# Erdos 281이 ChatGPT 5.2 Pro로 해결됨 > Clean Markdown view of GeekNews topic #25946. Use the original source for factual precision when an external source URL is present. ## Metadata - GeekNews HTML: [https://news.hada.io/topic?id=25946](https://news.hada.io/topic?id=25946) - GeekNews Markdown: [https://news.hada.io/topic/25946.md](https://news.hada.io/topic/25946.md) - Type: GN+ - Author: [neo](https://news.hada.io/@neo) - Published: 2026-01-19T09:56:41+09:00 - Updated: 2026-01-19T09:56:41+09:00 - Original source: [twitter.com/neelsomani](https://twitter.com/neelsomani/status/2012695714187325745) - Points: 1 - Comments: 1 ## Topic Body - Erdős #281은 무한히 많은 합동식들을 어떻게 고르더라도, 그 어느 합동식에도 해당하지 않는 정수들이 거의 남지 않는 상황을 전제로 한 문제 - 이러한 상황이 참이라면, 실제로는 무한한 합동식을 모두 사용하지 않아도 처음 몇 개만으로도 거의 모든 정수가 걸러진다고 말할 수 있는지에 대한 것 - Neel Somani가 GPT-5.2 Pro를 사용해 이 질문에 대한 풀이를 제시했고, 여러 수학자들이 논리의 핵심 단계들을 중심으로 검토와 보완을 진행 - 개별 정수들을 직접 계산하는 방식 대신, 정수 전체를 하나의 공간으로 놓고 밀도와 극한의 성질을 이용해 문제를 다루는 접근 방식 - 같은 결론이 과거에 알려진 정리들의 조합으로도 도출될 수 있음이 드러나며, 이 연결이 오랫동안 눈에 띄지 않았던 이유에 대한 논의가 함께 이어짐 --- ### Erdős Problem #281 — 논의의 핵심 정리 - Erdős #281은 무한히 많은 합동식이 주어졌을 때, 그 합동식들을 어떻게 선택하더라도 결국 거의 모든 정수가 그중 하나에는 포함되는 상황을 전제로 한 문제 - 모든 합동식을 다 적용하면 아무 합동식에도 속하지 않는 정수가 거의 남지 않는다는 성질을 이미 알고 있다는 설정 - 이 성질이 성립한다면, 실제로는 무한히 많은 합동식을 끝까지 사용하지 않아도 처음 몇 개만으로도 거의 같은 효과가 나타나는지에 대한 의문 제기 - 무한 단계에서 성립하는 결과가 유한 단계에서도 자동으로 보장되는지에 대한 질문 구조 - 최악의 잔여류 선택을 항상 허용하는 조건 아래에서 유한 개의 합동식만으로 충분하다고 말할 수 있는지에 대한 난점 존재 ### Neel Somani와 GPT-5.2 Pro 풀이의 접근 방식 - 개별 정수를 하나씩 따지는 대신, 정수 전체를 하나의 공간으로 보고 밀도 개념으로 문제를 다루는 접근 - 처음 k개의 합동식을 피하는 정수들의 집합을 하나의 대상으로 설정하는 방식 - k가 커질수록 이 집합이 점점 줄어들고, 무한 단계에서의 결과로 수렴하는 구조 활용 - 무한히 많은 합동식을 모두 피하는 정수가 거의 없다는 가정으로부터 유한 단계에서도 충분히 작아질 수밖에 없다는 논리 전개 - 극한과 평균, 이동 성질을 이용한 전체적 흐름 구성 ### 검토 과정과 논의의 전개 - 제시된 풀이에서 극한을 취하는 순서와 평균을 다루는 과정의 정당성에 대한 집중 검토 - 일부 단계에서 추가 설명과 보완이 필요하다는 지적 등장 - 여러 수학자들이 공개적으로 논리를 점검하며 단계별로 의미를 명확히 하는 과정 진행 - 결과적으로 논증의 핵심 구조가 유지된 채 더 명확한 형태로 다듬어진 흐름 ### 고전 정리들과의 연결 - 동일한 결론이 과거에 알려진 정리들을 조합해서도 도출될 수 있음이 확인 - 무한히 많은 조건에서의 밀도 수렴을 다루는 결과와 유한 조건에서의 최악 경우를 설명하는 정리의 결합 - 이 연결을 통해 무한 단계의 성질이 유한 단계에서도 강하게 반영된다는 구조 드러남 - 왜 이러한 연결이 오랫동안 명확하게 정리되지 않았는지에 대한 논의 확산 ### 왜 이 사례가 주목받는지 - 오래전에 제시된 문제가 AI 기반 풀이 제안을 계기로 다시 집중 조명된 사례 - AI가 완성된 답을 단독으로 제시했다기보다는, 새로운 관점으로 논의를 촉발 - 문제를 어떤 언어와 틀로 옮겨 생각하느냐에 따라 난이도가 크게 달라진다는 점이 확인됨 ## Comments ### Comment 49448 - Author: neo - Created: 2026-01-19T09:56:41+09:00 - Points: 1 ###### [Hacker News 의견들](https://news.ycombinator.com/item?id=46664631) - 이전에는 해결책이 없다고 했지만, 이제는 **기존 해법이 발견됨** 그래서 LLM이 만든 증명은 Terence Tao의 [위키 섹션 2](https://github.com/teorth/erdosproblems/wiki/AI-contributions-to-Erd%C5%91s-problems#2-fully-ai-generated-solutions-to-problems-for-which-subsequent-literature-review-found-full-or-partial-solutions)로 이동되었음 관련 논의는 [erdosproblems 포럼 글](https://www.erdosproblems.com/forum/thread/281#post-3325)에 있음 - Tao의 말이 흥미로움 — 새 증명은 기존 문헌의 증명과 **꽤 다르다고** 함 더 이상한 건, 그 증명이 **Erdős 본인**의 논문에 있었는데도 그가 미해결 문제로 남겼다는 점임 - 이런 모델들이 인간이 연결하지 못한 **지식의 점들을 잇는 자연어 검색 엔진**처럼 작동하는 것 같음 - 사실 이 사례는 문제 자체가 중요하지 않다는 걸 보여줌 이미 해법이 있었는데 아무도 몰랐던 건 사람들이 신경 쓰지 않았기 때문임 단순히 옛 문헌을 검색해서 ‘새로운 진전’이라 부르는 건 **착각된 진보**일 수 있음 순수수학의 많은 부분이 결국 **지적 퍼즐 놀이**처럼 느껴짐 - Erdos 문제의 성격이 궁금했음 — 수학자들이 수년간 씨름한 난제들인지, 아니면 방치된 문제들인지 Tao의 [위키 설명](https://github.com/teorth/erdosproblems/wiki/AI-contributions-to-Erdős-problems)에 따르면, Erdos 문제는 난이도가 매우 다양하며, 일부는 **AI가 풀기 좋은 저난이도 문제**로 분류됨 - Erdos는 엄청난 생산성을 가진 수학자로, **현상금 문제**를 즐겨 냈음 쉬운 문제는 “최고의 수학자도 바로 풀지 못한 수준”이라 AI의 성능 지표로 적합함 AI가 발전할수록 점점 더 어려운 문제로 **난이도 사다리를 오를 것**이라 봄 - 너무 걱정할 필요 없음. Tao와 작성자도 Erdos 문제에 큰 관심이 없었고, 정작 그 증명이 Erdos 본인 논문에 있었던 걸 몰랐음 그런데도 **Fediverse와 트위터에서는 LLM 돌파구**라며 떠들고 있음 - Tao가 포럼에서 직접 남긴 코멘트에 따르면, LLM이 **한계 교환이나 양화자 처리 오류를 피한 점**이 인상적이었다고 함 이전 세대 모델이라면 이런 부분에서 실수했을 것이라며, 이 결과를 위키의 **섹션 1에 등재**했다고 밝힘 - 이후 누군가 문헌을 더 찾아보니, 1936년 **Davenport와 Erdos의 논문**에서 같은 결과가 이미 증명되어 있었음 Tao는 “새 증명은 기존 것과 다르지만, 섹션 2로 옮긴다”고 코멘트함 - AI가 자기 주장부터 증명했으면 좋겠다는 생각임 최신 모델들이 “100% 완벽한 코드”라며 자신 있게 말하지만 실제로는 **충돌**함 z.ai 결제 시도 중에도 오류가 나서 구매조차 안 됨 LLM은 놀라운 기술이지만, 동시에 **과대평가된 기술**임 - AI의 코드를 검증하려면 인간처럼 **테스트나 증거**로 입증해야 함 로그나 실행 결과 같은 실증이 필요함 - **모델과 앱을 구분**해야 함 모델은 텍스트를 생성할 뿐이고, 앱이 그걸 검증해야 함 하지만 완벽한 텍스트 생성은 현재 **불가능한 일**임 - Tao가 직접 참여한 [erdosproblems 포럼 스레드](https://www.erdosproblems.com/forum/thread/281)가 있음 - 이 증명이 정말 검증된 건지 궁금했음 LLM이 자신감 있게 틀린 답을 내는 경우를 많이 봤기 때문임 OpenAI의 **메모리 정책과 모델 접근 제한**도 흥미로운 주제임 - Tao가 직접 **승인**했음. 그 이상 확실한 검증은 없을 듯함 - 최근 Harmonic의 Aristotle이 **Erdős 728 문제를 해결**했다는 글이 있었음 이번 사례는 ChatGPT 5.2가 1시간 만에 답을 냈다는 것인데, 그게 반복 가능한지, 왜 그런 해법을 냈는지, **무엇을 증명한 건지**가 불분명함 Tao의 검증이 신뢰를 주지만, 결국 “모델이 순수수학에 더 잘 맞게 훈련된 건가?”라는 의문이 남음 [이전 사례](https://news.ycombinator.com/item?id=46560445)와 [ChatGPT 세션 링크](https://chatgpt.com/share/696ac45b-70d8-8003-9ca4-320151e0816e) 참고 - 49일 전에도 **#124 문제**가 AI로 증명되었다는 사례가 있음 [관련 링크](https://news.ycombinator.com/item?id=46094037) - 이건 LLM이 **수학 문제의 후보 증명**을 생성하고, 이후 **Lean** 같은 형식 증명 시스템으로 검증하는 일련의 시도 중 하나임 Tao는 먼저 증명의 정확성을 보고, 그다음 **문헌 검색**으로 참신성을 확인함 현재는 완전히 새로운 증명은 거의 없지만, **새로운 접근법**은 등장 중임 이번 사례도 처음엔 새 증명처럼 보였지만, 결국 **Erdos가 이미 알고 있던 결과**였음 - Deepseek에 같은 프롬프트를 주었더니 ChatGPT보다 훨씬 빠르게 풀었음 두 증명을 Opus에 넣어보니 **동등함을 확인**했다고 함 - 하지만 “그냥 네가 직접 도장 찍은 거나 마찬가지”라며, **세부 검증이 부족하면 전체 증명이 무너질 수 있음**이라는 지적이 나옴 - 수학적으로는 교집합의 밀도 부분이 충분한지 의문을 제기함 예시로 \(U_k\) 집합을 들어 반례 가능성을 언급함 - [Kimi-k2의 추론 블록](https://www.kimi.com/share/19bcfe2e-d9a2-81fe-8000-00002163c26c)도 공유됨 - Deepseek이 기존 해법을 **암기한 것인지** 궁금하다는 의견도 있음 관련 논의는 [이 댓글](https://news.ycombinator.com/item?id=46664976) 참고 - Opus는 수학에는 부적합하다는 의견도 있음 ChatGPT나 Gemini Pro보다 **수학적 정확도가 낮음** - 놀랍게도 LLM 증명의 상당수가 **비전문가**에게서 나옴 혹시 일부 전문 수학자들이 **AI를 사용하고도 밝히지 않는 것** 아닐까 하는 의문이 듦 - 사실 대부분의 전문가는 “내 전공 분야에서는 LLM이 멍청하다”고 느끼는 듯함 - 이런 **무명의 AI 사용**은 곧 일반화될 것 같음 마치 스포츠에서 **도핑 경쟁**처럼, 따라잡기 위해 다들 쓰게 될 것임 게다가 AI 사용은 **규칙 위반도 아님** - 현실적으로는 전문가들이 이미 시도했지만, LLM이 **아직 실질적 진전**을 내지 못했을 가능성이 큼 - AI 기여 표기 방식을 고민 중임 개인적으로는 **감사의 한 줄** 정도가 적절하다고 생각함 수학 포닥으로서 GPT 5.2를 써보니 **거짓말이 적고 실패 시 솔직**함 반면 Gemini 3는 틀리면 **허구의 정리를 만들어내는 경향**이 있음 - LLM이 푼 Erdos 문제들이 단순히 **인간이 건드리지 않은 쉬운 문제**인지, 아니면 진짜 **독창적 연구 성과**인지가 궁금함 - Tao의 [위키 경고문](https://github.com/teorth/erdosproblems/wiki/AI-contributions-to-Erd%C5%91s-problems#disclaimers)에 따르면, Erdos 문제는 난이도 편차가 크며, **AI가 풀기 쉬운 저난이도 문제군**이 존재함 - 그래도 LLM이 이런 **저난이도 문제들을 정리**하는 건 가치가 있음 Erdos 리스트에 오른 문제라면 최소한 누군가는 **한 번쯤 시도했을 가능성**이 있음