2P by neo 15일전 | favorite | 댓글 1개

원에서 에피사이클로 (1부) - 푸리에 급수에 대한 애니메이션 소개

목차

  • 숫자 π
  • 라디안
  • 사인과 코사인
  • 코사인이 사인을 이끎
  • 코사인과 사인의 대칭성
  • 복소수와 단위 원
  • i와의 곱셈은 π/2 회전
  • 오일러의 항등식
  • 오일러의 공식, e, π, i의 연결
  • 사인과 코사인의 지수형태
  • 사인파
  • 사인파의 유연성
  • 복소 사인파
  • 사인파의 상쇄
  • 사인파의 합이 복잡성을 만듦
  • 재미로 사인파 더하기
  • 사인파 테트리스
  • 사인파와 사각파
  • 에피사이클 - 첫 만남
  • 에피사이클 - 직관적 이해
  • 에피사이클 - 꽃
  • 푸리에 급수
  • 푸리에 급수의 지수형태
  • 예제: 박스 함수의 푸리에 급수
  • 예제: 삼각파의 푸리에 급수
  • 예제: 톱니파의 푸리에 급수
  • 푸리에 급수 기계

  • 원은 중심 P(a, b)와 반지름 r을 가진 기하학적 도형임.
  • 단위 원은 중심이 (0, 0)이고 반지름이 1인 원임.
  • 원은 대칭의 정점임.

숫자 π

  • π는 원의 둘레와 지름의 비율임.
  • π는 약 3.14이며, 원주와 면적 계산에 사용됨.
  • π는 무리수이자 초월수임.

라디안

  • 라디안은 각도를 측정하는 실제 단위임.
  • 각도를 라디안으로 변환하려면 각도를 π로 곱하고 180으로 나눔.

사인과 코사인

  • 사인과 코사인은 단위 원에서 정의됨.
  • 사인은 y좌표를, 코사인은 x좌표를 나타냄.
  • 두 함수는 주기 함수로 주기는 2π임.

코사인이 사인을 이끎

  • 코사인은 사인보다 π/2만큼 앞섬.
  • sin(x + π/2) = cos(x)

코사인과 사인의 대칭성

  • 코사인은 짝수 함수로 cos(x) = cos(-x)임.
  • 사인은 홀수 함수로 sin(-x) = -sin(x)임.

복소수와 단위 원

  • 복소 평면에서 원의 점들은 z = cos(θ) + i*sin(θ)로 정의됨.

i와의 곱셈은 π/2 회전

  • 복소수를 i와 곱하면 π/2만큼 반시계 방향으로 회전함.

오일러의 항등식

  • 자연 지수 함수는 e^x로 표시되며, e는 약 2.71828임.
  • e와 원 사이에는 강한 연결이 있음.
  • e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)

오일러의 공식, e, π, i의 연결

  • 오일러의 공식: e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)
  • x = π일 때, e^(iπ) + 1 = 0

사인과 코사인의 지수형태

  • cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2
  • sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / (2i)

사인파

  • 사인파는 A*sin(2πft + φ)로 정의됨.
  • A는 진폭, f는 주파수, ω는 각주파수, φ는 위상 오프셋임.

사인파의 유연성

  • 사인파는 다양한 진폭, 주파수, 위상으로 조정 가능함.

복소 사인파

  • 복소 사인파는 두 사인파(코사인과 사인)의 행동을 포착함.
  • 실수 부분은 코사인, 허수 부분은 사인으로 행동함.

사인파의 상쇄

  • 같은 진폭을 가지지만 반대 주파수를 가진 두 사인파는 서로 상쇄됨.

사인파의 합이 복잡성을 만듦

  • 두 사인파를 더하면 복잡한 패턴이 생성됨.

재미로 사인파 더하기

  • 여러 사인파를 더하면 더 복잡한 패턴이 생성됨.

사인파 테트리스

  • 사인파를 이용한 테트리스 게임 가능함.

사인파와 사각파

  • 적절한 사인파를 선택하면 예측 가능한 패턴 생성 가능함.
  • 여러 사인파를 합하면 사각파를 만들 수 있음.

에피사이클 - 첫 만남

  • 사인파는 회전하는 원에 대응됨.
  • 여러 사인파를 합하면 복잡한 도형을 그릴 수 있음.

에피사이클 - 직관적 이해

  • 각 에피사이클은 특정 사인파에 대응됨.
  • 사인파를 합하면 벡터 덧셈으로 축소됨.

에피사이클 - 꽃

  • 적절한 사인파를 선택하면 원하는 모양을 그릴 수 있음.

푸리에 급수

  • 푸리에 급수는 주기 함수의 삼각 함수 합으로 확장하는 수학적 과정임.
  • 함수 f(x)를 삼각 함수의 합으로 표현함.

푸리에 급수의 지수형태

  • 오일러의 공식을 사용하여 푸리에 급수를 복소 사인파의 합으로 표현 가능함.

예제: 박스 함수의 푸리에 급수

  • 사각파를 사인파의 합으로 근사화할 수 있음.
  • y(x) = (4/π) * Σ (sin((2k-1)ωx) / (2k-1))

GN⁺의 의견

  • 푸리에 급수는 주기적인 신호를 분석하고 합성하는 데 매우 유용함.
  • 사인파와 코사인의 기본 개념을 이해하면 복잡한 신호 처리에 큰 도움이 됨.
  • 복소수와 오일러의 공식은 신호 분석에서 중요한 역할을 함.
  • 푸리에 급수는 오디오 신호 처리, 이미지 압축 등 다양한 응용 분야에서 사용됨.
  • 이 기사는 푸리에 급수의 기본 개념을 쉽게 설명하여 초급 엔지니어에게 유익함.
Hacker News 의견
  • Fourier 변환을 이해하는 데 오랜 시간이 걸렸음. **Discrete Fourier Transform (DFT)**를 이해한 후, 역 FFT, Plancherel 정리, Parseval 정리가 자연스럽게 이해되었음. 선형대수학을 이해한 후, 연속적인 Fourier 변환으로 확장하는 것이 쉬웠음. 시각적 자료보다 수식을 보는 것이 더 쉬웠음.

  • 소스 코드 링크가 잘못되었음. 실제 링크는 여기임. Processing을 사용하여 애니메이션을 구현한 것 같음.

  • Fourier 변환에 대한 설명은 Feynman 강의에서도 찾을 수 있음. 링크

  • FFT를 이해하기 위해 조지아텍Introduction to Graduate Algorithms 강의를 듣고 Python으로 모든 것을 구현했음. 정말 좋은 강의였음. 링크

  • Fourier 변환에 대해 어느 정도 이해하고 있으며, 많은 사람들이 이를 다루고 있음. Laplace 변환도 다루어주면 좋겠음. 전자 회로 분석에 사용했지만 지금은 잊어버렸음. 링크

  • 에피사이클 애니메이션Fourier 시리즈의 복잡한 표현을 이해하는 데 큰 도움이 되었음. 이 게시물은 그 페이지를 훨씬 능가함. 앞으로 사람들과 공유할 예정임.

  • 이 튜토리얼은 교과서와 함께 사용하기에 훌륭함. 애니메이션과 인터랙티브 애니메이션이 마음에 들었음. 다만, 교정이 필요함.

  • 훌륭한 예제와 멋진 웹사이트에 감사함. 이 사이트는 쉽게 다룰 수 있지만, 대부분의 정적 뉴스 사이트는 브라우저를 자주 크래시시킴.

  • 신호 처리에 대한 멋진 입문서가 있음. 시각화를 좋아하는 사람들에게 추천함. 링크

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