랜덤 다항식의 가장 큰 근은 실수일 확률이 복소수일 확률보다 높은가?
- 실수 계수를 가진 랜덤 다항식의 실수 근의 개수는 복소수 근의 개수보다 훨씬 적음
- 단, 계수가 (-1, 1) 범위 내에서 독립적이고 균일하게 랜덤하다고 가정
- n차 다항식의 실수 근의 개수는 점근적으로 (2 log n) / π + o(1)이고, 복소수 근의 개수는 대략 n - (2 log n) / π
- 다항식의 가장 큰 (또는 가장 작은) 근은 절대값이 가장 큰 (또는 가장 작은) 근으로 정의
- 실수 근이 복소수 근보다 지수적으로 적음에도 불구하고, 실험 데이터에 따르면:
- 가장 큰 (또는 가장 작은) 근이 실수일 확률이 복소수일 확률보다 높음
- 이 확률은 n이 무한대로 갈수록 약 1/2에 가까운 값으로 감소
- 이는 실수 근이 복소수 근보다 훨씬 적음에도 가장 큰 근과 가장 작은 근을 모두 포함할 가능성이 더 높다는 점에서 직관에 어긋남
질문 1
질문 2
- n차 다항식의 가장 큰 (또는 가장 작은) 근이 실수일 확률이 (n이 무한대로 갈 때 약 1/2에 가까운 값으로) 수렴하는가?
GN⁺의 의견
- 현재까지 가장 큰/작은 근이 실수일 확률이 1/2에 수렴한다는 것은 증명되지 않은 추측으로 보임. 이에 대한 엄밀한 증명이 필요해 보임
- 다항식의 근들이 단위원 주변에 균일한 각도로 분포하고, 근 사이에 매우 국소적인 척력이 있다는 것을 알고 있음. 그러나 복소근은 단위원 주변으로 퍼질 수 있는 반면, 실근 사이의 척력으로 인해 실근은 더 작아지거나 더 커질 수 밖에 없음.
- 복소근의 개수에 비해 실근의 개수가 로그적으로만 많다고 하더라도 실근이 상당히 많은 것으로 볼 수 있음.
- 이러한 관점에서 보면 가장 작은 근이 실근일 가능성이 놀랍지 않음.
- 실수 계수를 가진 랜덤 다항식의 근 분포에 대한 보다 깊이 있는 연구가 필요해 보임. 특히 가장 큰/작은 근이 실수일 확률의 극한값에 대한 엄밀한 증명이 필요함.