미분 방정식 강의 전에 배웠으면 하는 10가지 교훈 [PDF] (1997년)

• MIT의 2학년 미분방정식 과목을 오래 맡아 온 Gian-Carlo Rota는 입문 과정이 오래된 풀이 요령과 관성에 묶여 있어, 현실적인 개편보다 짧은 대체 과목으로 자연스럽게 분화될 가능성이 크다고 봄
• 초반에 배우는 1계 방정식 기법, 적분인자, 완전방정식 같은 분리된 요령은 실제 공학 문제와 거리가 멀고, 변수분리와 변수변환 정도만 오래 남을 가치가 있음
• 학생이 반드시 익혀야 할 축은 상수계수 선형 방정식과 시스템이며, 비상수계수 2계 선형 방정식이나 형식적 Sturm-Liouville 내용은 입문 과정과 잘 맞지 않음
• 존재·유일성 정리, 말문제, 매개변수변화법, 미분 기호 중심 설명은 이해보다 시험 가능한 조작을 강화하기 쉬워, 궤적·벡터장·적분곡선 관점으로 다시 설명해야 함
• 입문 미분방정식 교육은 요령을 많이 남기는 과목이 아니라, 지수함수의 보편성, 안정성, 위상평면, Laplace 변환 같은 개념적 감각을 학생에게 남겨야 함

---

오래된 입문 미분방정식 과정에 대한 문제의식

• Gian-Carlo Rota는 젊은 시절 상미분방정식 교과서를 쓴 일을 실수로 회고하며, 그 경험을 통해 자신이 미분방정식이 무엇인지 모른다는 사실을 깨달았다고 함
• MIT의 2학년 미분방정식 과목은 교사와 학생 모두에게 부담스러운 학부 수학 과목으로 여겨졌고, 그는 교과서를 썼다는 이유로 계속 강의를 맡게 됨
• 1958년부터 반복해 온 강의상의 실수와 편견을 10가지 교훈으로 정리한 글임

1. 입문 과정의 상당 부분은 낡았음

• Cauchy의 19세기 미분방정식 강의록과 현대 입문 교재를 비교하면, 시스템이 추가된 것 외에는 내용 변화가 거의 없음
• 오늘날 교재 초반에는 완전방정식, 적분인자, 동차 미분방정식처럼 서로 연결되지 않은 기법이 유용한 도구처럼 배치됨
• 이런 유형의 방정식은 공학 실무에서 드물게 등장하며, 함께 제공되는 연습문제도 Euler 이후 큰 변화 없이 이어져 왔다고 봄
• 입문 미분방정식 과정은 대대적으로 개혁되기보다 자연스럽게 사라지고, 더 현실적인 측면을 다루는 여러 짧은 과목으로 대체될 가능성이 있음
• 다만 수학과 예산은 공학 학생들이 초급 수학 과목에 등록하는 수에 크게 의존하므로, 이런 과목이 없다면 수학과가 존속하기 어렵다고 봄

2. 1계 미분방정식은 최소한으로 줄여야 함

• Boole의 미분방정식 책은 1계 방정식 풀이에 절반가량을 할애하지만, 오늘날 의미 있게 살아남은 기법은 변수분리와 변수변환 정도라고 봄
• 적분인자는 농담처럼 되었고, 실제로 1계 미분방정식을 적분인자를 찾아 푸는 사례를 들어 본 적이 없다고 함
• 그럼에도 강의에서는 적분인자에 한두 시간을 쓰며, 학생들에게 그것이 중요하다고 말하는 관행이 이어짐

3. 선형 상수계수 방정식이 핵심임

• 학생은 상수계수 선형 미분방정식을 푸는 법을 반드시 배워야 하며, 특히 2계 상수계수 선형 방정식 풀이는 기본 수학 소양에 해당함
• 반대로 비상수계수 선형 미분방정식은 과감히 줄여야 함
  • Euler-Cauchy 방정식을 제외하면, 특수함수를 도입하지 않고 명시적으로 풀 수 있는 2계 선형 방정식은 없다고 봄
  • Bessel 함수는 과거 강의계획에 포함되었지만 현재 입문 과정에서는 다루기 어렵다고 판단함
• Sturm-Liouville 이론은 아름다운 수학이지만, 입문 과정에서 다루는 비특이 Sturm-Liouville 고윳값 문제는 실제 수학·물리·공학에서 등장하지 않는다고 비판함
  • 실제로 등장하는 Sturm-Liouville 시스템은 특이 시스템임
  • 엄밀한 이론은 첫 번째뿐 아니라 두 번째 미분방정식 과목 범위도 넘어선다고 봄
• 비상수계수 방정식을 완전히 숨길 필요는 없으며, 입문 수준에서도 Wronskian과 미분대수의 일부 결과는 보여 줄 수 있음
  • 2계 선형 방정식의 일반해 공식은 없어도 두 해의 Wronskian에는 명시적 공식이 있음
  • 하나의 해를 알면 Wronskian으로 두 번째 해를 찾을 수 있음

4. 변수변환을 가르쳐야 함

• 학생이 이후에 반드시 다루게 될 기술은 1계와 2계 미분방정식 모두에서의 변수변환임
• 변수변환은 단순 요령이 아니라 일관된 이론이지만, 현재 교재들은 이 기술에 충분한 중요성을 부여하지 않는다고 봄
• 2계 선형 미분방정식에서 종속변수와 독립변수의 변환 공식은 알려져 있으나, 20세기에 쓰인 책들에서는 찾기 어렵다고 함
• Liouville은 2계 선형 미분방정식 계수의 미분다항식인 불변량을 발견했고, 두 방정식이 변수변환으로 서로 변환될 필요충분조건이 같은 불변량을 갖는 것임을 증명함
• 이 정리는 교재에서 다뤄지지 않으며, 그의 교과서 초판에는 연습문제로 들어갔지만 이후 판에서는 빠졌다고 함

5. 존재성과 유일성은 덜 중요함

• 상미분방정식의 존재 정리는 흔히 여겨지는 것만큼 중요하지 않으며, 심리적 안정감을 주는 정리에 가깝다고 봄
• 상미분방정식에서 해가 존재하지 않는 예가 있다면 존재 정리가 더 흥미로울 수 있지만, 그런 문제는 편미분방정식에서 더 두드러짐
• 유일성 정리는 더 민감한 문제이며, 상수계수 2계 선형 방정식의 모든 해가 두 해의 선형결합이라는 사실을 증명 없이 말할 때 죄책감을 느낀다고 함
• y' = ay의 모든 해가 y = ce^{ax} 꼴임을 증명해도 학생에게 설득력 있게 전달하기 어렵다고 봄

6. 선형 상수계수 시스템이 과정의 중심임

• 상수계수 선형 시스템 풀이는 미분방정식 과정에서 학생이 배우는 가장 중요한 기술임
• 과학과 기술 분야의 학생은 이후 큰 선형 시스템을 만나게 되며, 대형 시스템 풀이가 컴퓨터화될수록 이론 이해가 더 중요해짐
• 학생은 행렬의 고윳값과 고유벡터, 행렬 지수 등 관련 이론을 알아야 함
• 최근 30년 동안 제어, 경제학, 신호 처리, 수학에서 흥미로운 상수계수 시스템 예가 나왔지만, 입문 교재에는 포함되지 않았다고 봄
• 교재의 행렬 시스템 예제는 대부분 평면 시스템이거나 인위적인 예제라고 비판함
• 매개변수변화법은 시스템 단원에서 의례적으로 등장하지만 실용성이 낮고, 학생에게 줄 만한 문제도 만들기 어려움
• 비상수계수 2계 비제차 선형 방정식을 푸는 옛 매개변수변화법은 수세기 동안 같은 인위적 예제와 함께 교재에서 반복되어 왔다고 봄

7. 미분 기호 중심 설명을 피해야 함

• 적분인자를 1800년 이후 교재들이 설명해 온 방식은 엄밀하지 않다고 강하게 비판함
• 기존 설명은 1계 방정식 dy/dx = -M(x,y)/N(x,y)를 갑자기 M dx + N dy = 0이라는 “미분형식”으로 바꾸고, 이것이 단지 다른 표기라고 말함
• 이어 어떤 함수 q(x,y)를 곱하면 qM dx + qN dy = 0이 완전해진다고 하지만, 원래 방정식과 곱한 방정식이 같은지 다른지 제대로 다루지 못함
• 더 나은 설명은 해당 1계 방정식과 함께 평면 자율 시스템을 고려하는 것임
  • dx/dt = N(x,y), dy/dt = -M(x,y)를 함께 다룸
  • 시스템의 해는 속도를 가진 매개곡선인 궤적임
  • 원래 미분방정식의 해는 속도를 제거한 적분곡선의 그래프임
• q(x,y)를 바꾸면 궤적 위의 속도는 바뀌지만 적분곡선은 그대로 남음
• 적분인자는 벡터장을 기하학적·해석적으로 더 다루기 좋게 만드는 인자 q로 도입할 수 있음
• 외미분형식 자체에 반대하는 것은 아니며, 학부 수학 교육과정에 외미분형식의 초급 미적분 과목이 곧 필요해질 수 있다고 봄

8. 말문제를 피해야 함

• 시험과 과제에서 성적 분포를 만들기 쉽다는 이유로 말문제를 선호하는 것은 잘못된 사고라고 봄
• Cambridge Tripos의 옛 훈련 방식처럼, 문제 풀이 요령에 맞춰 학생을 훈련시키면 이해보다 조작 능력이 더 중요해짐
• 미분방정식 교재의 말문제는 인위적이고 비현실적이며 반복적이고 관련성이 낮다고 비판함
• 제설차 문제나 연결된 탱크의 소금물 흐름 같은 문제를 풀게 한다고 학생이 의미 있는 것을 배운다고 보기 어렵다고 함
• 경제학 학생이 만날 실제 문제와 화학공학 학생이 만날 실제 문제는 크게 다르며, 하나의 입문 과목이 이를 단순한 말문제로 모두 포괄할 수 없음

9. Laplace 변환의 동기를 제대로 잡아야 함

• 보통 Laplace 변환은 상수계수 선형 미분방정식의 초기값 문제로 동기화되지만, 역변환은 쉽지 않고 초기값 문제는 다른 방식으로도 풀 수 있어 동기가 약함
• Laplace 변환을 다룰 때 “함수”라는 말에는 서로 다른 두 개념이 섞임
  • 그래프를 갖는 일반 함수
  • 질량밀도나 확률밀도처럼 적분으로 의미가 정해지는 밀도 함수
• 밀도 함수는 한 점에서의 값이 의미 없고, 구간 [a,b]에서의 적분이 질량이나 확률을 나타냄
• 이 관점을 받아들이면 Dirac delta 함수를 단순하고 엄밀하게 다룰 수 있음
  • 점 c에 있는 단위 질량은 그래프가 없는 가장 단순한 밀도 함수임
  • 구간이 c를 포함하지 않으면 적분값은 0, 포함하면 1로 정의됨
  • 무한대 값을 갖는 함수라는 식의 설명 없이 성질을 유도할 수 있음
• 밀도 함수에서는 일반적인 의미의 곱셈보다 합성곱(convolution) 이 자연스러운 곱셈 역할을 함
• 합성곱의 중요한 정리로 Titchmarsh 합성곱 정리를 들며, 그 정리에는 알려진 초등적 증명이 없고 Titchmarsh의 증명은 복소변수 방법을 사용한다고 함

10. 요령이 아니라 개념을 가르쳐야 함

• 입문 미분방정식 과정은 요령 모음으로 가르쳐서는 교육적 가치가 없음
• 학생은 1년 뒤 대부분의 요령을 잊게 되며, 그중 상당수는 어차피 쓸모가 없다고 함
• 학생에게 남겨야 할 개념은 다음과 같음
  • 지수함수의 보편적 등장
  • 안정성
  • 시스템의 궤적과 적분곡선의 관계
  • 위상평면 분석
  • Laplace 변환 조작
  • Laplace 변환을 통한 부분분수 분해와 합성곱의 관계
• 학생이 까다로운 문제를 숙련되게 푸는지보다, 미분방정식의 중요성과 수학의 힘에 대한 감각을 얻는 것이 더 중요함
• 학부 교육의 목적을 정보 전달로만 보는 것은 잘못이며, 정보는 강의실 밖에서도 더 나은 방식으로 얻을 수 있음
• 성공적인 학부 강의는 학생이 구체적으로 무엇을 배웠는지 정확히 집어내지 못하더라도 좋은 과목을 들었다고 느끼게 만드는 데 있음

[excovert]

내용과 제목이 다른것 같네요?

[GN⁺]

Hacker News 의견들

• 수학의 다른 분야나 여러 분야에도 비슷한 일이 있음. 수학 시간에 푸리에 변환을 배울 때는 복소수 지수함수 적분을 기계적으로 다루는 대수처럼 보여 전혀 이해가 안 됐지만, 오디오 신호 분석에서 파형의 크기 스펙트럼을 보자마자 무슨 일인지 바로 감이 왔고 위상도 그 뒤로는 어렵지 않았음
  대학 수학에서는 이런 실용 예제가 거의 금지된 듯 보이는데, 모든 걸 매우 추상적이고 엄밀하게 만들려는 의도 같음. 직관을 얻고 나니 형식적인 수학도 이해되기 시작했고, 가르치는 입장이 되면 왜 이렇게 되는지도 보임. 교사에게는 너무 당연해서 학생이 아직 표기와 어휘를 이해하기 전의 상태를 상상하기 어렵기 때문임. 그래서 학생이 이미 아는 다른 분야의 개념을 찾아 새 주제의 간단한 예와 연결해 “이건 같은 것이고 표기와 추상화만 다르다”고 보여주면 자주 딸깍하고 이해됨. 다만 교과서나 대형 강의에서는 이게 어렵고, 그래서 자료만 던져주는 대신 사람이 가르칠 필요가 있음

  • 실용 예제를 모르면 어렵다. 잠깐 대학 수학을 가르쳤을 때, 물리학 전공에 산업계 경험도 있어서 미분방정식 수업에 공학 응용이 있었으면 좋겠다고 말했더니, 미분방정식 조교였던 똑똑한 대학원생이 정색하며 “미분방정식에는 공학 응용이 없다”고 답했음
  • 이론수학을 공부했고 취미로 전자공학도 하는 입장에서, 이론수학 학생과 교직원들이 다른 분야를 조금 깔보는 분위기는 실제로 있었음. 내가 있던 곳에서는 물리학이나 응용수학 학생들까지 “저건 수학도 아니고 공식과 암기일 뿐”이라고 농담하곤 했고, 컴퓨터과학 학생들은 더 심하게 봤음
    하지만 수학 개념은 실제 물리 문제를 풀기 위해 발명됐거나 나중에 물리 문제에 매우 유용하다는 게 드러난 경우가 많음. 역사적으로는 물리와 수학을 크게 나누지 않았고 서로 영향을 많이 주고받았음. 아인슈타인이 일반상대성이론을 만들 때도 수학이 강하지 않아 친구들에게 도움을 받고 개인 교습에 가까운 과정을 거치며 이해했다는 이야기가 흥미로움. 푸리에 해석도 전자공학을 하기 전부터 이해는 했지만, 고주파 문제를 다루며 회로 작업에 주파수 영역을 쓰기 시작하고 나서야 그 유용성이 와닿았음
  • 푸리에 변환은 미적분 과정에 넣을 게 아니라 선형대수에서 가르쳐야 한다고 봄. 선형대수에서는 의미가 잘 맞고, 교과서에 부족한 비자명한 응용 예시가 되기 때문임

• 지금까지 본 미분방정식 입문 중 가장 직관적인 자료는 https://www.complexityexplorer.org/courses/31-introduction-t...였음
  처음부터 미분방정식을 설명하고, 물리적 의미와 전통적인 풀이법 한두 가지를 다룬 뒤 수치해석 방법으로 넘어감. 미분방정식을 배우고 싶다면 강력 추천할 만큼 짧고 좋지만, 정규 과정을 대비하거나 모든 내용을 알려주는 자료는 아님

  • 미분방정식을 이해하는 데 수치해석 방법을 활용하는 교육 접근의 초기 개척자들 쪽으로 정규 과정 수준 자료를 원한다면 Blanchard, Devaney, Hall의 책(http://math.bu.edu/odes)을 강력히 추천함

• 14~15살에 미적분을 처음 배울 때 왜 이걸 하는지 누가 설명해줬다면 훨씬 덜 혼란스러웠을 것 같음. 지금은 속도·거리·가속도 같은 예시로 설명하면 완전히 말이 되지만, 함수와 무한소 조각, 델타 양, 방정식과 증명 목록으로만 배우니 너무 건조하고 재미없었음. 몇 년 뒤 물리 시간에 나오기 전까지는 미적분이 뭘 하는지 감이 없었음

  • 내가 배웠고 가르쳤던 미적분 수업은 물리 세계의 예시로 가득했음. 다만 처음 배울 때는 그런 설명과 예시가 머릿속에 자리 잡을 토양이 아직 부족했던 것 같음
    대학원생이 되어 기초 내용을 다시 보며 “이렇게 말이 되는데 왜 고등학교 때 안 가르쳐줬지?”라고 생각했다가, 아마 실제로 배웠지만 수학적 성숙도가 부족해 남지 않았다는 걸 깨달았음. 대수 조작 능력이 좋아서 개념적 기초를 깊이 이해하지 않고도 대부분의 과제를 해낼 수 있었던 점도 방해가 됐음. 대수 조작 능력은 중요하지만, 개념 이해도 없이는 통과하기 어렵도록 수업을 재구성하는 게 좋겠음
  • 순수수학 관점으로 미적분을 배웠지만, 물리 지식이 어느 정도 있어서 두 개념을 연결할 수 있었고 도움이 됐음. 그래도 초반 3학기 대부분은 “적분 = 곡선 아래 면적”, “미분 = 곡선의 한 점에서 기울기 계산”만 알아도 이해가 됐음
    다만 물리 예시는 물리에 관심 있는 학생에게만 잘 먹힘. 수학 학원에서 일할 때 Stewart 교재 같은 물리 예제가 물리에 관심 없는 학생들을 오히려 많이 혼란스럽게 하는 걸 봤음. 수학을 배우는 데 더해 예시를 이해하려고 물리 개념까지 배워야 했기 때문임. 재무·경제 쪽 학생을 위한 별도 미적분도 비슷해서, 튜터들은 문제를 도우려면 기본 재무 개념을 배워야 했고 학생들은 재무 개념이 섞인 문제만 풀 수 있게 되는 경우가 있었음
  • 물리가 실제로 수학을 가르치는 일을 대신한다는 건 수학과 입장에서는 보편적인 망신이어야 함
  • 나도 똑같았음. 첫 학기 대부분을 C 평균으로 보냈는데, 무엇을 왜 하는지 이해하지 못했기 때문임
    학교 도서관에서 수영장 옆의 점점 커지는 구멍으로 물이 빠져나가는 문제들을 풀다가 유레카 순간이 왔고, 그 뒤로는 모든 게 이해됐음. 이후 대부분 A를 받았고 그해 AP 시험에서 반에서 유일하게 5점을 받았음. 결국 신호처리에 초점을 둔 전기공학을 전공하고 대학원까지 갔으니, 이해 못 하던 상태에서 거의 8년을 미적분만 하게 된 게 아이러니함
  • 엔지니어 부모가 있는 아이들은 여기서 유리함. 그런 부모는 수학이 현실에서 어떻게 쓰이는지 예시를 줄 수 있음
    관련성이 생기면, 이런 수학이 소프트웨어 속에 묻혀 있어 직접 쓰지 않더라도 누군가는 그 수학을 코드로 만들었고 우리가 그 혜택을 본다고 설명할 수 있음. “너는 직접 안 쓸 수도 있지만, 네가 쓰는 도구가 내부에서 쓴다”는 말은 이상한 잡일처럼 느끼는 학생에게 동기가 될 수 있음

• 대학에서 처음 들은 수학 과목이 그의 2학기 미적분이었고, 아직도 머릿속에서 그 목소리로 들리는 듯함. 잊을 수 없는 목소리였고 훌륭한 교사였음
  또 하나 흥미로운 점은, 50살에 스스로 선택해 엔지니어가 되었는데 공학은 이미 많이 바뀌어 있었고 중요한 건 비싼 컴퓨터 프로그램을 능숙하게 다루는 능력이었음. 그 프로그램들은 미분방정식을 수치적으로 풀었고, 다른 방식으로 풀 생각을 하는 사람은 거의 없었음. 그럴 시간이 없기 때문임

  • 대부분의 미분방정식은 해석적으로 풀 수 없는 것 아닌가 싶음. 깔끔하게 풀리는 건 정교하게 만든 퍼즐 같은 아주 작은 부분집합이고, 실제 문제에서는 수치해석 방법만이 근사해를 찾는 길인 경우가 많음
    그래도 미분방정식 이론은 수치해석 방법이 작동할 틀을 설계하는 데 여전히 유용하다고 이해하고 있음
  • 나도 Rota의 “exploring higher mathematics” 세미나를 들었고, 정말 뛰어난 사람이었음. 지금도 무한의 위계에 대한 흥분이 남아 있음
    두 번째 이야기에는 동의함. 프로그램은 미분방정식을 수치적으로 풀지만, 옛날에는 어떻게 풀었는지 조금 알아두는 것도 여전히 괜찮다고 봄

• 상수 계수를 갖는 2계 선형 상미분방정식, 즉 질량-스프링-댐퍼 시스템의 모든 일반해를 코드로 쉽게 구현할 수 있는 간결한 행렬 형태로 유도한 글을 썼음: https://esporttoys.pages.dev/2022/11/21/damped
  Lua로 된 전체 해도 제시했는데, 감쇠·고유각주파수·잔차에 따라 sin/cos 또는 sinh/cosh를 골라 위치와 속도의 시간 진화를 계산하는 형태임

  • 좋은 예시임. 수학 쪽 설명은 무거워서 기본 이해까지 오래 걸렸고, 제대로 이해했는지도 확신이 없음. 반면 Lua 코드는 변수명이 전부를 읽고 추측하게 만들긴 해도 이해하기 쉬웠음
    일에서 미분방정식을 다룬 지는 오래됐지만, PDF에 나온 “더 많이 알수록 덜 이해했다”는 말에 동의함. 왜 순수한 수학이 현실이라는 불결한 것에 오염돼야 이해되는지, 그게 이해를 방해하는지는 잘 모르겠음
  • 대학원 과정은 사실상 F=Ma-Cv-Kx를 온갖 방식으로 확장해가며 결국 유한요소해석까지 가는 과정이었음. 결국 핵심은 답하려는 질문에 가장 편리한 기저함수를 고르는 일로 귀결됨

• 10년 전 화학공학 대학원에 갔을 때 수업에 답답했던 건, 수학이 오히려 충분히 엄밀하지 않았다는 점임. 명확히 해달라고 물으면 불일치가 대충 넘어가곤 했음
  글에 나온 미분형식이 좋은 예임. 공학 수업에서는 엄밀성이나 형식성 없이 방정식을 다시 쓰는 방법처럼 갑자기 등장함. “미분”이 무엇인지, 이 기호들을 일관되게 조작할 공리적 기반이 있는지 아무도 설명하지 않고, 그냥 시험을 위한 풀이 단계만 줌. 양자화학 수업에서도 파동함수 붕괴와 광속보다 빠른 정보 전달 가능성에 대한 질문을 했지만 “이 수업 범위가 아니다”로 넘어갔음. 통계역학 대학원 수업에서는 전체 시스템의 파동함수가 개별 파동함수들의 Slater 행렬식이라는 설명에 대해, 양자역학의 핵심은 전체 시스템 상태 함수가 일반적으로 분리 불가능하다는 점이며 그렇지 않으면 얽힘도 없다고 반박했지만, 교수는 학생이 모르는 주제로 교수에게 도전하면 안 된다고 일축했음. 그 교수의 연구 경력은 DFT 소프트웨어에 원자 좌표와 종류 파일을 넣고 실행한 뒤 결과를 발표하는 계산화학 논문들에 크게 기대고 있었음

  • 어떤 크기의 시스템까지 양자 얽힘 또는 양자 결맞음을 유지할 수 있는지는 아직 열린 문제임. 양자컴퓨터에 영향을 주기 때문에 매우 중요함
    실험적으로는 충분히 큰 시스템이 양자 결맞음을 오래 유지하지 못하는 것으로 보임. 이 과정을 수학적으로 어떻게 다루는지 알고 싶으면 ‘quantum decoherence’를, 가능한 물리적 해석을 알고 싶으면 ‘objective collapse theory’를 찾아보면 됨
  • 수학 전공자로서, 공학·화학·물리 교수까지 포함한 많은 비수학자는 수학을 작동 가능한 수준으로 이해할 뿐 깊게 파고들지 않는다고 느꼈음
    “이 기호들을 일관되게 조작하는 공리적 기반이 있느냐”에 대한 답은 있음. 또한 학계의 큰 부분은 자기 작은 세부분야 안에서 출판하고 더 넓은 함의를 거의 생각하지 않음. 그래서 조금 다른 배경을 가진 새 진입자들이 많은 발견을 하기도 함
  • DFT는 단일입자 근사인 Kohn-Sham 근사를 쓰고 바닥상태 이론임. 양자화학에는 네가 말한 방향의 연구가 분명 있지만 DFT는 아님. Levy-Lieb 밀도와 Mazziotti의 논문들을 보면 좋음
  • 모르는 사람을 위해 쓰면, DFT는 밀도범함수이론임

• 관련 글들임
  Lessons I wish I had learned before I started teaching differential equations [pdf] (1997) - https://news.ycombinator.com/item?id=32530035 - Aug 2022 (177 comments)
  10 lessons I wish I had learned before I started teaching differential equations - https://news.ycombinator.com/item?id=19005798 - Jan 2019 (2 comments)
  Lessons I Wish I Had Learned Before Teaching Differential Equations (1997) [pdf] - https://news.ycombinator.com/item?id=15163979 - Sept 2017 (108 comments)
  Ten lessons I wish I had learned before teaching differential equations (1997) [pdf] - https://news.ycombinator.com/item?id=11207183 - March 2016 (118 comments)

• “상수 계수를 갖는 선형 미분방정식이 핵심”이라는 말에 완전히 동의함. 변수에 쉬운 상수를 넣어보면 어떻게 작동하는지 감을 잡을 수 있는데, 상수 계수를 먼저 가르치지 않는 게 믿기 어려움

  • 그러면 대수 II를 통과했는데도 상수 계수와 변수 계수의 차이를 이해하지 못하는 학생들을 만날 때까지 기다려보면 됨

• 지금까지 배운 거의 모든 교육자는 학습 자료가 멸균된 상태로 남아야 한다고 무의식적으로 고집했고, 이 글처럼 웃기고 관점이 강해지는 걸 허용하지 않았음. 대부분의 학생에게 “학습”은 대학을 벗어나거나 대학원에 들어가 에세이와 회고록을 통해 배우기 전까지 터무니없이 지루함
  12~16년 동안 뼈처럼 건조한 형식의 확립된 진리로 제시된 것들이 사실은 때로 수십 명에서 수천 명의 평생 작업이었고, 그들은 각자의 경력을 걸고 싸우고 사회관을 만들고 농담하고 결혼하고 이혼하고 죽고 다투고 저격하며 엄청난 열정을 교과서로 증류해냈음. 학생으로 배우는 많은 정보는 발견 당시에는 극도로 논쟁적이었음. Massachusetts Sandwich의 유리공예 박물관에서도 전시 설명판은 “기존 유리공들이 산업 침해로 반발했다”처럼 정제했지만, 실제 인용문은 발명가가 폭력적 반발을 피해 몇 주간 방에 숨어 있었다는 식으로 훨씬 인간적이었음. 현대 교육에서 하나를 바꿀 수 있다면 정보의 발전과 보존이 결코 질서정연하거나 편향 없었던 적이 없다는 걸 학생들이 알게 하고, 과거 저자들의 재치와 지혜를 충분히 접하게 만들고 싶음. 덧붙여 코미디에 헌신한 예술가·작가를 제외하면, 수학자와 엔지니어가 예술가와 작가보다 훨씬 더 웃긴 경우가 많았음

  • 전직 교사로서, 그 이유는 우리가 아는 교육 시스템이 대규모로 재현 가능한 학습 결과를 만들려고 존재하기 때문이라고 봄. 수세기 천재들이 어렵게 얻은 지식을 청소년의 머릿속에 전달하려는 시도인데, 생각해보면 꽤 이상한 일임
    그렇게 보면 실제 통찰을 전달하는 데는 부족해도 놀라울 정도로 성공적이긴 함. 더 나은 교육은 학생 주도, 발견 중심 접근일 것 같지만, 규모화가 더 어렵고 결과도 덜 결정적임. 그래서 우리는 지루하지만 어느 정도 효과는 있는 교육을 계속 반복함

• 2022년 이전 토론: https://news.ycombinator.com/item?id=32530035

  • 그 토론에서는 수학이 0은 아니지만 무한히 작은 수를 극한으로 대체한 일을 다뤘음. 무한소는 나중에 https://mathworld.wolfram.com/NonstandardAnalysis.html을 통해 엄밀하게 다시 도입됐음
    이런 방식이 현대 컴퓨터에서는 더 다루기 쉬울 것이라고 오래 생각해왔음