# 모든 초등함수를 단일 이항 연산자로부터 생성 > Clean Markdown view of GeekNews topic #28497. Use the original source for factual precision when an external source URL is present. ## Metadata - GeekNews HTML: [https://news.hada.io/topic?id=28497](https://news.hada.io/topic?id=28497) - GeekNews Markdown: [https://news.hada.io/topic/28497.md](https://news.hada.io/topic/28497.md) - Type: GN+ - Author: [neo](https://news.hada.io/@neo) - Published: 2026-04-14T09:37:16+09:00 - Updated: 2026-04-14T09:37:16+09:00 - Original source: [arxiv.org](https://arxiv.org/abs/2603.21852) - Points: 7 - Comments: 2 ## Topic Body - **exp(x) − ln(y)** 형태의 단일 이항 연산자 **EML**이 모든 **초등함수와 상수**를 생성할 수 있음이 제시됨 - 이 연산자와 상수 1만으로 **산술 연산, 초월함수(sin, cos, log, √ 등), 복소 상수(e, π, i)** 를 모두 표현 가능 - 모든 EML 표현식은 **동일한 노드 구조의 이진 트리**로 구성되어, **기호 회귀와 경사 기반 학습**에 활용 가능 - EML은 **NAND 게이트의 수학적 대응체**로, 연속 수학에서의 **단일 보편 연산자** 역할 수행 - 이 발견은 **모든 초등함수가 단일 생성 규칙으로 환원 가능함**을 보여주며, **수식 탐색과 심볼릭 AI**의 새로운 가능성 제시 --- ### 단일 이항 연산자 EML의 정의 - **eml(x, y) = exp(x) − ln(y)** 형태의 단일 이항 연산자가 모든 **초등함수**를 생성할 수 있음이 제시됨 - 이 연산자와 상수 1만으로 **산술 연산(+, −, ×, /, 거듭제곱)**, **초월함수(sin, cos, log, √ 등)**, **상수(e, π, i)** 를 모두 표현 가능 - 예시로 **ex = eml(x, 1)**, **ln x = eml(1, eml(eml(1, x), 1))** 형태로 표현 가능 - EML(Exp–Minus–Log) 연산자는 **복소수 영역(C)** 에서 계산 수행 - 상수 1은 **ln(1)=0**을 통해 로그 항을 중화하는 역할 수행 - **ln(−1)** 계산을 통해 **i** 및 **π** 등의 복소 상수 생성 가능 - 이 연산자는 **디지털 논리의 NAND 게이트**에 대응되는 **연속 수학의 단일 기본 연산자**로 제시됨 - NAND가 모든 불리언 논리를 구성하듯, EML은 모든 초등함수를 구성 ### 단일 연산자 기반 계산기의 개념 - **“두 버튼 계산기”** 개념 제시 - 하나의 이항 연산자(EML)와 하나의 상수(1)만으로 **과학용 계산기의 모든 기능** 수행 가능 - 추가 연산자 없이도 **모든 실수 및 복소수 초등함수** 계산 가능 - 더 이상의 연산자 수 축소는 불가능함 - 최소한 하나의 이항 연산자와 하나의 단말 기호(상수)는 필요 ### EML 표현의 구조적 특징 - 모든 EML 표현식은 **동일한 노드로 구성된 이진 트리 구조**를 가짐 - 문법 형태: **S → 1 | eml(S, S)** - 이는 **Catalan 구조** 및 **완전 이진 트리**와 동형인 **문맥 자유 언어**로 해석 가능 - 이러한 균일한 구조는 **기호 회귀(symbolic regression)** 에서 **경사 기반 최적화(Adam 등)** 적용을 가능하게 함 - **EML 트리**를 학습 가능한 회로로 사용하여, **얕은 트리 깊이(최대 4)** 에서 **정확한 닫힌형 초등함수 복원** 가능 - 생성 법칙이 초등함수일 경우, 학습된 가중치가 **정확한 수식 형태로 수렴** 가능 ### 발견 과정과 수학적 함의 - EML 연산자는 **체계적 전수 탐색(exhaustive search)** 을 통해 발견됨 - 탐색 결과, EML이 **과학용 계산기의 완전한 연산 기반**을 구성함이 확인됨 - **연산자 수를 점진적으로 줄이는 “고장난 계산기(broken calculator)” 접근법**을 사용 - 4개 → 3개 → 2개 → 1개 연산자로 축소하며 완전 기능 유지 - EML은 **예상치 못한 단순성**을 가지며, **초등함수 자체로 정의된 이항 연산자**임 - EML의 존재는 **초등함수들이 훨씬 단순한 생성적 계층에 속함**을 보여줌 - 다양한 함수들이 **exp와 ln의 조합**으로 환원 가능함을 확장 - **단일 반복 가능한 구성요소**로 모든 수학식을 표현할 수 있어, - **전자회로의 트랜지스터 기반 구성**과 유사한 **수학식의 회로적 표현** 가능 - 이러한 균일 회로 표현은 **수식 탐색, 평가, 학습**의 새로운 가능성 제시 ### 관련 개념과 역사적 맥락 - **단일 기본 요소의 보편성**은 수학·공학·생물학 전반에서 중요한 개념으로 다뤄짐 - 예: **NAND/NOR 게이트**, **ReLU 활성함수**, **K,S 조합자**, **OISC(SUBLEQ)**, **Rule 110 셀룰러 오토마톤** 등 - **Sheffer형 원소**는 드물며, 발견에는 **시간·계산·운**이 필요함 - EML은 이러한 Sheffer형 연속 연산자의 한 예로 제시됨 - **로그와 지수의 상호 표현성**(x×y = e^{ln x + ln y}, x+y = ln(e^x × e^y)) 및 **오일러 공식(e^{iφ} = cos φ + i sin φ)** 등 기존의 축소 관계를 기반으로 함 ### 초등함수 집합과 향후 확장 - 연구는 **과학용 계산기 수준의 초등함수 집합**을 출발점으로 삼음 - 상수: π, e, i, −1, 1, 2, x, y - 단항 함수: exp, ln, inv(1/x), minus(−x), √, sqr(x²), σ(1/(1+e^−x)), sin, cos, tan, arcsin, arccos, arctan, sinh, cosh, tanh 등 - 이항 연산: +, −, ×, /, log, pow(x^y), avg((x+y)/2), hypot(√(x²+y²)) - 이 전체 집합을 **단일 연산자 EML과 상수 1**로 완전히 대체 가능함을 입증 - 초기 탐색에서 **더 강력한 성질을 가진 유사 연산자**도 발견됨 - 예: **상수를 필요로 하지 않는 삼항(ternary) 변형 연산자** - EML은 **연속 수학의 단일 생성 연산자 존재 가능성**을 보여주는 **출발점**으로 제시됨 - 향후 **수식 자동 발견, 심볼릭 AI, 수학적 표현 최적화** 등 다양한 응용 가능성 존재 ## Comments ### Comment 55550 - Author: carnoxen - Created: 2026-04-16T09:58:26+09:00 - Points: 1 수식으로 표현하자면, $eml(x, y) = e^x - ln(x)$로군요 헌데 $e^x$나 $ln(x)$를 한 번에 계산할 수 있는 프로세서가 나와야 빛을 발할 듯 합니다 ### Comment 55247 - Author: neo - Created: 2026-04-14T09:37:17+09:00 - Points: 1 ###### [Hacker News 의견들](https://news.ycombinator.com/item?id=47746610) - 이 접근법이 특별하거나 계산량이 가장 적은 방식은 아님 예를 들어 f(x, y) = 1/(x - y)로 정의하면 이것도 **보편적 연산자**가 됨 x#y = 1/(x - y)로 두면, x#0 = 1/x로 역수를 얻고, (x#y)#0 = x - y로 **뺄셈**을 표현할 수 있음 이런 식으로 역수와 뺄셈만으로 네 가지 기본 연산을 구성할 수 있다는 게 흔한 문제임 관련 짧은 증명은 [이 노트](https://dmg.tuwien.ac.at/goldstern/www/papers/notes/singlebi...)에 있음 - 흥미로운 부분은 이 접근이 **상수 e, π, i**까지 포함한다는 점임. 덧셈, 곱셈, 지수, 로그 등 초월함수까지 다룸 - 네가 말한 f(x, y) 방식은 어떤 개념을 표현하려면 **극한(limit)** 이 필요하지만, EML 접근은 시스템 모델을 표현하는 **계산 트리 구조**로 되어 있음 - 좋은 발견임. 1935년 논문([PNAS 논문](https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.21.5.252))을 인용하고 있고, 관련 논의는 [MathOverflow](https://mathoverflow.net/questions/57465/can-we-unify-additi...)에서도 이어짐 - 그럼 이런 단일 표현으로 **삼각함수**도 유도할 수 있는지 궁금함 - 하지만 이 방식으로는 e, π, exp, log 같은 **표준 상수나 닫힌 형태 표현**은 다루기 어려울 것 같음 - FRACTRAN 형태의 아이디어가 메인 페이지에 올라온 걸 보니 반가움 1비트 스택을 이진수로 인코딩하는 방식이 떠오름. 0을 push하면 수를 두 배로, 1을 push하면 두 배 후 1을 더함. pop은 2로 나누는 것과 같음 나는 이런 아이디어를 기반으로 한 **Rejoice**라는 연결형 언어를 씀. 데이터는 곱셈으로 합성되는 멀티셋으로 표현됨 [Rejoice 위키](https://wiki.xxiivv.com/site/rejoice) - 스택의 크기를 추적해야 **앞쪽의 0**이 있는지 알 수 있지 않음? - 지금 설명이 그냥 **2진수의 기본 원리**를 새롭게 말한 것 같음 - 이건 LLM 성능을 테스트하기 좋은 **벤치마크**임 ``` 논문: https://arxiv.org/pdf/2603.21852 "2x + y"를 EML 조합으로 표현하시오 ``` Opus(paid)는 “2”가 순환적이라며 실패했지만, ChatGPT가 이미 했다고 하니 성공함 ChatGPT(free)는 한 번에 성공, Grok은 깊이 추정, Gemini는 성공, Deepseek은 PDF를 불러오지 못함, Kimi는 중간에 멈춤, GLM은 괜찮았음 - LLM을 **도발(taunt)** 하면 더 잘한다는 걸 오늘 배움. 경쟁심이 있나 봄 - DeepSeek에 초록만 복사해 넣었는데 결과를 냄. PDF를 모른다고 감점하는 건 불공평함 - 이런 실험 좋아한다면 [Terminal Bench Science](https://www.tbench.ai/news/tb-science-announcement)에 기여해보길 권함 - 프롬프트를 이렇게 바꿔봄: ``` eml(x,y)=exp(x)−ln(y) sin(x)/x를 EML과 상수 1로 표현하시오 ``` - meta.ai instant 모드도 한 번에 성공함 ``` 2x + y = \operatorname{eml}\Big(1,\; \operatorname{eml}\big(\operatorname{eml}(1,\; \operatorname{eml}(\operatorname{eml}(1,\; \operatorname{eml}(\operatorname{eml}(L_2 + L_x, 1), 1) \cdot \operatorname{eml}(y,1)),1)\big),1\big)\Big) ``` Gemini는 EML을 “elementary mathematical layers”로 착각함 - 단일 변수의 **36가지 서로 다른 2단계 EML 함수**를 시각화함 앞의 18개는 실수 출력, 나머지는 중간에 복소수 값을 포함함 [이미지 링크](https://imgur.com/a/K7AoOFi) - 이런 식으로 고정된 깊이의 **이진 트리 함수**를 모두 분류하고, 트리를 이진수로 인코딩하면 재미있을 듯함 오래된 수학책의 함수표들이 단순한 **해시 조회**로 재해석될 수도 있음 - “EML과 숫자 1만으로 모든 계산이 가능하다”는 말이 **Iota combinator**를 떠올리게 함 최소한의 형식 체계로 **튜링 완전성**을 달성하는 개념과 닮음 - 현재 논문 링크가 v1이라 그림이 빠져 있음. v2로 바꿔야 함 아직 읽는 중이지만, 사실이라면 **수년 만의 큰 발견**일 수도 있음 스플라인이나 다항식 대신 **EML 트리로 데이터나 파동함수를 피팅**할 수 있다면, 다변수 함수도 **gradient descent**로 학습해 EML 근사 트리로 변환 가능함 슈뢰딩거 방정식의 도함수 조건을 맞추는 식으로 학습할 수도 있음 너무 좋아 보여서 의심스럽지만, 이런 일이 실제로 일어난 적이 있었음 - 내가 1년간 이 분야를 연구한 경험상, EML은 강력하지만 **표현식 폭발**이 문제임 곱셈 하나 표현하려면 깊이 8의 트리와 41개 이상의 리프가 필요함 최소 연산 집합의 **우아함과 표현 길이의 트레이드오프**가 있음 나는 **Operad 이론**과 **Category Theory**를 활용해 스펙트럴 신경망과 **symbolic regression**을 결합하는 접근을 해왔음 - 모든 불리언 논리를 NAND로만 구현하지 않는 이유와 같음. **계산 효율성** 때문임 다항식은 표현력 대비 계산이 빠름 - 논문은 흥미롭고 우아하지만, **회귀나 최적화의 경쟁적 대안**은 아님 네가 말한 건 기존의 **symbolic regression**과 유사함. 이미 성숙한 분야임 - EML 기반은 멋지지만, 단순한 함수(예: +)조차 표현이 어려움 그래도 매우 흥미로운 발견임 - 멋진 트릭이긴 하지만, **중대한 발견**이라기엔 과장된 듯함 - -x의 유도 과정이 잘못된 것 같음 스택 머신 실행 추적을 보면, eml(z, eml(x,1)) = e^z - x 형태인데, 이게 -x가 되려면 e^z = 0이어야 함. 하지만 그런 **복소수 z는 존재하지 않음** 실제로 z를 전개하면 ln(0) 같은 문제가 생김. x^-1도 비슷함 ln(0)=∞, x/∞=0 같은 가정을 하면 “그럴듯하게” 동작함 - 저자가 RPN 표기법을 언급하지만, **공식은 이미지로만 제공**해서 불편함 계산 순서를 보면 ln(1)=0 → e-ln(0)=+∞ → e-ln(+∞)=-∞ 순으로 진행됨 - 논문에서도 이 문제를 인정함. 내가 너무 빨리 판단했음 - 흥미로운 아이디어 몇 가지가 떠오름 1. 절댓값을 sqrt(x*x)로 추가하면 min, max, signum도 유도 가능함 2. f(x)와 f⁻¹(x)가 eml()로 표현 가능한 **전단사 함수**라면, eml(f(x), f(y))와 f⁻¹(1)을 이용해 또 다른 보편적 기초를 만들 수 있음 3. 자연로그 대신 2^x - log₂(y) 형태의 기초를 쓰면 계산적으로 더 효율적일 수도 있음. [Elias omega coding](https://en.wikipedia.org/wiki/Elias_omega_coding)을 떠올리게 함 4. eml() 트리의 **도함수 계산 알고리즘**이 있다면, 어떤 함수가 기호적 부정적분을 가질 수 없는지 명확히 증명할 수 있을 듯함 5. 복소수 영역 확장은 **복소 진릿값 퍼지 논리**와도 연결될 수 있음. Lukasiewicz와 곱셈 논리를 통합할 가능성 있음 - 재미로 [emlvm 프로젝트](https://github.com/nullwiz/emlvm/tree/main)를 어제 만들어봄 - “깊이 4 이하의 EML 트리로 **폐형식 함수 복원**이 가능함”이라는 부분이 정말 멋짐 이런 게 가능할지 늘 궁금했음