# 컨볼루션, 고속 푸리에 변환 및 다항식 (2022)

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- Type: GN+
- Author: [neo](https://news.hada.io/@neo)
- Published: 2024-07-02T10:17:35+09:00
- Updated: 2024-07-02T10:17:35+09:00
- Original source: [alvarorevuelta.com](https://www.alvarorevuelta.com/posts/fft-polynomials)
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## Topic Body

### 다항식, 고속 푸리에 변환 및 컨볼루션

#### 다항식: 간단한 요약
- 다항식 \(P(x)\)는 각 항이 변수 \(x\)와 지수 \(k\) 및 계수 \(a_k\)로 구성된 항들의 합임
- 예: \(P(x) = 5x^2 + 2x + 9\)
- 두 다항식 \(P(x)\)와 \(Q(x)\)를 더하거나 빼는 것은 각 항을 개별적으로 더하거나 빼는 것임
- Python 코드 예시:
  ```python
  # a + b
  [a + b for a, b in zip(p, q)]
  # a - b
  [a - b for a, b in zip(p, q)]
  ```

#### 컨볼루션
- 컨볼루션은 두 신호 \(p\)와 \(q\)의 합성임
- 예: \(p = [2, 3, 4]\), \(q = [5, 6, 7]\)
- 컨볼루션 계산:
  ```python
  y = [10, 27, 52, 45, 28]
  ```
- 다항식 곱셈은 컨볼루션으로 표현될 수 있음

#### 푸리에 변환과 FFT
- 푸리에 변환은 신호를 시간 영역에서 주파수 영역으로 변환하는 강력한 도구임
- 푸리에 변환(FT), 이산 푸리에 변환(DFT), 고속 푸리에 변환(FFT)의 차이점:
  - FT: 연속 신호에 대한 푸리에 변환
  - DFT: 이산 신호에 대한 푸리에 변환
  - FFT: DFT를 효율적으로 계산하는 알고리즘 (\(O(n \log n)\))

#### 다항식 곱셈을 더 빠르게
- 고등학교에서 배운 다항식 곱셈은 \(O(n^2)\) 복잡도를 가짐
- 더 효율적인 방법:
  1. 다항식을 주파수 영역으로 변환 (\(O(n \log n)\))
  2. 주파수 영역에서 곱셈 수행 (\(O(n)\))
  3. 결과를 다시 시간 영역으로 변환 (\(O(n \log n)\))
- Python 코드 예시:
  ```python
  def multiply_naive(p, q):
      result_size = len(p) + len(q) - 1
      result = [0] * result_size
      for i in range(len(p)):
          for j in range(len(q)):
              result[i + j] += p[i] * q[j]
      return result

  def multiply_fft(p, q):
      length = 2 ** np.ceil(np.log2(len(p) + len(q) - 1)).astype(int)
      f_padded = np.pad(p, (0, length - len(p)))
      g_padded = np.pad(q, (0, length - len(q)))
      Y = np.fft.fft(f_padded) * np.fft.fft(g_padded)
      result_coefficients = np.round(np.fft.ifft(Y).real).astype(int)
      return np.trim_zeros(result_coefficients, 'b').tolist()
  ```

#### 요약
- 다항식 곱셈의 기본 방법은 \(O(n^2)\) 복잡도를 가짐
- 다항식 곱셈은 컨볼루션으로 표현될 수 있음
- 시간 영역의 컨볼루션은 주파수 영역의 곱셈과 동일함
- FFT를 사용하여 다항식을 주파수 영역으로 변환하면 \(O(n \log n)\) 복잡도로 다항식을 곱할 수 있음

### GN⁺의 의견
- 이 글은 다항식 곱셈의 효율성을 높이는 방법을 설명하며, 특히 고속 푸리에 변환(FFT)의 중요성을 강조함
- 고등학교에서 배운 기본적인 방법보다 훨씬 효율적임을 보여줌
- 이 기술은 신호 처리, 이미지 처리 등 다양한 분야에서 유용하게 사용될 수 있음
- FFT를 사용하면 큰 다항식의 곱셈을 빠르게 수행할 수 있어, 대규모 데이터 처리에 유리함
- 유사한 기능을 가진 다른 프로젝트로는 NumPy, SciPy 등이 있음

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