale analysis 계산 비용을 줄임
- Reduced order modeling은 빠르고 거의 실시간인 시뮬레이션에 대한 산업 수요와 맞닿아 있음
- online dynamic system control
- structural health monitoring
- vehicle health monitoring
- online advanced manufacturing feedback control
- automated driving control and decision
- 실용적 optimal control은 milli-second 또는 sub-milli-second 범위 안에서 신뢰할 수 있는 예측을 요구할 수 있음
- reduced order machine learning method는 model reduction과 순수 data-driven machine learning 접근의 병목을 넘기 위한 physics-data combined model을 가능하게 할 수 있음