# 실패할 수 없는 Kelly 전략

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- Author: [neo](https://news.hada.io/@neo)
- Published: 2024-12-20T20:33:36+09:00
- Updated: 2024-12-20T20:33:36+09:00
- Original source: [win-vector.com](https://win-vector.com/2024/12/19/kelly-cant-fail/)
- Points: 3
- Comments: 1

## Topic Body

#### 소개
- Kelly 베팅 할당 전략은 도박 상황에서 정보를 최대한 활용하는 시스템으로, 매우 공격적이고 높은 변동성을 가진 전략으로 알려져 있음.
- Peter Winkler의 책 _Mathematical Puzzles_에서 "Next Card Bet"라는 카드 게임을 소개하며, 이 게임에서 Kelly 전략이 위험이 없고 변동성이 없는 상황을 설명함.

#### 게임
- 게임은 52장의 카드 덱(26장의 빨간 카드와 26장의 검은 카드)으로 진행되며, 플레이어는 $1의 자본으로 시작함.
- 각 카드는 한 번씩만 노출되며, 플레이어는 다음 카드가 빨간색인지 검은색인지에 대해 현재 자본의 일부를 베팅할 수 있음.
- 카드의 수를 세어 남은 카드의 색을 추론하여 베팅 전략을 세울 수 있음.

#### Kelly 전략
- Kelly 전략은 자본의 기대 로그를 최대화하는 베팅을 선택하는 것임.
- `r`은 남은 빨간 카드 수, `b`는 남은 검은 카드 수로 가정하고, `r > b`일 때 `bet_fraction = (r - b) / (r + b)`로 베팅 비율을 계산함.
- `r = b`일 때는 베팅하지 않으며, `r > b`일 때는 빨간색에, `b > r`일 때는 검은색에 베팅함.

#### 전략 시도
- Python을 사용하여 Kelly 전략을 시뮬레이션함.
- 10,000번의 게임을 통해 각 실행에서 초기 자본의 `9.08`배의 수익을 얻었으며, 결과에 변동성이 없었음.
- 이는 일반적인 Kelly 전략과는 다르게 변동성이 없는 결과임.

#### 설명
- `(52 choose 26)`의 가능한 카드 배열 중 하나가 정확히 맞아떨어질 때, 포트폴리오 전략은 `2^(52)`의 배수로 자본을 증가시킴.
- Kelly 전략과 포트폴리오 전략이 동일한 결과를 내며, Kelly 전략이 변동성이 없는 이유를 설명함.

#### 해설
- Kelly 전략은 다수의 색에 베팅함으로써, 잘못된 베팅이 발생할 때마다 덱이 더 불균형해져 유리해짐.
- 정보나 불확실성을 적절히 가격화하는 Kelly 전략의 특성을 강조함.
- Winkler의 _Mathematical Puzzles_ 책을 추천하며, 이와 유사한 문제들을 다룸.

## Comments



### Comment 32566

- Author: neo
- Created: 2024-12-20T20:33:37+09:00
- Points: 1

###### [Hacker News 의견](https://news.ycombinator.com/item?id=42466676) 
- 무한히 지분을 나눌 수 있어야 항상 이익을 얻을 수 있음
  - 예를 들어, 26장의 빨간 카드가 위에 있을 때 초기 $1.00 지분이 0.000000134로 줄어들었다가 9.08로 다시 올라감

- 포트폴리오 논쟁은 불필요한 우회로라고 생각함
  - 귀납법을 통한 두 줄의 증명이 있음
  - 기본 사례 (0,1) 또는 (1,0)에서의 수익은 2임

- 카드 게임의 유사한 예시가 Timothy Falcon의 금융 인터뷰 책에서 설명됨
  - Gwern이 이를 설명하고 최적의 중지 전략을 증명하는 코드를 작성함

- Kelly 기준에 대한 흥미로운 부가 설명
  - Proebsting의 역설은 Kelly 기준이 파산으로 이어질 수 있음을 보여주는 논쟁임
  - 수학적으로 해결 가능하지만 실제 적용에서 흥미로운 문제를 제기함

- Kelly 기준은 게임 이론의 개념 중 하나로, 프로 도박사들이 자금 관리를 위해 많이 사용함
  - 이진 결과에 대한 기준이지만, 이진이 아닌 상황에 적용할 때 왜곡된 결과가 나타날 수 있음

- 더 관리하기 쉬운 숫자로 줄이면 더 나은 데모가 될 것임
  - 예: 2장의 검은 카드와 2장의 빨간 카드로 구성된 덱

- 결과에 변동이 없는 것을 보는 것이 매우 흥미로움
  - Kelly 전략이 이 문제에서 최적인지 궁금함

- Kelly라는 이름을 가진 사람으로서 자신감에 감사함

- 문제와 해결책이 Thomas Cover에서 비롯된 것 같음
  - Kelly 기준을 가르친 수업에서 배웠으며, 그의 수업은 항상 흥미롭고 가치 있었음

- 여러 RNG 시드로 확인됨
  - RNG가 각 실행마다 발전하므로 문제가 되지 않음