n-볼 사이의 n-볼
(arnaldur.be)- Arnaldur는 이 사이트를 자신의 인터넷 거처로 소개하며, 자신을 Computer Scientist라고 밝힘
- 현재는 소프트웨어 개발 컨설턴트로 일하고 있고, 이메일로 연락할 수 있음
- 사이트에는 Arnaldur가 작성한 몇 개의 글을 읽을 수 있음
- 웹사이트는 SolidStart로 직접 만들었으며, 정적으로 렌더링됨
- 배포와 스타일링에는 AWS·SST·matcha.css를 사용했고, 사이트 어딘가에 이스터에그가 숨겨져 있음
Arnaldur와 연락처
- Arnaldur는 자신을 Computer Scientist라고 소개함
- 이 웹사이트는 Arnaldur의 인터넷 거처 역할을 함
- 사이트에는 읽을 수 있는 몇 개의 글이 있음
- 현재 소프트웨어 개발 컨설턴트로 일하고 있음
- 연락처로
a.arnaldur+be@gmail.com이메일을 제공함
웹사이트 구현 방식
- SolidStart를 사용해 웹사이트를 처음부터 만듦
- 사이트는 정적 렌더링 방식으로 제공됨
- 호스팅은 AWS에서 하며, SST의 도움을 받음
- 스타일링 기반으로 matcha.css를 사용함
- 사이트 어딘가에 이스터에그가 숨겨져 있음
댓글과 토론
Hacker News 의견들
- 벌이 고차원에서 “뾰족해진다”고 생각하기보다는, 상자 자체가 뾰족해진다고 보는 편이 좋음
글에서도 말하듯 공은 정의상 항상 완전히 대칭임
반면 상자는 마름쇠 같은 모양이 되어 꼭짓점들이 원점에서 차원의 제곱근만큼 점점 멀어지고, 각 면의 중심은 계속 정확히 ±1에 머묾
주변의 2^N개 공들도 원점에서 멀어지지만 반지름은 1/2로 그대로라서, 가운데 공이 점점 더 많은 공간을 얻다가 결국 뾰족한 상자 밖으로 자라나는 모습을 상상하기 쉬워짐- 고차원 공을 생각하는 또 다른 방식에서는 뾰족함이 맞는 시각화가 됨
예를 들어 공의 중심에서 경계까지 거리의 90% 지점에 평면을 두고, 그 평면 “바깥” 부피가 전체의 몇 퍼센트인지 보면 고차원에서는 그 부피가 무시할 만큼 작아짐
차원이 정말 높아지면 중심에 꽤 가까운 곳에서 잘라도 잘려 나가는 부피가 아주 작고, 3차원 세계에서 이런 성질에 가장 가까운 것은 가시 같은 형태임
고차원 공이 뾰족하지 않은 의미는 대칭성과 매끄러움에 있음
그래서 고차원 공에 대한 직관을 만들려면 동시에 대칭적이고, 매끄럽고, 뾰족한 것으로 생각해야 함
그런 다음 불가능한 것 다섯 가지를 더 생각하면 아침을 먹을 수 있음 - 정확히 그 점임: 정사각형의 꼭짓점은 평면의 해당 부분에서 1/4을 차지하고, 정육면체의 꼭짓점은 1/8을 차지하며, n차원 초입방체의 꼭짓점은 공간의 1/(2^n)만 차지함
하지만 각 변·면·초면은 평면·공간·n차원 공간을 그냥 절반으로 나눔 - 어떤 의미에서는 유클리드 n차원 공간에서 공이 정육면체보다 더 자연스러운 대상임
거리를 도입하는 순간 정육면체는 인공적인 구성물이 됨
단순 곱공간에서는 자연스러운 요소이긴 하지만 - 원문도 Hamming 강의 바로 뒤에서 이 말을 하고 있음
“그래서 n차원 공이 뾰족하다고 보기보다는, 그 주변 공간이 공보다 더 빠르게 커진다고 보는 편이 낫다”
- 고차원 공을 생각하는 또 다른 방식에서는 뾰족함이 맞는 시각화가 됨
- 이건 차원의 저주를 정말 잘 보여주는 예시임
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Curse_of_dimensionality- 이게 LLM 스케일링 법칙과 어떻게 연결되는지 흥미로움
- 왜 이 글이 단순히 위상적으로 n-공인 두 도형에 관한 내용일 거라고 상상했는지 모르겠음
각각이 어떤 n-공의 경계에 있는 두 개의 반(n-1)-구 중 하나와 맞닿아 있고, 그 외에는 교차하지 않는 상황 말임
3차원으로 치면 공 하나와 서로 다른 색의 점토 두 덩어리를 가져와, 각 점토를 공 표면의 절반에 눌러 붙이되 두 점토 덩어리는 각각 위상적으로 3-공으로 남아 있는 경우와 비슷함
사실 거기에 대해 흥미로운 이야기가 있을지도 잘 모르겠음 - 인상적이고 유용했음
이제 새 n차원 손으로 그 빨간 n차원 공을 붙잡을 수 있도록 내 임베딩을 다시 만들어야 할 시간임 - 이 현상에 대한 다른 HN 토론을 보려면 같은 주제를 다룬 예전 글 제출들을 참고할 수 있음
그 글에는 멋진 애니메이션은 없지만, 14년 전 글임
https://news.ycombinator.com/item?id=12998899
https://news.ycombinator.com/item?id=3995615
그리고 2010년 10월 29일 글도 있음
https://news.ycombinator.com/item?id=1846682- 2009년에 이 주제로 짧은 블로그 글도 썼음: https://mark.reid.name/blog/warning-high-dimensions.html
이런 흥미로운 수학 사실들이 계속 논의되고 새로운 방식으로 제시되는 걸 보니 좋음
- 2009년에 이 주제로 짧은 블로그 글도 썼음: https://mark.reid.name/blog/warning-high-dimensions.html
- 머릿속에서 공들을 굴려 보려니 어렵다
이 직관에 도달할 수 있게 도와주는 중간 단계 시각화 자료가 더 있을까?
글은 아주 멋지지만, 완전히 대각화된 10차원 구조를 3차원 단면으로 볼 때 빨간 공의 초록 상자가 가려지는 그 실현된 부조리를 빨리 공유하고 싶음- 이상한 것은 빨간 구가 아니라 초입방체임
파란 구들을 초입방체에 접하게 배치하는 것은 인공적인 구성이고, 낮은 차원에서만 빨간 구를 “둘러싸는” 것처럼 보임
우리의 직관이 틀리는 이유는 문제를 잘못 생각하기 때문임
“빨간 구는 상자에 갇혀 있어야 한다”고 생각하지만, n차원에서는 그런 기하학적 근거가 없음
- 이상한 것은 빨간 구가 아니라 초입방체임
- 애니메이션 때문에 완전히 머리가 터졌다고 말해도 될 정도임
- 삼각법이 들어간 부분이 꽤 빡센 순간들이 있었음
- Numberphile이 예전에 이 주제로 영상을 올렸음
https://youtu.be/mceaM2_zQd8?si=0xcOAoF-Bn1Z8nrO