맥스웰 방정식 직관적 가이드 (2020)

 (photonlines.substack.com)
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  • 1865년 James Clerk Maxwell의 논문은 전자기장의 변화를 수학적으로 다루며, 전자기파의 전파 속도가 빛의 속도와 같다는 연결을 제시함
  • 원래 이론은 20개 방정식과 복잡한 물리 언어 때문에 20년 넘게 널리 이해되지 못했고, Oliver Heaviside와 Hertz, Lorentz, Einstein 세대를 거치며 오늘날의 4개 방정식 형태로 정리됨
  • 전기장과 자기장은 기계 장치가 아니라 공간과 시간에 걸친 스칼라장·벡터장으로 읽을 수 있으며, 발산은 원천·흡수원, 컬은 회전을 나타냄
  • 네 방정식은 전하, 자기 플럭스, 시간에 따라 변하는 장, 전류가 서로 어떤 발산과 순환을 만드는지 압축해 표현함
  • 진공·무전하 공간에서는 전기장과 자기장이 파동 방정식을 만족하며, 빛의 속도로 전파되는 하나의 전자기파로 통합됨

맥스웰 이론이 뒤늦게 중요해진 이유

  • 1865년 James Clerk Maxwell은 Royal Society의 Philosophical Transactions에 “A dynamical theory of the electromagnetic field”를 발표함
  • 이 논문은 전자기장의 변화를 기술했고, 일상에서 경험하는 힘의 대부분이 중력을 제외하면 전자기적 기원을 가진다는 점에서 물리학적으로 큰 의미를 가짐
  • Maxwell 방정식은 전자기파의 존재를 예측했고, 전파 속도가 빛의 속도와 같다는 점에서 전자기파와 가시광선을 같은 현상으로 연결함
  • 하지만 Maxwell의 작업은 즉시 받아들여지지 않음
    • 원래 형식은 오늘날 익숙한 4개 방정식이 아니라 20개 방정식이었음
    • 당시 물리학자들에게는 대수적 복잡성이 컸고, 수학자들에게는 Maxwell의 물리적 설명 언어가 접근하기 어려웠음
    • 당시 세계관은 장(field)보다 그 아래의 기계적 “바퀴와 기어” 같은 구조를 더 기본으로 보는 경향이 강했음
  • Oliver Heaviside가 방정식을 단순화하고, Hertz, Lorentz, Einstein 세대가 이어지면서 장 방정식과 수학 법칙이 우주의 기본 설명으로 자리 잡음

장을 읽기 위한 기본 직관

  • 장(field) 은 공간과 시간 전체에 걸쳐 작동하는 함수로 볼 수 있음
  • 장은 일상적 물질이나 기계적 비유로 완전히 환원하기 어려움
    • 교환 입자, 가상 입자, 시공간 곡률 같은 설명도 결국 수학적 추상으로 다룰 수 있음
    • 장을 이해하는 기본 인터페이스는 공간과 시간에 퍼진 수학 함수라는 직관임
  • 스칼라장은 공간의 한 점을 입력으로 받아 하나의 숫자를 출력함
    • 산을 오를 때 고도에 따라 온도가 달라지는 예에서 T(x, y, z)는 위치를 온도 값으로 매핑함
    • 금속판의 온도 분포를 시간까지 포함해 T(x, y, t) 또는 현실적으로 T(x, y, z, t)로 다루면, 열 방정식이 온도장의 변화를 모델링함
  • 편미분방정식은 여러 변수와 그 변화율 사이의 관계를 나타냄
    • 금속판의 온도는 위치에 따른 변화 dT/dx뿐 아니라 시간에 따른 변화 dT/dt도 함께 고려해야 함
    • 각 미분은 전체 변화의 일부만 나타내므로 편미분이 되고, 장의 시간적 진화를 다루는 데 쓰임
  • 벡터장은 공간의 한 점을 입력으로 받아 크기와 방향을 가진 벡터를 출력함
    • 유체 속도장에서는 각 위치의 벡터가 유체 요소의 속도 방향과 크기를 나타냄
    • 중력장과 자기장도 벡터장으로 모델링할 수 있음
    • 전자기장에서는 실제 유체가 흐르지 않지만, 플럭스·원천·흡수원 같은 유체 흐름 용어를 비유적으로 사용함

발산과 컬로 읽는 방정식의 언어

  • 발산(divergence) 은 어떤 점 주변에서 장이 원천처럼 밖으로 나가는지, 흡수원처럼 안으로 들어오는지를 나타냄
    • 작은 원을 한 점 주변에 그렸을 때 나가는 화살표가 더 많으면 양의 발산임
    • 들어오는 화살표가 더 많으면 음의 발산임
    • 둘 다 아니면 발산은 0 또는 0에 가까움
  • 전기장에서는 양전하를 원천, 음전하를 흡수원처럼 볼 수 있음
    • Gauss의 전기장 법칙은 한 점에서 전기장의 발산이 그 점의 전하 밀도에 비례한다고 말함
  • 컬(curl) 은 한 점 주변에서 장이 얼마나 회전하는지를 나타냄
    • 반시계 방향 회전은 양의 컬, 시계 방향 회전은 음의 컬로 볼 수 있음
    • 가상의 물레방아를 한 점에 놓았을 때 장이 물레방아를 얼마나 빠르게 돌리는지가 컬의 크기 직관임
    • 3차원에서 컬은 특정 오른손 법칙에 따라 회전 방향을 나타내는 벡터로 출력됨
  • Maxwell 방정식은 미분형과 적분형으로 쓸 수 있음
    • 미분형은 각 점에서의 발산과 컬을 중심으로 전자기장을 표현함
    • 적분형은 닫힌 표면이나 닫힌 경로를 지나는 총 플럭스와 순환으로 같은 내용을 다룸
  • 적분은 곡선 아래 면적을 구하기 위해 구간을 작은 폭 Δx의 직사각형으로 나누고 더하는 과정에서 출발함
    • Δx가 0에 가까워질수록 면적 근사가 정확해짐
    • Maxwell 방정식의 적분형에서는 닫힌 표면의 작은 면적 요소를 합해 전체 플럭스나 순환을 계산함

네 개의 Maxwell 방정식이 말하는 것

  • Gauss의 전기장 법칙은 전하가 전기장을 만든다는 내용을 발산과 플럭스로 표현함
    • 미분형에서는 전기장의 발산이 전하 밀도에 비례함
    • 적분형에서는 닫힌 표면을 통과하는 전기 플럭스가 그 표면 안에 포함된 총전하와 같음
    • 전기장선은 양전하에서 나와 음전하로 들어가는 방향으로 그려짐
    • 전기장 세기는 점전하에서 멀어질수록 역제곱 법칙에 따라 1/r²로 약해짐
    • 자유공간 유전율 ε0는 진공이 전기장선을 얼마나 통과시키는지를 나타내는 상수임
  • Gauss의 자기장 법칙은 자기장의 발산이 항상 0이라고 말함
    • 자기장에는 전하에 해당하는 자기 단극자가 없다고 해석됨
    • 닫힌 표면을 지나는 총 자기 플럭스는 항상 0임
    • 자기장선은 전기장선처럼 전하에서 시작하거나 끝나지 않고, 항상 자기 자신으로 되돌아오는 닫힌 루프를 이룸
    • 구, 정육면체, 토러스 등 어떤 닫힌 표면에서도 나가는 자기 플럭스와 들어오는 자기 플럭스가 상쇄됨
  • Faraday의 법칙은 시간에 따라 변하는 자기장이 순환 전기장을 유도한다고 말함
    • 자기 플럭스가 증가하면 그 변화에 반대하는 방향의 순환 전기장이 생김
    • 자기 플럭스가 감소하면 반대 방향의 순환 전기장이 만들어짐
    • 변화에 반대하는 방향성은 Lenz의 법칙으로 불림
    • 유도 전기장은 전하에서 시작하거나 끝나는 전기장과 달리, 장선이 자기 자신으로 닫힌 루프를 이룸
    • 이 법칙은 닫힌 회로에서 전하를 움직여 전류를 만들 수 있게 하며, 발전기와 기계 에너지의 전기 에너지 변환을 가능하게 함
  • Ampere-Maxwell 법칙은 전류 또는 시간에 따라 변하는 전기장이 순환 자기장을 유도한다고 말함
    • 왼쪽 항은 자기장의 컬을 나타냄
    • 오른쪽 항은 전류 밀도와 전기장의 시간 변화율을 포함함
    • 전류는 어떤 단면적을 지나는 전하의 흐름률로 정의되지만, 단순히 전선 속 전자의 이동만을 뜻하지는 않음
    • 전류 밀도 J는 전류 방향에 수직인 단위 단면적을 통과하는 전하량을 나타냄
    • 흐르는 전류가 없어도 시간에 따라 변하는 전기장은 자기장을 만들 수 있음
  • 적분형 Ampere-Maxwell 법칙은 닫힌 자기 경로의 선적분을 닫힌 표면을 관통하는 순전류와 전기 플럭스 변화율로 표현함
    • 표면을 한 방향으로 관통한 전류는 순전류에 기여함
    • 같은 전류가 양방향으로 표면을 관통하면 순전류는 0이 될 수 있음
    • 자유공간 유전율 ε0와 자유공간 투자율 μ0는 ε0 μ0 = 1/c² 관계를 가지며, Gaussian 단위계에서는 사라지는 차원 상수로 다뤄짐

전기장과 자기장의 통합

  • 전기장과 자기장은 두 개의 독립된 장이 아니라 하나의 전자기장으로 볼 수 있음
  • 전자기파에서는 전기장 벡터, 자기장 벡터, 전파 방향이 3차원에서 서로 정렬됨
    • 전기장과 자기장 벡터는 서로 수직임
    • 한 장의 변화가 다른 장을 보완하는 구조를 가짐
  • 자기장은 상대론적 효과를 포함한 전기장으로 설명될 수 있음
    • 전류가 흐르는 전선 옆에서 전자와 함께 움직이는 기준계로 보면, 전자는 정지해 있어 자기력이 나타나지 않음
    • 특수상대성이론의 길이 수축 때문에 움직이는 양이온은 이동 방향으로 압축되어 더 높은 양전하 밀도를 갖게 됨
    • 이 기준계에서는 전선이 순양전하를 띠는 것처럼 보이고, 전자는 전기적 인력으로 전선 쪽으로 끌림
    • 같은 현상은 정지한 관찰자에게는 자기력으로, 전자와 함께 움직이는 관찰자에게는 전기력으로 설명됨
  • 진공·무전하 공간에서는 Maxwell 방정식을 단순화할 수 있고, 전기장과 자기장은 파동 방정식을 만족함
    • 1 / μ0 ε0 = c²이므로 전자기파는 빛의 속도로 전파됨
    • Maxwell은 빛과 자기 현상을 같은 물질의 상태로 보고, 빛을 전자기 법칙에 따라 장을 통해 전파되는 전자기적 교란으로 연결함
  • Feynman은 Maxwell 방정식, 전하 보존, Lorentz 힘 법칙, 운동 법칙, Newton의 중력 법칙을 한 표에 담아 1905년까지 알려진 고전 물리의 기본 법칙을 요약할 수 있다고 봄

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Hacker News 의견들

  • 물리학 학위 공부하던 때 이런 자료가 있었다면 정말 좋았을 것 같음. 도표가 아름답고, 전자기학에 필요한 벡터 미적분 핵심 개념을 바로 찔러 줌
    Jackson[1]을 통과의례처럼 힘겹게 읽었던 기억이 있지만, 다음 세대까지 똑같이 고생할 이유는 없음. 웹은 원래 이런 걸 위해 있는 것 같음
    [1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Classical_Electrodynamics_(boo...

    • 이 글을 쓴 이유는 현대적인 설명 대부분이 방정식 뒤의 직관도 부족하고, 실제 방정식이 무엇을 뜻하는지도 잘 설명하지 않는다고 느꼈기 때문임
      유용했다면 공유와 구독을 부탁하고 싶음. Schrödinger 방정식, 블랙홀, 양자역학 같은 복잡한 주제도 직관적으로 안내하려고 하고, 결국 수학과 물리를 훨씬 더 명확하고 직관적으로 설명하는 책도 쓰고 싶음. 수학은 이해하기 어려워서는 안 됨. 가장 밑바닥에서는 매우 단순하지만, 그것을 명확하고 직관적으로 제시하는 일은 정말 어렵다고 인정함. 자료 상당 부분은 Grant Sanderson(3Blue1Brown)의 영향을 받았고, 도표 대부분은 Vexlio로 만들었음: https://vexlio.com/
    • 조금 혼란스러움. 올라온 가이드는 매우 잘 쓰였지만 특별히 새로운 방식은 아니고, 비슷한 방식으로 전자기학을 배웠음. 교수들도 칠판에 비슷한 도표를 그렸음
      Jackson은 대학원 전자기학 교재라 수학적으로 어렵게 쓰인 책임. 그 책을 읽을 때쯤이면 이미 3~4년은 전자기학과 개념적 토대를 알고 있어야 하고, 목표도 학부생에게 어려운 상황에서 방정식을 푸는 데 있음. 학부 때 무엇을 공부했는지 궁금함
    • 이런 감탄은 종종 처음 읽은 책이나 들은 수업에도 사실 들어 있던 내용을 잊었거나, 시간이 지나며 더 익숙해진 뒤 다시 보니 직관적으로 느껴지는 경우가 많음
      그래서 어떤 주제에서 최고의 책은 “두 번째로 읽은 책”이라는 말이 있음. 두 번째로 보면 훨씬 더 직관적으로 보임
    • David J Griffiths의 Introduction to Electrodynamics는 훌륭한 학부 수준 전자기학 교재였음: https://en.wikipedia.org/wiki/Introduction_to_Electrodynamic...
    • 동적 장 과목에서는 John Kraus의 Electromagnetics를 썼고, 그 전에 정적 장 과목을 들었음
      그 과목 기말고사는 지금까지 본 시험 문장 중 가장 짧았음: “Maxwell’s Equations를 유도하라”. Kraus 책은 만족스러웠음

  • 교육 과정에서 가장 좋았던 부분 중 하나가 전자기학을 거쳐 Maxwell 방정식의 아름다움에 도달하는 일이었음
    나중에는 미분기하학으로 더 압축하면 그 아름다움을 더 끌어낼 수 있다는 것도 알게 됨
    http://virtualmath1.stanford.edu/~conrad/diffgeomPage/handou...

  • “Maxwell 이론은 장(field), 즉 수학적 함수를 근본적인 것으로 보고, 전자기적 응력과 역학적 힘을 그 장의 결과로 생각할 때 비로소 단순하고 우아해진다. 그 반대가 아니다.”
    장이 실제로 존재하는가에 관한 흥미로운 논의는 많고, 그 대화는 수 세기 전으로 거슬러 올라감: https://youtu.be/j2oSyAfPzWg?si=BHRv8lodGhqZBtbl

    • Rupert Sheldrake는 HN 대부분에게 완전히 금기일 줄 알았는데, 이 링크가 좋은 평가를 받아서 반가움
      그는 장을 논할 때 자주 텔레파시에 관한 “유사” 과학 작업으로 이어지곤 하는데, 그중 가장 좋아하는 강연은 이쪽임: https://www.youtube.com/watch?v=GS1Drlyr37Q

  • 설명이 정말 훌륭함. 모든 것이 단순하지만 세부가 풍부해서, 외우고 이해하려면 노력과 집중 없이는 안 됨
    이렇게 이치가 통하게 설명되니 전체가 매혹적으로 느껴짐. 공대 2학년 때 이 내용을 붙잡고 씨름했지만 당시에는 절반도 제대로 이해하지 못했음. 이런 설명이 있었다면 훨씬 즐겁게 공부했을 듯함. 교재와 공식의 결과를 이해할 만큼 똑똑하지 못해서, 주제 자체에 매혹될 기회를 놓쳤던 것 같음

    • 좋은 글임. 지금 모두가 “Maxwell 방정식”이라고 부르는 것에 대해 Heaviside가 받아야 할 공을 인정한 점도 좋음

  • 이런 글을 좋아하지만, 다들 기하대수가 아니라 벡터대수에서 시작하는 같은 실수를 함
    3차원 공간에서는 벡터대수가 잘 작동하지만 2차원과 4차원 상황에서는 완전히 무너짐. 직관적이다가 어느 순간 완전히 깨짐. 같은 스타일의 글을 보되, 적절한 곳에 bivector 같은 것을 사용해서 전체가 3차원 공간만이 아니라 4차원 시공간으로 깔끔하게 일반화되면 좋겠음

    • 반대표를 받을지도 모르지만, 전자기학에서 기하대수 접근이 그 자체로 흥미롭더라도 Gibbs의 벡터 미적분 기반 형식을 대체하지는 못할 것 같음
      벡터 미적분은 꽤 직관적이고 배우기 쉬운 데다, 공학과 물리학 세계에 완전히 자리 잡았음. 100년이 지난 지금 실제 현업에서 쓰는 사람들이 Maxwell 방정식 4개를 기하대수 방정식 1개로 바꾸기 위해 표기법을 바꾸지는 않을 것임. Gibbs의 벡터 미적분은 유체역학과 다른 공학 분야에서도 쓰이고, 유체역학 연구자들에게 기하대수의 장점을 내세우는 흐름도 거의 보지 못했음. 누군가 기하곱으로 Navier-Stokes 방정식을 표현한 외로운 연구자를 들고 올 수는 있겠지만, 그래서 무엇이 달라지는지 모르겠음. 전통적 벡터 미적분은 모두가 말할 줄 아는 언어이고, 기하대수는 같은 것을 말하는 또 다른 방식일 뿐인데 왜 바꾸겠나 싶음
    • 실제로 그렇게 해보는 것을 검토해 봤지만, 대부분의 인간 머리는 4차원 시공간에 맞춰져 있지 않음
      이런 내용을 대중에게 제시할 아이디어가 있다면 알려 주면 좋겠고, 기꺼이 접근 방식을 수정하겠음
    • 기하대수에 대한 비판적 글도 있음: https://alexkritchevsky.com/2024/02/28/geometric-algebra.htm...
      요약하면, 기하대수의 기하곱은 등급이 섞인 미분형식이라 꽤 이상함. 그냥 미분형식으로 생각하면 되지 않을까? Maxwell 방정식은 dF=0, d*F = J로 아주 달콤하게 요약됨

  • 모든 벡터 미적분 강사는 학생들에게 기울기, 발산, 회전의 직관적, 즉 시각적·물리적 의미를 가르쳐야 함
    Stokes 정리와 Gauss 정리 같은 결과 뒤의 직관도 마찬가지임. 증명에 관심 없는 공학도라도 그 직관은 이해할 수 있어야 함

    • 그런 내용을 안 다루는 책을 본 적이 있나? 내가 본 모든 책에는 들어 있었음
    • 이걸 위한 다른 좋은 자료가 있을까? 학위 공부할 때는 더 잘 이해했던 것 같은데 40년 전 일임

  • Maxwell의 원래 방정식은 빛과 전기를 연결했음. 원래 20개 방정식에는 미지수 20개가 있었고, 아무도 이해하지 못한 사원수 기반 표기를 사용했음
    Heaviside가 Maxwell의 20개 방정식을 벡터 미적분으로 4개 방정식으로 다시 썼고, 단순화에는 도움이 됐지만 대가가 없지는 않았다고 봄. 현대 세계에도 아직 설명되지 않은 것이 많고, 특히 개인의 인간적 체험과 관련해서 그렇다고 느낌. 택시 운전사로 일하며 이런 것들을 엿볼 기회가 있었고, 내가 궁금해하던 것들을 풀어 주는 사람들을 만나게 됨. 전자기학과 중력 사이에는 어떤 연결이 있어야 하지만 아직 알아내지 못했음. Bing CoPilot이 내 질문에 대해 이 Wikipedia 글을 인용했는데, 내 수준을 넘어서니 누가 풀어 설명해 주면 좋겠음: https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitoelectromagnetism

    • Maxwell 방정식의 형태가 어떻게 바뀌었는지 다루는 강의 슬라이드가 있음. 성분 형태, Maxwell의 첫 버전으로 보이는 형태, 두 번째인 사원수 형태, 그리고 Heaviside 버전까지 포함함[1]
      아무도 묻지 않은 Heaviside 잡지식도 하나 덧붙이면, 그는 부분분수분해를 빠르게 하는 “가리기” 방법을 만든 사람이기도 함[2]
      [1] https://www.thp.uni-koeln.de/gravitation/mitarbeiter/hehl/Ma...
      [2] https://math.mit.edu/~jorloff/suppnotes/suppnotes03/h.pdf
    • Heaviside의 글에서 이 4개 방정식을 찾으려 했지만 아직 성공하지 못했음
      그는 확실히 사원수를 제거했지만, Maxwell도 사원수를 크게 활용하지 않고 항상 스칼라 부분과 벡터 부분으로 나눴기 때문에 그 차이는 작아 보임. 더 큰 차이는 Maxwell이 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜로 표현했다는 점인데, 이는 QED에서는 반드시 해야 하는 방식임. 반면 Heaviside는 이를 없애고 전기장과 자기장만 남겼음. Maxwell의 방정식 7개가 있어야 Heaviside식 4개 방정식을 유도할 수 있음을 확인했음. 사원수를 진지하게 받아들이면, 자연 단위를 써서 유명한 4개 방정식을 단 2개로 쓸 수 있음:
      ∇E + dB/dt = -ρ
      ∇B - dE/dt = J
    • 중력전자기학은 실제로 전자기학과 관계가 없음
      일반상대성이론의 어떤 형식적 특징이 전자기학에서 말하는 수학적 구조와 대략 대응한다는 정도이고, 두 이론의 바탕이 되는 대칭성은 서로 다르다는 단서가 붙음
    • 사원수는 Maxwell의 발견과 전자기학 방정식 형성에 결정적이고 도구적인 역할을 했음
      Terence Tao가 왜 아무도 리만 가설을 증명하지 못했느냐는 질문을 받았을 때, 현재로서는 증명에 적절한 도구가 없기 때문이라고 답한 적이 있음. 수학자는 아니지만, 사원수가 리만 가설을 증명하는 강력한 도구 중 하나가 될 것 같은 강한 느낌이 있음. 음파 같은 다른 파동과 달리 전자기파에는 독특한 편광 성질이 있음. 전자기 기반 현상을 완전하고 올바르게 모델링하려면 사원수 기반 정식화와 표현이 필요함. 기존 무선 변조 대부분이 편광을 활용하지 않는 이유 중 하나는 마이크로파와 무선 엔지니어 대부분이 사원수에 익숙하지 않기 때문임. 아이러니하게도 이런 편향은 초창기 수학자와 과학자들이 복소수를 강하게 반대했던 태도와 닮았고, 지금은 OFDM 같은 현대 무선 변조 대부분이 복소수를 사용함. 기하대수와 사원수를 사용해 Maxwell 방정식을 유도하는 글은 여기 있고, 하나의 우아한 방정식으로 요약할 수 있음[1][2]
      [1] Maxwell’s eight equations as one quaternion equation:
      https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article/46/4/430/1050887/Maxwe...
      [2] A derivation of the quaternion Maxwell’s equations using geometric algebra:
      https://peeterjoot.com/2018/03/05/a-derivation-of-the-quater...
    • 택시 운전사로 일하며 궁금하던 것들을 풀어 주는 사람들을 만났다는 대목이 궁금함
      괜찮다면 더 들려주면 좋겠음. 좀 신비주의적인 이야기여도 아무도 안 읽는 척하면 됨

  • 전기장과 자기장의 상대론적 등가성에 관해서는 여기도 참고할 만함:
    https://physics.stackexchange.com/questions/489291/how-did-e...

  • Sussman과 Wisdom이 고전적인 SICP Scheme 책을 따라 Structure and Interpretation of Classical Mechanics라는 책을 썼는데, 전자기학에도 비슷한 접근을 시도한 사람이 있는지 궁금함

    • Maxwell 방정식은 양자화가 없는 고전 장 이론임
      그래서 Maxwell 방정식은 고전역학이라는 큰 몸체에 속한 이론 중 하나임. 원한다면 여러 실험 구성, 예를 들어 장 안의 대전입자에 대해 라그랑지언 밀도나 해밀토니언을 쓰고 Maxwell 방정식을 유도할 수 있음. 이런 논문도 몇 편 있음. SICM의 형식주의를 쓰지 못할 이유도 없음. 유용한 연습인지는 모르겠음
    • Sussman과 Wisdom이 Functional Differential Geometry 10장에서 짧게 직접 다룸
    • https://fab.cba.mit.edu/classes/862.22/index.html
      6장일 듯함

  • 화면에 돈을 던지고 있는데 아무 일도 안 일어남
    이 글과 관련 주제로 꼭 책을 만들어 주면 좋겠음. 글을 정말 잘 씀

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