GN⁺: 20년 만에 수학 커플이 주요 군론문제 해결
(quantamagazine.org)- 2003년, 독일의 대학원생 Britta Späth는 군론(Group Theory) 분야에서의 주요 미해결 문제인 McKay 추측을 접하게 됨.
- Späth는 이 문제에 매료되어 경력을 걸고 연구를 지속함.
- 그녀는 Marc Cabanes와 함께 연구하며 사랑에 빠지고 가정을 이루게 됨.
McKay 추측
- McKay 추측은 군이라는 복잡한 수학적 개체를 이해하기 위해 작은 부분만을 보면 된다는 원리를 제시함.
- 이 추측은 유한 군의 구조를 이해하는 데 있어 중요한 역할을 함.
- 유한 군의 특정 부분 집합인 Sylow 정규화자를 통해 전체 군의 중요한 정보를 얻을 수 있다는 내용임.
주요 발전
- 1970년대에 제기된 이래로 많은 수학자들이 McKay 추측을 증명하려고 시도했으나 완전한 증명은 어려웠음.
- Späth와 Cabanes는 20년간의 연구 끝에 이 추측을 증명하는 데 성공함.
- 이들의 결과는 수학계에 큰 충격을 주었으며, 동료들은 그들의 성과에 경의를 표함.
소수의 힘
- McKay는 유한 군의 구조를 이해하기 위해 소수로 이루어진 작은 부분 집합을 보는 것이 중요하다고 주장함.
- Sylow 정규화자는 유한 군의 구조를 이해하는 데 있어 중요한 역할을 하며, McKay는 이들이 군의 중요한 수량을 계산하는 데 동일한 역할을 한다고 추측함.
군론의 큰 도약
- 유한 군의 모든 구성 요소를 분류하는 프로젝트는 100년 이상 걸렸고, 2004년에 완료됨.
- 이 분류는 McKay 추측을 증명하는 데 있어 중요한 역할을 함.
- Isaacs, Navarro, Malle는 McKay 추측을 새로운 방식으로 재구성하여 문제를 해결할 수 있는 길을 열었음.
Späth와 Cabanes의 연구
- Späth는 Malle의 지도 아래 McKay 추측을 연구하기 시작함.
- 그녀는 Cabanes와 함께 Lie 유형의 군에 대한 연구를 진행하며, 이들은 결국 McKay 추측을 증명함.
- 이 과정에서 그들은 Lie 유형의 군에 대한 깊은 이해를 발전시킴.
'장관의 업적'
- Späth와 Cabanes는 2023년 McKay 추측의 증명을 발표함.
- 이들의 연구는 수학자들이 Sylow 정규화자만을 통해 군의 중요한 속성을 연구할 수 있게 하였음.
- 여전히 McKay가 발견한 이상한 우연의 이유는 미스터리로 남아 있음.
결론
- Späth와 Cabanes는 새로운 연구 주제를 찾고 있으며, McKay 추측만큼 그들을 사로잡는 문제를 찾기 어려워하고 있음.
Hacker News 의견
- Patrick과 Radhia Cousot 부부가 함께 만든 Abstract Interpretation을 떠올리게 함. 이 기법은 유용하며, 형식 검증 수업에서 배운 적이 있음
- "이렇게 어려운 문제에 몰두하는 것이 그녀의 학문적 경력에 해가 될 위험이 있었지만, Späth는 모든 시간을 그것에 바쳤음"이라는 문장은 이유가 있어서 모든 기사에 있는 것 같음. 이런 집착적인 사람들이 있어서 다행이며, 언급되지 않는 반사실들에 건배를 보냄
- 부부가 결과를 발표했을 때, 동료들은 경외감을 느꼈음. Stanford University의 Persi Diaconis는 "퍼레이드가 열리길 바랐다"고 말했음. "수년간의 힘든 작업 끝에 그녀가 해냈고, 그들이 해냈다"는 긍정적인 지원은 조합론 문제를 다루는 데 있어서 내가 정말 좋아했던 요소 중 하나였음. Persi Diaconis와 D.J.A. Welsh 같은 사람들은 매우 친절하여 이 분야를 더 매력적으로 보이게 함
- McKay 추측은 다음과 같음. 복소수로 행렬로 그룹을 표현하는 데 관심이 있다고 가정함. 이를 수행하는 방법은 여러 가지가 있으며, 각각은 그러한 표현의 지문과 같은 캐릭터를 가짐. 또 다른 측면에서는 모든 그룹이 소수의 거듭제곱인 순서를 가진 큰 부분 그룹을 포함하고 있음이 알려져 있음. 이를 P라고 부름. 이 그룹은 P가 정상인 정규화자를 가짐. 놀라운 점은 G의 캐릭터 수와 N(P)의 캐릭터 수가 같다는 것임. 여기서 N(P)는 G의 작은 부분임
- 기술적 주의: 두 경우 모두 p의 배수인 차수의 표현은 제외함
- 어젯밤 Apple TV에서 "Prime Target"을 시작했는데, 이 이야기의 전제가 익숙하게 들렸음. 주인공이 소수 문제에 집착함. 관련 없는 이야기지만, 이 부부가 형식 수학 문제에 AI 도구를 사용하는 것에 대해 어떻게 생각하는지 궁금함. 지난 2년 동안 이 문제를 해결하는 데 AI 도구를 사용했는지 궁금함
- 논문: 링크
- 우연의 일치로, 최근 HN에 게시된 후 Infinite Napkin의 그룹 부분을 읽고 있었음. 정의 등을 이해하지만, 여전히 그룹의 중심 중요성을 파악하지 못했음. 예를 들어, 기사에서는 72차 그룹이 50개 있다고 말함 (chatGPT는 50개의 비가환 그룹과 5개의 가환 그룹이 있다고 말함). 이것이 중요한 통찰인 것 같지만, 무엇에 대한 것인지 궁금함
- 대단한 헌신임. 개인적인 이야기가 정말 마음에 듦. STEM 분야에서는 항상 이런 이야기를 볼 수 있는 것은 아님. 그들의 주된 목표가 달성된 지금, 그들의 관계가 새로운 현실을 잘 다루기를 바람
- 그들의 증명: 링크 (2024)
- 함께 수학하는 부부는 함께 남음