논리
논리란 무엇인가
- 논리는 가능한 것의 과학이며, 모든 다른 과학의 근본임.
- 과학이 우주가 어떻게 작동하는지를 설명한다면, 논리는 어떤 우주에도 적용될 수 있는 설명의 일부임.
- 논리는 한 가지 사실을 알면 다른 사실이 참임을 결론짓는 규칙을 연구함.
논리와 수학
- 논리는 집합론 및 범주론과 유사하며, 수학적 이론은 논리에 추가 정의를 더한 것임.
- 집합론은 논리의 표준 공리에 하나의 원시 관계를 추가하여 정의될 수 있음.
기본 명제
- 논리는 가능한 것의 과학이므로, 참 또는 거짓으로 받아들여지는 초기 명제 집합이 필요함.
- 이러한 명제는 "전제", "기본 명제" 또는 "원자 명제"라고 불림.
명제 구성
- 논리의 핵심은 구성의 개념이며, 여러 명제를 논리 연산자를 사용하여 결합할 수 있음.
- 논리 연산자는 "그리고", "또는", "따라서" 등을 포함함.
기본 명제와 복합 명제의 동등성
- 여러 전제로 구성된 명제는 기본 명제와 다르지 않으며 동일한 방식으로 구성됨.
모순 논법
- 모순 논법은 가장 오래된 논리 명제 중 하나로, A가 참이고 A가 B를 함의하면 B도 참임을 나타냄.
자명한 진리
- 자명한 진리는 항상 참인 명제이며, 그 반대는 항상 거짓인 모순임.
- 자명한 진리는 공리 도식/추론 규칙의 기초로 사용됨.
논리 시스템
- 공리 도식/추론 규칙을 사용하여 새로운 명제를 생성할 수 있음.
- 논리 시스템은 이러한 도식/규칙의 작은 컬렉션으로 구성됨.
결론
- 논리의 주요 구성 요소(공리, 추론 규칙)를 이해하기 위해 특정 해석을 통해 증명해야 함.
고전 논리: 진리 기능적 해석
- 고전 논리는 플라톤의 이데아 이론에 기반하며, 모든 명제는 참 또는 거짓임.
- 논리 연산자는 불리언 값을 입력으로 받아 다른 불리언 값을 반환하는 함수로 표현됨.
직관주의 논리: BHK 해석
- 직관주의 논리는 증명을 구성하는 것으로 간주하며, 모든 명제가 참 또는 거짓이라는 이분법을 거부함.
- BHK 해석에서는 명제가 참이라는 것은 그에 대한 증명이 존재한다는 것을 의미함.
논리를 범주로 해석
- BHK 해석은 논리를 범주 이론을 기반으로 해석할 수 있는 고차원적 관점을 제공함.
- Curry-Howard 동형은 논리와 프로그래밍 언어 간의 유사성을 설명함.
GN⁺의 정리
- 논리는 수학과 과학의 근본적인 부분으로, 다양한 분야에서 중요한 역할을 함.
- 고전 논리와 직관주의 논리는 서로 다른 철학적 배경을 가지고 있으며, 각각의 해석에 따라 다른 결과를 초래할 수 있음.
- 논리 시스템은 공리와 추론 규칙을 통해 새로운 명제를 생성할 수 있는 강력한 도구임.
- 논리의 해석은 범주 이론과 연결될 수 있으며, 이는 프로그래밍 언어와의 유사성을 통해 더욱 흥미로움.