소프트웨어 엔지니어를 위한 유클리드 원론 - 0. 소개

📘 유클리드 원론: 고대 수학을 다시 읽는 이유

• 유클리드 원론의 내용은 초등・중등 수학 일부에 포함되지만 고등학교 과정에서 좌표 기하학이 등장하면서 사실상 폐기됨.
• 그러나 원론은 교양이나 취미로 수학을 공부하기에 적합하며, 과거에도 필수 교양서로 여겨짐.
• 직관적으로 당연해 보이는 사실조차 엄밀하게 증명하는 방식으로, 이미 알고 있는 내용을 바탕으로 논리적 사고를 훈련할 수 있음.

📖 연재 계획

• 원론 전체를 다루기보단 흥미를 느낀 내용 위주로 선정해 설명할 예정.
• 순서보다는 깊이와 설명 보강에 집중할 계획.

📐 원론의 구성

• 정의: 기본 용어(점, 선 등)를 설명하지만, 일부 용어는 따로 정의되지 않음 → ‘무정의 용어’로 간주.
• 공준과 상식: 증명 없이 받아들이는 전제이며, 현대적으로는 모두 공리에 해당.
• 공준은 기하학적 대상에 관한 것.
• 상식은 수학 전반에 적용되는 추상적인 명제.

🔎 명제란?

• 정의・공리 등을 바탕으로 논리적으로 증명 가능한 문장.
• 작도 방법도 명제로 간주되며, 역시 정의・공리만을 사용해 증명됨.

📏 명제 I.1 — 정삼각형 작도

• AB 선분에서 시작해, AB를 반지름으로 하는 두 원을 그리고, 교점을 C라 하면 AC, BC를 연결해 정삼각형 ABC를 만든다.
• 사용된 정의, 공리, 상식에 따라 AC=AB, BC=AB, 그리고 AC=BC를 도출하여 AC=BC=AB가 됨.

⚠️ 비판과 논의

• 두 원이 교점을 가진다는 가정은 명시된 공준에 없음.
• 교점이 하나만 존재한다는 보장도 없으며, 실제로는 두 개일 수 있음.
• 삼각형 ABC가 평면 도형이라는 점도 논리적으로 증명되지 않음.