# 모든 것은 로그다

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- GeekNews HTML: [https://news.hada.io/topic?id=30735](https://news.hada.io/topic?id=30735)
- GeekNews Markdown: [https://news.hada.io/topic/30735.md](https://news.hada.io/topic/30735.md)
- Type: GN+
- Author: [neo](https://news.hada.io/@neo)
- Published: 2026-06-23T03:36:12+09:00
- Updated: 2026-06-23T03:36:12+09:00
- Original source: [alexkritchevsky.com](https://alexkritchevsky.com/2026/05/25/everything-is-logarithms.html)
- Points: 2
- Comments: 1

## Topic Body

- 로그를 숫자 함수가 아니라 **밑 없는 로그**라는 추상 객체의 비율로 보면, \(\log_b N = \log N / \log b\)는 단위 변환처럼 읽힘
- \(\log 2\)는 **bits**, \(\log e\)는 **nats** 같은 측정 단위가 되며, 밑변환 공식은 같은 양을 다른 단위로 쓰는 과정과 닮음
- \(p\)-adic valuation, 영점·극점의 차수, 미분의 성분 추출은 모두 **로그 성분의 투영**처럼 해석될 수 있음
- 벡터를 이동 연산자의 로그로, 차원을 유한체 위 벡터공간 크기의 로그로, 기저를 로그가 반환하는 객체로 보는 여러 대응이 이어짐
- 전체 논의는 엄밀한 통일 정리라기보다 **표기와 구조의 중복**을 추적하는 탐색이며, 좌표와 단위를 분리하는 수학적 관점이 이런 패턴을 정리할 수 있음

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### 밑 없는 로그와 단위 변환
- 일반적인 로그는 \(\log_b x\)처럼 밑 \(b\)를 명시해 \(b^y=x\)의 해를 나타냄
- 밑변환 공식 \(\log_b x = \log_a x / \log_a b\)는 **단위 변환**과 비슷하게 해석됨
  - \(2 \text{ km} = 2000 \text{ m} / (1000 \text{ m}/1 \text{ km})\)와 같은 구조임
  - “\(x\) 안에 \(b\)가 몇 개 들어 있는가”는 “\(x\) 안의 \(a\) 개수”를 “\(b\) 안의 \(a\) 개수”로 나눈 값으로 볼 수 있음
- \(\log N\)을 숫자가 아닌 **추상 객체**로 두면, 밑이 있는 로그는 두 밑 없는 로그의 비율이 됨
  - \(\log_2 N = \log N / \log 2\)
  - \(\log 2\)는 “bits”라는 단위처럼 다룸
  - \(\log e\)는 “nats”라는 단위처럼 다룸
- 이 관점에서 \(\log N\)은 직접 수치 의미를 갖지 않고, \(\log b\)로 나눌 때 특정 단위의 수치가 됨
- 밑 없는 지수 \((*)^{\log N}\) 같은 대응물은 의미 있게 만들 방법이 없다고 봄
  - 기존 \(\log_b N\)은 \(\log N\)과 \(\log b\)라는 두 단위 없는 객체의 비율로 정리됨

### 로그와 벡터의 유사성
- 좌표 없는 **기하적 벡터**와 특정 좌표계의 좌표 벡터를 구분하듯, \(\log N\)도 특정 밑을 고르기 전의 객체로 볼 수 있음
- 벡터 \(\mathbf{v}\)를 기준 벡터 \(\mathbf{x}\)로 나누어 성분을 측정하는 비표준 표기와, \(\log N / \log 2\)로 bits 단위 값을 얻는 방식이 같은 구조를 가짐
  - \(\mathbf{v}/\mathbf{x}=v_x\)
  - \(\log N / \log 2=\log_2 N\)
- 같은 로그를 서로 다른 단위로 쓰는 식은 같은 벡터를 서로 다른 기저로 쓰는 식과 대응함
  - \(\log N = \log_2(N)\text{ bits} = \ln(N)\text{ nats}\)
  - \(\mathbf{v}=v_x\mathbf{x}=v_{x'}\mathbf{x'}\)
- 밑변환 공식은 벡터의 **좌표 변환**과 같은 역할을 함
  - \(\log_2 N = \log_2(e)\ln N\)
  - \(v_x = (\mathbf{x'}/\mathbf{x})v_{x'}\)

### 로그 성분을 추출하는 연산들
- 일반 로그에는 편미분처럼 특정 성분만 꺼내는 **부분 투영** 표기가 없음
  - \(N=2^a3^b\)일 때 \(\log N/\log 2 = a + b\log_2 3\)처럼 전체가 한 단위로 측정됨
  - \(\log 2\) 성분과 \(\log 3\) 성분을 따로 추출하는 표준 로그 표기는 없음
- 정수론의 [p-adic valuation](https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_valuation)은 자연수의 소인수분해에서 \(\log p\) 성분의 계수를 꺼내는 연산처럼 해석됨
  - \(\log n = n_2\log2+n_3\log3+n_5\log5+\cdots\)
  - \(\nu_p(n)=n_p\)
  - \(\nu_p(m/n)=\nu_p(m)-\nu_p(n)\) 같은 로그적 항등식도 유지됨
- 유리수나 근호가 포함된 수로 확장하면 계수는 정수 또는 유리수가 되며, 결과 객체는 실제 벡터공간에 가까워짐
- 복소해석의 영점 또는 극점의 차수도 비슷한 **로그 비율의 극한**으로 표현됨
  - \(\text{ord}_a f(z)=\lim_{z\to a}\log f(z)/\log(z-a)\)
  - 로랑 급수에서 가장 지배적인 항의 차수를 추출함
- \(p\)-adic valuation, 편미분, 복소해석의 차수 추출은 서로 닮았지만, 이를 묶는 통일 이론은 아직 명확하지 않음

### 벡터도 로그로 볼 수 있는 경우
- 미분기하에서 벡터는 편미분 연산자의 기저로 쓰이며, 이를 지수화하면 **이동 연산자**가 됨
  - \(T^{\mathbf{v}}=e^{v_x\partial_x+v_y\partial_y}\)
  - \(e^{v_x\partial_x+v_y\partial_y}f(x,y)=f(x+v_x,y+v_y)\)
- 평탄한 공간에서는 이동 연산자가 좌표별 이동의 곱으로 분해됨
  - \(T^{\mathbf{v}}=T_x^{v_x}T_y^{v_y}\)
  - 비평탄 공간에서는 서로 다른 좌표의 이동이 교환되지 않을 수 있어 더 복잡함
- 이때 벡터는 이동 연산자의 로그로 표현될 수 있음
  - \(\ln T^{\mathbf{v}}=v_x\partial_x+v_y\partial_y\)
- 자연로그의 밑 \(e\)에 의존하기보다, 일반적인 이동의 밑 \(T\)를 두고 \(\mathbf{v}=\log_T T^{\mathbf{v}}\)처럼 쓰는 편이 더 적절해 보임
- 일반 곱셈도 \(\ln a\) 좌표에서의 이동으로 볼 수 있지만, 이 해석이 실제로 유용할지는 분명하지 않음

### 로그와 도함수의 관계
- 자연로그는 \(\ln x=\lim_{a\to0}(x^a-1)/a\)로 정의될 수 있음
  - \(x^a=e^{a\ln x}\)를 테일러 전개하면 \(\ln x\)가 나옴
- \((1+x)\)를 대입하면 \(\ln(1+x)\)의 테일러 급수가 재현됨
  - \(x-\frac12x^2+\frac13x^3-\cdots\)
- 이 식은 도함수처럼 보이며, \(\ln x=\partial_y x^y|_{y=0}\)로 쓸 수 있음
- \(\ln x\)는 여러 면에서 \(x^0\)처럼 동작함
  - \(\ln x\sim (x^0-1)/0\)
  - 형식적으로 \(\partial_x\ln x=\partial_x((x^0-1)/0)=1/x\)처럼 보임
- 이 부분은 글의 다른 논의와 직접 연결되지는 않지만, 로그를 \(x^0\) 주변의 1차 변화로 보는 관점을 더함

### 차원은 로그처럼 동작함
- 유한차원 벡터공간에서 \(\dim_K\)는 로그와 유사한 항등식을 가짐
  - \(\dim_K K^n=n\)
  - \(\dim_K(U\oplus V)=\dim_KU+\dim_KV\)
  - \(\dim_K(U/V)=\dim_KU-\dim_KV\)
  - \(\dim_K(U\otimes V)=\dim_KU\times\dim_KV\)
- 유한체 \(K\) 위의 유한차원 벡터공간 \(V\simeq K^n\)에서는 크기와 차원 사이에 실제 로그 관계가 성립함
  - 벡터는 기저 각 원소에 \(K\)의 계수를 배정하는 함수로 볼 수 있음
  - \(\|V\|=\|K\|^{\dim_K V}\)
  - 따라서 \(\dim_K V=\log_{\|K\|}\|V\|\)
- 무한차원이나 무한체에서는 이 해석이 덜 견고하며, cardinality 대신 [numerosity](<https://en.wikipedia.org/wiki/Numerosity_(mathematics>)) 같은 다른 크기 개념이 필요할 수 있음
- 밑 없는 차원 표기를 쓰면 \(\dim K^n=n\dim K\), \(\dim_K V=\dim V/\dim K\)처럼 표현됨
- 텐서곱에서는 단순히 차원을 곱하면 \(\dim K\)가 한 번 더 생기므로, \(K\)에 대한 텐서곱 \(\otimes_K\)가 스칼라 계수의 몫을 통해 그 요인을 제거한다고 해석함

### 기저와 span을 로그와 지수처럼 보기
- 차원이 기저의 cardinality라면, 로그는 cardinality가 아니라 **기저 자체**를 반환한다고 볼 수 있음
  - \(V\simeq K^3\)의 기저가 \((\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})\)라면 \(\log_K V=(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z})\)처럼 쓸 수 있음
  - \(\dim_KV=\|\log_KV\|\)
- 특정 기저 하나를 고르는 문제가 있어, \(\log_KV\)는 \(V\)의 가능한 모든 기저를 함께 가리키는 객체로 보는 편이 더 맞을 수 있음
  - 임의의 기준 프레임 \(X_0\)와 \(\Lambda\in GL(V)\)에 대해 \(X=\{\Lambda X_0\mid \Lambda\in GL(V)\}\)
  - 이 객체는 \(GL(V)\)-torsor로 볼 수 있음
- 로그의 역방향 연산은 벡터공간을 기저에서 복원하는 **span**으로 해석됨
  - \(\span_K(X)=K^X=V\)
- 이 해석은 표기 남용이 많고 최선인지 확실하지 않지만, \(\dim\)과 \(\span\)을 선형대수의 \(\log\)와 \(\exp\) 유사물로 생각하게 함
- 밑 없는 로그의 관점에서 \(\log K\) 자체를 “\(K\)의 기저”처럼 해석할 가능성도 있지만, 이 부분은 더 추상적인 후속 논의로 남음

### 함수와 로그의 관계에 대한 추측
- 산술 연산을 집합 연산으로 올려 보는 절차를 “setification”에 가까운 것으로 다룸
  - 자연수 덧셈, 곱셈, 거듭제곱은 각각 집합의 분리합, 곱, 함수 집합과 대응함
  - 유한집합에서는 cardinality가 이 연산들을 잘 보존함
- 예를 들어 \(A=\{a,b\}\), \(X=\{x,y\}\)일 때 \((a+b)^{x+y}\)를 전개하면 \(X\to A\) 함수 4개를 항으로 나열할 수 있음
  - \(a^xb^y\)는 \(x\mapsto a\), \(y\mapsto b\)인 함수처럼 해석됨
  - 변수를 일부 \(0\)이나 \(1\)로 두면 함수 평가나 제한처럼 동작함
- 팩토리얼과 조합도 비슷한 방식으로 순열과 조합을 항으로 열거할 수 있음
- 보통 함수 \(f:X\to A\)는 관계 \(\{(x,f(x))\mid x\in X\}\)로 모델링되지만, \(a^xb^y\) 자체는 하나의 함수라 cardinality가 1임
- \(\log f \? x\log a+y\log b\)는 함수의 관계 표현과 닮았지만, 이 부분은 아직 설명이 충분히 정리되지 않음

### 일반 공변성과 결론
- 전체 논의는 로그를 곱셈적 표현을 덧셈적 표현으로 바꾸는 **동형**으로 보는 단순한 경우에 집중함
  - 복소 로그나 행렬 로그처럼 더 복잡한 경우는 논의 대상에서 제외함
- \(\dim\), \(\nu_p\), 전체 미분 같은 여러 수학 연산이 로그와 같거나 가까운 구조를 가짐
- 이런 연결들은 “numerology”에 가까운 면이 있지만, 너무 깔끔해서 무시하기 어렵다는 입장임
- 물리학의 수학, 특히 양자역학의 연산자 형식에서도 비슷한 구조가 나타나며, 물리학은 수학적 표기와 좌표 선택에 제약을 줌
- [general covariance](https://en.wikipedia.org/wiki/General_covariance)는 객체의 성질이 좌표 선택과 독립적이어야 한다는 생각이며, 밑 없는 로그도 곱셈적 표현과 덧셈적 표현의 동형을 단위 선택과 분리하려는 예로 볼 수 있음

## Comments



### Comment 60172

- Author: neo
- Created: 2026-06-23T03:36:15+09:00
- Points: 1

###### [Hacker News 의견들](https://news.ycombinator.com/item?id=48622626) 
- 여기서 **밑 없는 로그**는 그냥 torsor임 [0]  
  위치, 통화 가치, 달력 날짜 같은 것도 torsor로 볼 수 있음. 값 자체는 임의적이고, 어떤 값만큼 평행이동하거나 스케일을 바꿔도 기능적으로 달라지지 않음. torsor를 쓰면 이런 임의 선택을 미리 하지 않고도 대상을 말할 수 있음  
  밑 없는 로그에서는 바탕 집합이 “정보 단위”임. log 2는 비트, log e는 nat, log 10은 digit 같은 식이고, 변환 계수가 torsor의 군을 이룸. 특정 단위를 특별하게 고르는 건 torsor를 자명화하는 것뿐임  
  벡터 나눗셈 표기도 길이 단위와 정확히 같은 방식으로 g-torsor를 인코딩함  
  지금까지 예시는 모두 아벨 군 torsor지만, 위치를 지정하려면 원점과 길이 단위를 모두 골라야 함. 이 torsor의 군은 평행이동과 스케일링의 적절한 반직접곱이라서 비아벨 군이 됨  
  대부분은 자명화를 암묵적으로 골라 쓰고, 그래서 객체와 그 객체에 대한 연산을 동일시하는 혼동이 생김. 예를 들어 벡터를 위치로 보는 것과 평행이동으로 보는 것을 섞어버림. 글쓴이의 기하대수 문제에 대한 글 [1]에서도 이 지점을 다룸  
  [0]:[https://math.ucr.edu/home/baez/torsors.html](<https://math.ucr.edu/home/baez/torsors.html>)  
  [1]:[https://alexkritchevsky.com/2024/02/28/geometric-algebra.htm...](<https://alexkritchevsky.com/2024/02/28/geometric-algebra.html>)
  - 이 수학 개념에 **torsor**라는 말을 붙인 건 아주 나쁜 선택이었음. 단어의 원래 뜻과 관계가 분명하지도 않고, 고전역학에서는 이미 오래전부터 전혀 다른 개념, 즉 강체가 평형을 유지하려면 0이어야 하는 양(합력과 합토크의 쌍)을 가리키는 말로 쓰였기 때문임  
    안타깝게도 수학에는 일반 단어를 원래 뜻과 아무 관계 없는 개념 이름으로 재사용하는 전통이 오래 있음. 그래서 사소한 사실을 말하는 수학책이나 논문도, 해당 세부 분야의 전문 용어에 익숙하지 않으면 문장이 불투명해짐
  - torsor는 알고 있었지만 거기서 연결할 생각은 못 했음. 사실 그 용어가 아주 유용하다고 느끼지는 않는데, torsor라는 걸 알아도 여전히 생각하기 어렵게 느껴짐. 다만 개념에 더 익숙해질 필요는 있어 보임  
    여기 다른 댓글에서 내 **기저 로그**를 “GL(V)-torsor”라고 표현한 쪽이, 내가 손으로 억지로 풀어쓰던 것보다 훨씬 간결했음  
    용어와 별개로, 로그를 그런 방식으로 생각한 건 본 적이 없어서 흥미로웠음

- **로그**는 대단함. 예전에 1920년대 수학 교과서를 보기 시작했는데, 모든 계산이 표로 된 로그에 의존했음. 숫자를 표에서 로그로 바꿔 연산 차수를 낮춘 뒤 다시 일반 표현으로 되돌리는 방식임  
  세제곱근을 찾는 같은 연산도 나눗셈으로 줄일 수 있고, log-log로 바꾸면 다시 뺄셈으로 더 낮춘 뒤 원래 표기로 복원할 수 있음. 손으로 해보면 마법의 웜홀을 쓰는 느낌이라 정말 멋짐
  - 그 마법의 웜홀의 물리적 버전이 **계산자**임
  - PDF가 있으면 좋겠음. 이런 오래된 책들을 좋아함
  - 그 책 제목을 알려줄 수 있는지 궁금함
  - 지난 10년대까지만 해도 학교 시험에서 손계산과 **로그표**를 썼음. 계산기는 허용되지 않았기 때문임  
    시험 중 한두 번 정도 로그표가 필요하게 문제가 나왔음. 예를 들어 나눗셈은 lookup(a)-lookup(b)로 바꾸고, 그 값을 다시 역로그, 즉 exp 표에서 찾는 식임

- Charles Petzold의 **The Lost Art of Logarithms**는 읽기 좋음. 아직 집필 중인 작업임  
  [https://www.lostartoflogarithms.com/](<https://www.lostartoflogarithms.com/>)
  - Charles Petzold의 글은 언제나 아주 명확하고 깊이가 있음

- 같은 아이디어가 **물리학**에도 나옴. 양자물리에서 작용 S는 진폭 e^iS/(h^bar) 뒤에 있는 로그 같은 양으로 등장함  
  통계역학에서는 엔트로피가 가능한 미시상태 수 Omega의 로그임: S = log(Omega)  
  서로 다른 물리학 분야에서 나온 개념이지만, 둘 다 곱셈 관계를 덧셈 관계로 바꾸기 위해 로그를 쓰는 같은 원리를 반영함

- “밑 없는 로그 log(N)이 있다면 ‘밑 없는 지수’도 있나?”라는 질문에는, 순진한 대수로는 가능함  
  log(x,base)에서 base를 빼버릴 수 있다면 pow(base,x)에서도 base를 빼버릴 수 있음. bits=log(2)이므로 pow(bits)=2가 됨. 적분 같은 역방향 개념과도 연결할 수 있을 듯함  
  재미로 표기 장난을 해보면:  
  log(freq) = pitch  
  freq = pow(pitch)  
  octave = log(2)  
  400*Hz = 100*Hz*4 // 400 Hz 주파수는 100 Hz의 4배  
  log(400*Hz) = log(100*Hz) + log(4)  
  log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*log(2)  
  log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*octave  
  log(400*Hz) = log(100*Hz) + 2*octave // 400 Hz의 음높이는 100 Hz보다 2옥타브 위  
  cent = log(2)/1200  
  A4 = log(440*Hz)  
  B4 = A4 + 200*cent // B4 음높이는 A4보다 200센트 위  
  B4 = log(440*Hz) + 200*log(2)/1200  
  B4 = log(440*Hz) + log(2^(2/12))  
  B4 = log(440*Hz * 2^(2/12))  
  pow(B4) = 493.883 Hz // B4 주파수는 493.883 Hz  
  밑 없는 로그 표기가 주는 직관이 마음에 들고, 특정 기준점을 고를 필요도 피할 수 있음. 임의의 밑을 골라 직접 계산할 수도 있음:  
  pow(log(440*Hz) + 200*log(2)/1200)  
  exp(ln(440) + 200*ln(2)/1200)
  - 이걸 쓰면 **데시벨**에도 실제 단위를 줄 수 있겠음  
    dB_P = log(10)/10  
    dB_F = log(10)/20  
    log(10*V) = log(V) + 20*dB_F // 10 V의 수준은 1 V의 전력 수준보다 20 dB 높음  
    SPL = 20*10^-6 * Pa  
    hearing_damage = log(SPL) + 90*dB_F // 청력 손상은 SPL보다 90 dB_F 초과에서 발생함(A-weighting은 무시)  
    pow(hearing_damage) = pow(log(SPL) + 90*dB_F))  
    pow(hearing_damage) = pow(log(SPL) + 90*log(10)/20))  
    pow(hearing_damage) = SPL*pow(90*log(10)/20))  
    pow(hearing_damage) = SPL*31622.7766 // 청력 손상 압력은 SPL의 31622배 초과  
    pow(hearing_damage) = 0.632455532 Pa // 청력 손상 압력은 0.632 Pa 초과  
    정말 유용함. 데시벨 접미사의 우스꽝스러운 목록을 균일한 표기로 합친다고 상상해볼 수 있음. 로그를 먼저 쓰면 +나 - 위치도 그대로 유지됨  
    log(reference_unit) + value*dB_F (or dB_P)  
    log(reference_unit) - value*dB_F (or dB_P)  
    [https://en.wikipedia.org/wiki/Decibel#List_of_suffixes](<https://en.wikipedia.org/wiki/Decibel#List_of_suffixes>)
  - 맞음. 지수화를 그냥 **커링**해서 그것을 밑 없는 거듭제곱이라고 부를 수 있겠음. 깔끔한 표기는 못 찾았음

- 이 글에는 **타입 시스템**이 필요함. “log”라고 쓸 때마다 무엇의 로그인지, 어디로 가는 로그인지 말해야 함  
  오디오에서 사람들이 “dB”라고만 말하면서 다음 질문에 답한 것처럼 구는 것과 비슷함. 무엇에 상대적인지, 어떻게 측정했는지, 누구에게 맞춘 가중치인지가 빠져 있음  
  글쓴이는 [https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_theory](<https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_theory>)를 다시 봐야 함
  - 로그의 중요한 성질은 **구조적**임. 실제 수치 계산을 할 때를 빼면 보통 단위나 밑에는 별로 신경 쓰지 않음  
    글에서 비공식적이지만 어느 정도 충분히 전개했듯이, 밑 변환 공식은 밑 선택이 대체로 중요하지 않다는 걸 보여줌. 서로 다른 밑의 로그는 상수배까지 동등함  
    exp의 테일러 전개는 지수함수에 더 내재적이고 일반적인 정의를 줌. 그래서 적절한 수렴 조건이 만족되면 exp를 여러 대수적 환경으로 구조적으로 일반화할 수 있음. 예를 들어 복소 지수와 그 가능한 여러 로그, 행렬 지수 등이 있음
  - 오디오에서 **dB가 음수**인 이유를 아직도 모르겠음. 무엇에 상대적인 건가? 0dB에서는 무슨 일이 일어나나?
  - 첫 절에서 글쓴이는 밑 없는 “log N”을 숫자가 아니라 **추상 객체**로 생각한다고 자세히 설명함. 아니면 다른 부분을 말하는 건가?

- **복소 로그**에서 벌어지는 일은 벡터 공간의 가능한 모든 기저 집합을 출력하는 로그와 기본적으로 같아 보임  
  복소 로그는 Z-torsor를 만들고, 기저 로그는 GL(V)-torsor를 만듦. 가지 절단을 고르는 일을 복소 로그의 밑 선택 일부로 표현하는 방법이 있을 것 같고, 마찬가지로 특정 기저를 고르는 일도 벡터 공간 기저 로그의 밑 선택 일부로 볼 수 있을 듯함
  - 흥미롭다. 그 둘이 같은 현상의 두 사례라고는 생각하지 못했음. 그래도 복소해석 쪽은 여전히 생각하기 어렵게 느껴짐

- “**밑 없는 로그**”라는 용어는 정말 말이 안 되고, 쓰면 큰 실수임  
  그래도 원문 글쓴이가 맞는 부분은 로그가 길이, 면적, 부피 같은 하나의 물리량이고, 이른바 “밑”을 고르는 건 로그의 측정 단위를 고르는 일이라는 점임  
  로그는 여러 유도 물리량의 차원식에 포함됨. 예를 들어 파동이 전파될 때 감쇠나 증폭을 설명하려면 길이당 로그, 시간당 로그 같은 양을 씀  
  로그의 “밑”을 바꾸면 모든 유도 물리량의 수치가 길이나 시간 같은 기본 측정 단위를 바꿀 때와 정확히 같은 방식으로 바뀜  
  어떤 물리량이든 로그의 완전한 값은 측정 단위와 독립적임. 수치와 측정 단위의 곱이기 때문임. 측정 단위를 바꾸면 수치와 단위가 함께 바뀌고 곱은 그대로 유지됨. 즉 어떤 밑으로 수치를 계산하든 로그는 같은 비율에 대응함  
  오늘날 로그의 단위는 보통 옥타브(이진 로그), 네퍼(쌍곡 로그), 벨(상용 로그) 중에서 고름  
  로그의 측정 단위는 밑 자체가 아니라 밑의 로그임. 그래서 예를 들어 쌍곡 로그의 밑인 수 “e”의 값은 어떤 계산에도 필요하지 않음. 필요한 값은 “ln 2” 또는 그 역수인 “log2 e”뿐이고, 이는 이진 로그와 쌍곡 로그(일명 자연로그지만, 쌍곡 로그가 다른 로그보다 더 “자연스러운” 것은 아님)에 해당하는 측정 단위 사이에서 로그 수치를 변환하는 데 쓰임
  - “밑 없는 로그”가 말이 안 되는 건 아님. 다음이 주어졌을 때:  
    d(logₐx)/dx = 1/(x log(a))  
    밑 없는 로그는 비슷한 성질을 가진 함수들의 족일 뿐임. 글쓴이가 “밑 없는 로그”보다 “로그 성질” 같은 말을 썼다면 더 분명했을 수는 있지만, 그건 트집에 가깝고 논쟁적임  
    밑을 바꾸면 숫자가 바뀐다는 얘기에 대해서는, 고급 선형대수나 더 구체적으로 **텐서**를 배웠는지 궁금함. 텐서의 핵심은 기저와 무관하게 객체에 같은 방식으로 작용한다는 데 있음. 달리 말하면 a와 b가 서로 다른 기저에서 같은 객체를 표현한 것이라면, T(x)가 텐서일 때 T(a)와 T(b)는 동등함  
    요점은 어떤 숫자도 임의 선택이고, 그것이 바탕 구조를 정의하지 않는다는 것임. 여기서 글쓴이는 **로그 구조**를 말하고 있음  
    그래서 선형대수에서 서로 다른 기저와 그 변환을 배우는 것임. 어떤 이유로 고등학교에서 배우는 극좌표와 데카르트 좌표도 마찬가지임. 구조를 배우도록 준비시키는 과정임. 군에 이르면 군 A와 B가 동형이면 같은 수학적 구조를 가진다는 걸 배우게 됨  
    숫자가 바뀌더라도 그렇다는 뜻임

- 일반 로그를 “**based**”라고 부른 게 믿기지 않음

- 이 모든 게 실제로 새로운 수학적 사실을 보여주는 데 도움이 된다면 훨씬 더 흥미로웠을 것임. 지금은 **표기 장난**에 더 가까움
  - 새로운 사실, 정리, 증명은 상당히 과대평가됐다고 봄. 새 사실을 하나 찾아도 쓸모없이 쌓여 있는 거대한 사실 더미에 하나 더 들어갈 뿐임. 수학에서 유용한 진전은 대상을 더 단순하고 직관적으로 만드는 **리팩터링** 노력에서 나옴  
    꼭 이 글이 그렇다는 뜻은 아니지만, 지금 우리가 놓인 상황은 사실이 너무 많고 그것들을 유용하고 접근 가능하게 만드는 단순한 관점이 부족한 쪽에 가깝다고 봄  
    물론 개인적인 생각임
  - 이런 종류의 글은 새로운 생각이 형성되는 과정의 한 부분으로 읽음. 대규모 패턴 매칭을 하면서 서로 닮은 여러 사례를 펼쳐놓고, 그 닮음의 본질적 기반을 찾는 행위임  
    그런 패턴을 공개하면 사고 과정이 분산될 수 있음. 다른 누군가가 통찰을 볼지도 모름