고등학교 때 배운 치환적분과 같은 개념인지는 잘 모르겠음
대학 신입생 대상 대수학을 가르치면서, 대부분의 문제가 결국 ‘형태’를 인식하고 그에 맞는 알고리즘을 적용하는 식으로 풀린다는 걸 깨달았음
학생들은 이를 ‘트릭’이라고 불렀고, 수학이 객관적 사고보다는 교사가 원하는 트릭을 맞추는 게임처럼 느껴졌다고 함
모든 극값 문제를 이차방정식으로만 풀고, 결국 ‘완전제곱식 만들기’로 귀결되는 식이었음
이런 경험이 수학 교육에 대한 씁쓸한 인상을 남겼음
Feynman의 트릭은 매개변수를 도입해 적분 전체를 미분함으로써 단순화하는 반면, 치환적분은 변수 변환으로 연쇄법칙을 되돌리는 방식이라 생각함
하지만 오랜만에 손으로 적분을 해본 거라 정확한 설명인지는 확신이 없음
적분에서 제일 싫었던 건 어떤 접근법이 통할지 몰라서 결국 시도와 시행착오로 끝나는 부분이었음
시험이 교재나 교사가 가르친 내용에 기반한다고 가정하는 건 자연스러운 일이라 생각함
그렇지 않다면 불공평하다고 느껴짐
David Bessis의 Mathematica를 읽고 나서, 수학이 언어와 이미지로 설명되고 수식은 그 설명을 증명하는 도구로만 쓰였으면 좋겠다고 느낌
적분기호의 의미도 가물가물하고, 형식적인 수학 표현은 현실과 단절된 느낌을 줌
수학적 형식주의가 흥미로운 주제를 오히려 멀게 만드는 게 아쉬움
Feynman의 트릭을 직관적으로 이해하자면, 주어진 함수를 만들어내는 ‘변형(morph)’ 을 구성하는 것이라 생각함
매개변수 t가 변형을 주도하고, 그 변형의 속도를 적분하면 원래 함수의 적분을 얻는 구조임
핵심은 변형의 속도를 계산하기 쉽게 만드는 것임
BetterExplained은 수학 개념을 시각적 비유로 설명해 직관을 키워주는 사이트라서 좋아함
수학 교육이 이런 식으로 진행된다면 훨씬 이해하기 쉬울 것 같음
물리학 전공 시절 Feynman의 책에서 이 트릭을 처음 보고, 그가 단순한 기법을 말한 건지 더 일반적인 형태를 말한 건지 궁금했음
그 덕분에 Edwin Bidwell Wilson의 *Advanced Calculus (1912)*를 읽게 되었고, 거기엔 흥미로운 예시가 많았음
미적분의 기본을 넘어 더 깊이 배우고 싶은 학생이라면 이 책을 추천함
u-치환이든 Feynman의 트릭이든, 어떤 식을 써야 할지 모르는 게 문제임
가능한 변환이 너무 많고, 각각을 시도하려면 복잡한 대수 계산을 해야 함
주어진 식이 있다면 기계적으로 풀 수 있지만, 그건 또 재미가 없음
이런 기법은 결국 연습과 숙성이 필요한 기술임
체스처럼 여러 경로를 시도하다 보면 어떤 접근이 통하는지 감이 생김
처음엔 답답하지만 수백 번 반복하다 보면 패턴이 보이기 시작함
고등학교 이후의 수학은 대부분 이런 식으로 직관과 반복 연습이 필요함
요즘은 컴퓨터 대수 시스템이 여러 치환을 자동으로 시도해주고, 풀이 단계를 보여주기도 함
대학원에서 배운 가장 중요한 교훈은 “도구 상자가 다르면 결과도 달라진다”는 것임
결국 비판적 사고란 사실을 아는 게 아니라, 사실을 만들어내는 방법을 아는 것임
요즘 실제로 이런 적분 기법을 쓰는 사람들에게 묻고 싶음
나는 대부분의 경우 수치적 근사로 충분했는데, 굳이 해석적으로 풀 필요가 있을까 궁금함
양자역학에서는 관측 가능한 값이 적분으로 표현됨
수치 계산만 하면 실험적 이해에 머물지만, 해석적으로 풀면 매개변수 변화에 따른 물리적 직관을 얻을 수 있음
극한 경우를 해석적으로 풀고 이를 이어붙이면 수치 계산 없이도 충분히 예측 가능함
적분의 수치값보다 그 함수의 행동 양상이 중요한 경우가 많음
예를 들어 Laplace 변환이나 모멘트 생성함수의 형태를 알면 훨씬 많은 통찰을 얻을 수 있음
Mercator 투영도 처음엔 감으로 만들어졌지만, 나중에 닫힌 형태를 알게 되면서 이해가 깊어졌음
이름 붙은 함수들은 익숙함을 주고, 그 자체로 심리적 안정감을 줌
전자공학 실무에서는 수학적 계산보다 감(감각적 근사) 이 더 중요함
예를 들어 저항값을 20.7kΩ로 계산해도 실제로는 22kΩ과 18kΩ + 4.7kΩ 가변저항 조합으로 조정하는 게 현실적임
이게 바로 경험에서 오는 실용적 수학임
Hacker News 의견
고등학교 때 배운 치환적분과 같은 개념인지는 잘 모르겠음
대학 신입생 대상 대수학을 가르치면서, 대부분의 문제가 결국 ‘형태’를 인식하고 그에 맞는 알고리즘을 적용하는 식으로 풀린다는 걸 깨달았음
학생들은 이를 ‘트릭’이라고 불렀고, 수학이 객관적 사고보다는 교사가 원하는 트릭을 맞추는 게임처럼 느껴졌다고 함
모든 극값 문제를 이차방정식으로만 풀고, 결국 ‘완전제곱식 만들기’로 귀결되는 식이었음
이런 경험이 수학 교육에 대한 씁쓸한 인상을 남겼음
하지만 오랜만에 손으로 적분을 해본 거라 정확한 설명인지는 확신이 없음
적분에서 제일 싫었던 건 어떤 접근법이 통할지 몰라서 결국 시도와 시행착오로 끝나는 부분이었음
그렇지 않다면 불공평하다고 느껴짐
David Bessis의 Mathematica를 읽고 나서, 수학이 언어와 이미지로 설명되고 수식은 그 설명을 증명하는 도구로만 쓰였으면 좋겠다고 느낌
적분기호의 의미도 가물가물하고, 형식적인 수학 표현은 현실과 단절된 느낌을 줌
수학적 형식주의가 흥미로운 주제를 오히려 멀게 만드는 게 아쉬움
매개변수 t가 변형을 주도하고, 그 변형의 속도를 적분하면 원래 함수의 적분을 얻는 구조임
핵심은 변형의 속도를 계산하기 쉽게 만드는 것임
수학 교육이 이런 식으로 진행된다면 훨씬 이해하기 쉬울 것 같음
물리학 전공 시절 Feynman의 책에서 이 트릭을 처음 보고, 그가 단순한 기법을 말한 건지 더 일반적인 형태를 말한 건지 궁금했음
그 덕분에 Edwin Bidwell Wilson의 *Advanced Calculus (1912)*를 읽게 되었고, 거기엔 흥미로운 예시가 많았음
미적분의 기본을 넘어 더 깊이 배우고 싶은 학생이라면 이 책을 추천함
u-치환이든 Feynman의 트릭이든, 어떤 식을 써야 할지 모르는 게 문제임
가능한 변환이 너무 많고, 각각을 시도하려면 복잡한 대수 계산을 해야 함
주어진 식이 있다면 기계적으로 풀 수 있지만, 그건 또 재미가 없음
체스처럼 여러 경로를 시도하다 보면 어떤 접근이 통하는지 감이 생김
처음엔 답답하지만 수백 번 반복하다 보면 패턴이 보이기 시작함
대학원에서 배운 가장 중요한 교훈은 “도구 상자가 다르면 결과도 달라진다”는 것임
결국 비판적 사고란 사실을 아는 게 아니라, 사실을 만들어내는 방법을 아는 것임
요즘 실제로 이런 적분 기법을 쓰는 사람들에게 묻고 싶음
나는 대부분의 경우 수치적 근사로 충분했는데, 굳이 해석적으로 풀 필요가 있을까 궁금함
수치 계산만 하면 실험적 이해에 머물지만, 해석적으로 풀면 매개변수 변화에 따른 물리적 직관을 얻을 수 있음
극한 경우를 해석적으로 풀고 이를 이어붙이면 수치 계산 없이도 충분히 예측 가능함
예를 들어 Laplace 변환이나 모멘트 생성함수의 형태를 알면 훨씬 많은 통찰을 얻을 수 있음
Mercator 투영도 처음엔 감으로 만들어졌지만, 나중에 닫힌 형태를 알게 되면서 이해가 깊어졌음
이름 붙은 함수들은 익숙함을 주고, 그 자체로 심리적 안정감을 줌
예를 들어 저항값을 20.7kΩ로 계산해도 실제로는 22kΩ과 18kΩ + 4.7kΩ 가변저항 조합으로 조정하는 게 현실적임
이게 바로 경험에서 오는 실용적 수학임
Path integral formulation을 보면 그 복잡함을 실감할 수 있음
이 글은 교육적으로 매우 잘 구성된 예시라고 생각함
동기 부여 → 이론 → 간단한 예제 → 일반화 → 난이도 있는 연습문제 순으로 완벽히 짜여 있음
Feynman이 윤곽적분(contour integration) 을 좋아하지 않는다고 한 게 흥미로움
사실 많은 적분은 두 방법 중 어느 쪽으로도 풀 수 있음
Feynman의 트릭은 적분을 이중적분으로 확장한 뒤 순서를 바꾸는 것과 같음
Fubini의 정리를 참고할 만함
시그마를 하나 더 추가하고 순서를 바꾸는 방식이었음
Feynman의 트릭은 이론적으로는 멋지지만, 실제로는 언제 적용 가능한지 감 잡기 어렵음
예제가 미리 그렇게 설계되어 있지 않으면 활용하기 힘듦
글의 시작 부분에는 수식 오류가 있음
I'(t)의 계산에서 적분식이 잘못 쓰였다고 생각함
실제로는 (\int_0^1 x^{t-1}/\ln(x) dx)가 되어야 함
체인룰을 적용하면 (d/dt (x^t - 1)/\ln(x) = x^t)가 됨
다만 수렴성에 대한 논의가 빠져 있었던 건 사실임