GN⁺: n-볼 사이의 n-볼

n개의 공 사이의 n-구

고차원 현상의 직관에 반하는 모양을 보여주는 기하학적 사고 실험이 있음. 이 글은 그 사고 실험의 구조와 수학을 탐구하는 인터랙티브한 시각적 여정임.

네 개의 원이 있는 정사각형

• 4×4 정사각형 안에 반지름이 1인 네 개의 파란색 원이 각 모서리에 배치되어 있음.
• 중앙에는 최대 크기의 빨간색 원이 있음.
• 슬라이더를 사용하여 3차원을 추가할 수 있음.

3차원으로 확장

• 원이 구로 변하고, 빨간 구는 커지며 파란 구는 그대로임.
• 4개의 원이 8개의 구로 변함.
• 3단계로 차원 확장이 이루어짐: 원과 정사각형이 구와 큐브로 변함, 중앙 구가 커짐, 새로운 구가 나타남.

구조 정의

• n차원 구조는 한 변의 길이가 4인 n-큐브로 구성됨.
• 각 꼭짓점과 중심 사이의 중간점에 반지름이 1인 n-구가 있음.
• n-큐브의 중심에는 다른 n-구와 교차하지 않는 가장 큰 n-구가 있음.

직관 형성

• 2D에서 3D로의 교차를 통해 직관을 형성함.
• 빨간 구가 2D 중심에서 3D 중심으로 이동할 때 크기가 줄어들고 사라짐.
• 초기와 최종 구성의 차이점: 박스의 너비가 4에서 42로 증가함.

1D 교차

• 교차가 1차원에서 시작하여 2차원, 3차원으로 대각선화됨.
• 왼쪽 구는 크기를 유지하며 왼쪽으로 이동하고, 오른쪽 구는 사라짐.

3D에서 10D로의 교차

• 두 개의 박스 차원이 일정한 높이를 유지하며 나머지 8차원을 절단함.
• 빨간 구가 녹색 박스 밖으로 나가는 특성이 있음.

추가 분석

• 단위 n-큐브는 어떤 D에서도 단위 부피를 가짐.
• 단위 n-구의 부피는 D가 증가함에 따라 급격히 0에 가까워짐.
• 구는 차원이 추가될 때 부피를 잃음.

구의 부피

• 빨간 구의 부피는 특정 수식으로 계산됨.
• D의 몇 가지 주목할 만한 값이 있음.

1206D에서의 3D 교차

• 1206D에서 빨간 구의 상대적 크기를 보여줌.
• 고차원 존재가 이 구조를 단일 직선으로 절단할 수 있음.

관련 자료

• Desmos 계산기를 통해 10D 구조의 직교 2D 슬라이스를 시각화할 수 있음.

GN⁺의 정리

• 이 글은 고차원 기하학의 직관에 반하는 특성을 탐구함.
• 고차원에서의 구의 특성을 이해하는 데 도움이 됨.
• 수학적 사고 실험을 통해 직관을 확장할 수 있는 기회를 제공함.
• 고차원 기하학에 관심 있는 사람들에게 흥미로울 수 있음.
• 비슷한 기능을 가진 프로젝트로는 고차원 데이터 시각화 도구가 있음.